Файл: Цыпкин Я.З. Лекции по теории автоматического регулирования. Элементы теории импульсного регулирования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 54
Скачиваний: 0
Здесь решетчатая функция г [п — т\ |
соответствует |
|||
г (t — т) |
при |
t = п. |
|
|
Отметим, что |
при т = п |
|
|
|
|
|
г [п. — т\ = г [0] = h (0). |
(10) |
|
Подвергая обе части (9) дискретному |
преобразованию |
|||
Лапласа |
(то есть умножая обе части |
его |
нае"9" и суммируя |
по п от 0 до оо ) и применяя теорему свертывания (теорема 6 приложения) получим
п
П{х,ых [л]} = D {kn S хвх [тп] г [п - т]} =
771="0
= D{xBX [n]}-D{k‘Br [и]}
Принимая во внимание обозначения изображений (5) и
обозначая: |
(Н) |
D |
|
получаем фундаментальное соотношение между |
изображе |
ниями решетчатых функций, соответствующих входной и вы ходной переменным разомкнутой системы импульсного регу лирования
|
= |
(!2) |
Величину *(q),W |
представляющую собой |
отношение изобра |
жения выходной |
переменной к входной, |
по аналогии с си |
стемами непрерывного регулирования назовем передаточной функцией разомкнутой системы импульсного регулирования.
21
Передаточная функция (</),№* |
как это следует из (11), |
и определения дискретного преобразования Лапласа (5) равна
|
ОО |
|
|
*Й7 (q) = ka J г [л] е~«п |
(13) |
||
|
л-0 |
|
|
или, если принять, что обычно |
|
|
|
г [0] = h (0) = 0; |
|
||
тогда получим |
|
|
|
IT*(?)=£ |
HS г\п\е-ча. |
(14) |
|
|
Л-1 |
|
|
Рассмотрим теперь |
системы |
импульсного |
регулирования |
второго вида. |
|
|
|
В этом случае |
|
|
|
h (t — tn) |
|
|
|
- |
при tn < t < т +• ут |
(15) |
|
г (t — т) = |
_ |
_• |
| h (£ — т) — h (t— tn—ут)
J при tn + < t < co,
где |
И] | |
(16) |
|
« |
|||
|
|
Реакция линейной части системы на последовательность импульсов постоянной величины переменной длительности в
момент времени t=n на основании |
принципа суперпозиции |
|||||
(фиг. 15) будет равна |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
х,ых Н = ka |
S sign хвх [m] -г [п — т\, |
(17) |
||||
|
т—0 |
|
|
|
|
|
где |
— 1 |
При |
хвх [/п] |
< 0 |
|
|
sign хвх И |
(18) |
|||||
= |
при |
хвх [/п] |
> О |
|||
|
+ 1 |
|
||||
Далее мы будем предполагать, что |
|
|
|
|||
т/п = х| хвХ [/п] | |
< 1, |
|
(19) |
22
что соответствует малым изменениям входной величины. Тогда г (t— т) можно представить в следующем виде
после разложения h. (t — т — ?„) в |
ряд по ут и удержания |
лишь первой степени |
|
г (t — т) — h (£ — tn) — h (t — tn — |
=: т^-А/ {t — m) (20) |
Учитывая (16), при t — n будем иметь
г (п — т) — х | хвх [т] | -А' (п— пг) (п^т).
Если же п—т, то, очевидно, как и ранее
г (0) = h (0).
Подставляя г[п—ni\ в (17) и замечая, что
sign хвх [т] • | хвХ [/и] | = хвХ рп],
получаем для систем второго вида
|
|
п |
|
х,ыЯ [«] = |
S Х,х рп] - А/ \п - т]. |
(21) |
|
|
|
т=0 |
|
Сопоставляя (21) |
с |
(9), заключаем, что при условии |
(19) |
системы второго |
вида |
эквивалентны системам первого |
типа |
с коэффициентом усиления Аи х,и реакцией линейной части сис темы
г(^) = А/ (Г).
