Файл: Цыпкин Я.З. Лекции по теории автоматического регулирования. Элементы теории импульсного регулирования.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 58

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

При изменении ® в этом интервале вектор G(/a>)* описы­ вает своим концом кривую, которая называется характеристи­ ческой кривой или годографом. Для того, чтобы система им­ пульсного регулирования была устойчива, необходимо и доста­

точно, чтобы при возрастании о> от 0 до л характеристическая

кривая, начинаясь с положи­

тельной

части

действительной

оси, последовательно обходила

21 квадрантов против

часовой

стрелки,

где I — степень харак­

теристического уравнения, или,

что эквивалентно,

если

t/(co)*

и V((o)*

имеют

в

интервале

—л<со < л/ вещественных и

перемежающихся корней и при

На фиг.

25 приведен

О *(0)>0,(/

*'(0)>0У

.

примерный вид характеристических

кризых,

соответствующих устойчивым

системам для / =

=1, 2, 3,

4.

На фиг. 26

изображены

характеристические

Фиг. 26.

* То есть между двумя соседними корнями уравнения £/*(<■>) -»0 находится корень уравнения У*(ш) =0.

38-

кривые *G (Jvt>) и

*U

(ш) и V*

(<d)

для устойчивой и неустой­

чивой систем при 1=5.

 

 

 

Из рассмотрения характеристических кривых вытекают не­

обходимые условия устойчивости:

 

 

*О

(0) = *U

(0) = al -f- at-i 4*

. . . -f- a, -ф- а0 > 0

и

 

(it) = (— l)z at

 

L > 0

 

*G

(Jit) = *U

 

при четном /

4- (— 1)'“’ ai-i 4-

♦ • • —• at+ao| < 0

при нечетном I

Приведенные

формулировки

критерия

аналогичны 'изве­

стному критерию Михайлова для систем непрерывного регу­

лирования.

Аналог критерия Найквиста

 

Если в передаточную функцию W*(q)

подставить q=ja),

где w=u> Тр —относительная частота гармонических колеба­

ний, то получим частотную характеристику разомкнутой си­ стемы импульсного регулирования

 

W*

(/ш) = Д*

(ш) 4- */5 (ш),

(63)

где A*

((d) и Б*

(о»)—действительная и мнимая_части.

При

изменении ш от 0 до « конец вектора W* (/«>) описывает

кривую,

которая

называется

годографом частотной харак­

теристики.

Предполагая, что разомкнутая система импульсного регу­ лирования устойчива, то есть что устойчива линейная часть системы, можно сформулировать критерий устойчивости сле­ дующим образом:

Система импульсного регулирования устойчива, если годог­ раф частотной характеристики не охватывает точку—1; /0.

На фиг. 27 изображены годографы частотной характери­ стики, соответствующие устойчивой (фиг. 27а) и неустойчивой

(фиг. 276) системам импульсного регулирования.

Если разомкнутая система импульсного регулирования ней­

тральна, т. е. передаточная функция содержит s полюсов, рав* -

ных нулю, то формулировка критерия устойчивости останет­ ся без изменений; только при построении частотной характе­ ристики следует дополнить ее дугой бесконечно большого ра­

диуса, соответствующей углу—s-j- (фиг. 28). Кривая 1 соот­

ветствует устойчивой замкнутой системе, кривая 2—неустойчи­

вей.

39

Наконец, если разомкнутая система импульсного регули­ рования неустойчива, то есть передаточная функция линейной части системы имеет s полюсов с положительной действитель­ ной частью, то:

система импульсного регулирования будет устойчива если годограф частотной характеристики охватывает точку—1; /О

в положительном направлении (то есть против часовой стрел­ ки) s/2 раз. При s—0 мы приходим к предыдущей формули­

ровке.

Отметим, что для нормированной частотной характери­ стики роль точки —1;/0 играет точка---- /0.

Частотная характеристика не нормированная (]&)№*

или

нормированная IF* (/со) вычисляется по приведенным выше

формулам аналитически или

графически,

исходя из

частот­

ной характеристики линейной

части, как

это было

описано

на стр. 30—33.