Отсюда следует, что все результаты для систем импульсного
регулирования второго вида могут быть получены из ре
23
зультатов |
для |
систем |
импульсного |
регулирования |
первого |
|||||||
вида при |
1 |
и замене у на х. |
Этим обстоятельством мы |
|||||||||
далее и |
воспользуемся. |
|
|
функции |
|
W(q),* |
опреде |
|||||
Для |
вычисления передаточной |
|
||||||||||
ляемой формулой (14), |
найдем вначале |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
г (0 = h (Г) — h (F— у). |
|
|
|
|
|
(22) |
|||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
Р(0) |
V |
укч |
е |
a |
t |
• |
|
‘23> |
|
|
|
* W = -W + .-I |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1-е-^Т |
|
|
|
- |
|
|
||
|
|
|
|
P(q4) |
|
|
|
. |
(24) |
|||
|
|
|
___—— |
-------------- |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Q (7,) |
|
|
|
|
|
|
|
V ' |
|
|
|
V"S1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя это выражение (при t—ri) в (14) и изменяя поря
док суммирования после |
элементарных |
вычислений и при |
|||||
менения формулы |
суммы геометрической |
прогрессии, |
по |
||||
лучаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(25) |
где |
|
1-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1-е"’’т |
|
|
|
||
r _ Р(7,) |
|
|
(26) |
||||
|
Q' (<7,) |
|
я, > |
• |
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
А = Аиу. |
|
|
|
|
|
Если один из корней, |
например |
, |
равен нулю, то сла- |
||||
гаемое, соответствующее |
v ~1 |
должно |
быть заменено |
на |
|||
Р(7/) 1-е-?п |
е<и |
_ |
Р(0) |
|
1 |
(27) |
|
Л <?'(?,)’ 4tt |
' |
e4-eqi |
~~ |
Q' (0) |
’в»-!’ |
||
Если для систем второго вида, согласно сказанному выше, |
|||||||
сохраняется выражение |
(25), то теперь |
при |
|
Р(<М
(28),
Q' {q,)
и
А =
24
Условие т= 1* Х»х (я] К I физически означает, что рас сматриваются малые изменения управляющего сигнала или что фактически длительностью включения исполнительного устрой ства пренебрегаем.
Часто линейная часть может обладать запаздыванием т.
Если элемент запаздывания включен последовательно с
линейной частью системы, то передаточная функция такого соединения равна
|
W(q)-e~^, |
(29) |
где |
----- относительное время запаздывания. |
|
1р
Вэтом случае реакция линейной части системы будет за
паздывать на время т, то есть
О при |
(30) |
гх (t) = |
|
г (t — т) при |
t > г |
Учитывая это обстоятельство, аналогично предыдущему, по
лучим выражения для *(q);W |
в этом случае при |
|
k — 1 < т |
k — у |
|
i |
|
|
W^(?)=*X |
, |
(31) |
где С, определяются |
выражениями |
(26) |
или (28), |
или, |
при |
||||
|
|
|
k — у < т < ft, |
|
|
|
|
||
i |
( (Я-рЯ-* U—т) |
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
-г |
|
|
|||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
(32) |
|
с, |
(------—----- г*«; |
|
|
|
|||||
•>-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(яч) |
|
|
|
|
(33) |
|
|
|
|
Q'(?,)•?, |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Заметим, если |
<77=0, |
то слагаемые, |
входящие |
в |
(32), |
||||
при v=l после раскрытия |
неопределенности будут иметь вид |
||||||||
Р(0) |
( |
, |
- |
1—7 |
) |
|
|
(З4) |
|
Q’ |
(0) |
{ |
(^ |
~ х) — еЯ—1 |
} |
|
|
25
му, |
Если элемент запаздывания включен иным образом в систе |
|||||||||||
так что |
|
|
= |
(<7) *- ?Т+ |
|
|
|
|
(35> |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
то |
вместо U?*(<7) |
в |
уравнения систем |
следует подставлять |
||||||||
|
|
|
^:(^)=n(^)+tfw |
|
|
(36) |
||||||
где W^tq) определяется по формулам (31), (32) |
и |
IFJ (q) — |
||||||||||
по формуле (25). |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|||
|
Для систем |
первого вида |
в |
зависимости |
от |
величины г |
||||||
передаточная |
функция IF* н (</) определяется формулами (31)’ |
|||||||||||
или (32) при |
т<1 или (32) |
при 7 = 1. |
|
|
|
T (^опреде |
||||||
|
Для систем второго вида, так каку<^1, то IF* |
|||||||||||
лится формулой |
(31). |
|
(32) q? 'обозначают полюсы пе |
|||||||||
|
В выражениях (25)., (31), |
|||||||||||
редаточной функции |
линейной |
части |
системы |
W*(q) |
(1), |
|||||||
то есть корни уравнения Q(^)=0, которые |
предполагаются |
|||||||||||
отличными друг от друга. |
В |
|
тех случаях, |
когда линейная |
||||||||
чйсть Системы |
не содержит |
|
внутренних |
обратных |
связей, |
|||||||
эти |
полюсы весьма |
просто |
|
выражаются |
через |
параметры |
звеньев линейной части.
В иных случаях, например, когда линейная часть сложна,
более удобным может оказаться иное выражение передаточ
ной функции |
*(q),W |
|
которое |
можно получить из |
(13) |
после |
||
некоторых преобразований: |
|
|
|
' |
||||
|
|
|
ОО |
lF(g + 2^)-L^)7 |
; |
|
||
^(q) = k |
£ |
(37) |
||||||
|
|
|
А —оо |
к = kn у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
для систем первого вида и |
|
|
|
|
||||
|
IF* |
(<7)=* |
со |
|
|
|
(38) |
|
|
S |
W (q + ^jk}\ |
|
|||||
|
|
|
|
4— —ео |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л = Аи х |
|
|
|
|
для систем второго вида. |
|
передаточную функцию |
||||||
Выражения (37) |
и |
(38) |
определяют |
|||||
разомкнутой |
системы импульсного регулирования |
непосред |
||||||
ственно через |
передаточные функции |
линейной |
части. Эти |
выражения справедливы также при наличии запаздывания а распределенных параметров.
Таким образом для |
систем импульсного регулирования |
|||
первого |
и второго видов уравнение |
разомкнутой |
системы |
|
равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
(39) |
Для систем импульсного регулирования третьего вида урав |
||||
нение разомкнутой системы запишется аналогично |
|
|||
|
(<?) = |
{ Ф (хвх [«])}, |
(40) |
|
где Ф( |
-£eJr)—релейная |
характеристика |
(фиг. 16), |
a *W(q) |
определяется выражением (25). Это следует из того, что им пульсный элемент систем третьего вида эквивалентен последо вательному соединению релейного элемента с характеристикой
изображенной фиг. 16 и импульсного элемента системы первого вида (фиг. 17).
Прежде чем переходить к составлению уравнений замкну тых систем регулирования, отметим некоторые особенности
—1 |
|
Фиг. 16. |
Фиг. 17. |
передаточной функции разомкнутой системы импульсного ре
гулирования W(q)* . |
Как видно из приведенных выше выраже |
|||||||
ний, W*(q) |
является функцией еч. |
|
|
|
|
|
||
Так как еч+2™й =^ечг то W* (q -/n/)*f-2 |
= *(q),W |
|
то есть |
|||||
Я7* (<?) является |
периодической |
функцией |
вдоль |
мнимой |
||||
оси плоскости q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вследствие этого *(<7)1Г |
имеет I полюсов е9-» и |
бесчислен |
||||||
ное множество полюсов q, отличающихся от q-, |
на |
+2лт/. |
||||||
Назовем |
полюсы, |
расположенные |
в |
полосе |
—л<//п<7 < |
(фиг. 18), основными. В дальнейшем нас будут интересовать лишь основные полюсы.
27