 

 

 

40

Отметим в заключение этого раздела, что введение импульс­ ного регулирования может явиться сильным средством стаби­ лизации систем, если частотная характеристика линейной час­

ти, начиная с некоторой частоты, проходит через / и IV квад­ ранты (фиг. 29). Такой частотной характеристикой обладают,

например, системы с запаздыванием, системы с распределен­ ными параметрами и т. д. Этот факт непосредственно вытекает

из указанного выше способа построения по IF(/(o) (см. фиг. 29). Интервал регулирования при этом выбирается

из условия

3. Процесс регулирования в системах импульсного регулирования

Рассмотрим 'уравнение системы импульсного регулирова­ ния (первого или второго видов)

 

 

 

ли?)-

Его можно привести к виду

 

 

 

 

Я* (а)

 

(64)

 

 

 

 

где *H(q)

—многочлен степени Л,

G*(q)

—многочлен степе­

ни I, соответствующий характеристическому уравнению.

Предположим, что х0[п] имеет

вид

единичного скачка,

то есть

 

 

 

 

 

1

при /1—0,

1, 2,

 

0

при л<0;

 

тогда входная величина моменты времени будет

*н (0)

импульсного элемента в дискретные определяться выражением*

i

- .

 

v

н* (q )

(65)

1

---------- ——

»-о

_]) g* (цч )

 

* См. приложение на стр. 81—82.

41

где 7» — основные корни характеристического уравнения, то есть основные полюсы передаточной функции замкнутой си­

стемы (основные корни уравнения

(q)~*G

0), а

 

 

 

*G

) =

rfG* (7) 1

Г d0*

п

1

~

 

J?-"?»

— j

— e~q

 

.

 

 

dq

 

 

Эта формула определяет процесс регулирования в моменты съема.

Если система устойчива, .то действительные части основных

корней характеристического уравнения *(q)=QG

отрицатель­

ны, и все слагаемые в (65), содержащие

eq'>n

,

с ростом п

будут стремиться к нулю. Предел, к которому стремится

будет равен

 

 

 

 

 

fool = "IV"

= "(0)*G

= (0)»+^*

’

(66)

Эта величина характеризует статическое

(установившееся)

отклонение входной величины импульсного элемента. Значе­

ние х1Х[оо] отлично

от нуля при *117

(0) * [оо] и обращается в

нуль, когда 1(0)=*Г

<х>. Последний

случай имеет место, на­

пример, когда исполнительное устройство содержит интегри­ рующее звено.

Построение процесса по формуле (65) связано с необхо­

димостью вычисления корней характеристического уравнения

(q)*G —0, что при Z>3 становится чрезвычайно громозд­ кой операцией.

Приведем иное выражение процесса, свободное от этих не­ достатков и позволяющее построить процесс при любом воз­

мущении.

Если передаточную функцию замкнутой системы предста­

вить в виде

= b^b^. .

 

 

G* (Я)

a0-\-aleq+ . . .

’

 

то, разлагая

ее в ряд по степеням е~ч можно

показать,

что

*.,(«] = 5 Fk.x0[n-(l-la+k)],

(67)

 

*-0

 

 

42

где коэффициенты Гk определяются из рекуррентного соот­ ношения

*/~

'■—-

I

7"а—ц

• Лс—р.

(68)

|

*(&/,_ = 0 при

 

р.-о

при

♦

 

А>/„

ai-p = 0

!<■>>/).

 

Таким образом определение процесса регулирования в мо­

менты съема t=n сводится к вычислению коэффициентов Гк

Выражение (67) определяет процесс регулирования (для

t=n) при любой форме х0[га]. Если Хо[п] имеет вид единичного скачка то, х0[п—(I—/г-М)] равно единице при k < п—1-\-12 и нулю при k^>n—и значения процесса находятся простым суммированием коэффициентов ГК. При заданных значениях

параметров системы вычисление процесса по выражению (67)

не представляет труда.

Можно, наконец, определить процесс графоаналитическим

методом

по частотной характеристике. Для этой цели по

И*(/(7о)

указанным выше способом

строится вещественная

частотная характеристика *В(со).

Если представить ее в виде

суммы типовых трапециодальных

характеристик (фиг. 30),

то искомую величину Гк можно выразить в виде

Д/ sin 10, k \ j sin (Av k) X

Г1-12+к— 2j A, I - k

j I

j-

(69)

Здесь А, есть площадь трапеции.

Остальные

 

обозначения

 

sin у

 

определяем

ясны из фиг. 31. Пользуясь таблицами —-—,

 

Гк, а затем, как указано выше, интересующий нас процесс

Х,х [Л].

43

Смотрите также файлы