Файл: Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб.pdf

Скачать файл (3,97Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.04.2024

Просмотров: 69

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

VI.	Если на отрезке а с х < /(х) < ср					(ж), то
		ь	ь
		J f (х) dx <2 J <р (х) dx.					(VI)
		а	а
В самом		деле, так	как f (х) < <р (х)	в	каждой точке
х е [а, £>],	то	при любом разбиении отрезка			[а,	&] на	части
\xk, *х +1]	и	при любом	выборе точек	е [хА,		x* +i]	спра

ведливо неравенство

л—1 Л—1

*-0 *-0

Переходя в этом неравенстве к пределупри Ах -* 0, мы полу чим неравенство (VI).

Отсюда, в частности, следует, что если на отрезке а < х < b

функция /(х) >0 (f (х) < 0), то

ьь

J /(х) ^х > 0		( J /(х) dx < 0).
а		а
5. Теорема о среднем значении
Теорема. Если на отрезке а Сх< b или b С х < а функ
ции f(x) и <р(х)	непрерывны и (р(х) не меняет знака,		то на
этом отрезке есть по крайней мере одна точка g такая,			что
ь	ь

J f (х) ? W dx — f (I) J ? (x) dx.

a	a
Доказательство. Прежде всего		заметим,	что
ь	ь	интегралы	от
J / (*) Т (х) dx и J ср (х) dx существуют как		интегралы	от
а	а
непрерывных функций.

Пусть, для определенности, а<^Ь и ф(х) > 0 при любом х из отрезка [а, 6]. Обозначим через пг и М соответственно наи

меньшее и наибольшее значения		функции /(х) на отрезке
[а, 6], которые существуют	в	силу непрерывности /(х).
Тогда для всех х е[а, Ь]
m	f (х)	М
и
)?«?(•«)</(*	(х)<Л!^(х),

Интегрируя все части этого двойного неравенства, получим

h			b			Ь
$	m<f (x)dx < J f (x) <p (x) dx < J M <p (x) dx
a			a			a
ИЛИ	b	b			b
m J <p (x) dx < J /(x) <p (x) dx						M j <p (x) dx.
	a		a			a
Отсюда следует,			что
		b	b
		J	f (x) ® (x) dx ~		J	? (x) dx,	(1)
		a			a
где ц	есть	некоторое		число,	удовлетворяющее		условию
/л				непрерывна на отрезке [а,
Так как функция /(х)				непрерывна на отрезке [а,			Ь], то она

принимает в качестве своих значений все числа отрезка [т,ЛЦ.

Поэтому есть по крайней мере одна точка £е[а, Ь] такая, что

н = f G).

Вследствие этого равенство (1) можно записать в виде

ь	ь
J / () Т () dx = f (?) J <p (x) dx,		(2)
a	a
где a. < $ < b.
Что и требовалось доказать.
Полагая в теореме	о среднем значении <р (х) = 1,	что не
противоречит условиям этой теоремы, и замечая, что
ь	л-1

С dx ~ lim V Дхй = b — а, J Ax-»0

аЛ—О

из равенства (2) получим:

ь
j f (х) dx == f (5) (й - а).			(3)
а
Частный случай теоремы о среднем значении, который вы
ражается равенством	(3), имеет	простой	геометрический
смысл. Действительно,	(х) dx есть	площадь Залвь криволи-
	а

нейяой	трапеции аАВЬ (черт. 4),	ограниченной отрезком
[а, Ь],	графиком функции y=f(x) и	прямыми х=а и х=Ь, а

f(l) (&—а) есть площадьпрямоугольника а ДВД осно ванием которого является

отрезок [а, &], а высотой— ордината точки М кривой y=f(x), абсцисса которой равна £. Равенство (3) оз

начает существование на кривой АВ такой точки М,

что

Sa А В Ь — Sa Л, Я, />•

6. Производная интеграла по верхнему пределу

Предварительно заметим, что интеграл а\f(x)dx, являю-

щийся пределом интегральной суммы, есть постоянная величи на, не зависящая от переменной х, содержащейся под знаком определенного интеграла. Поэтому, если переменную х под знаком определенного интеграла обозначить какой-либо дру гой буквой, например буквой t, то от этого интеграл не изме

нится, то		есть		ь
		ь		ь
		J /(х) dx — j' f (t) dt.
		a		a
	Пусть	функция	f (x)	непрерывна на отрезке [а, Ь].
Возьмем определенный интеграл от f (х) в пределах					от а
до	произвольной		точки	х отрезка [а, &]. Этот интеграл
X	f (х) dx существует, так			как по условию . функция	/(х)
J	f (х) dx существует, так			как по условию . функция	/(х)

непрерывна, и представляет функцию своего верхнего пре

дела х. Обозначим эту		функцию через Ф (х), то	есть по
ложим		X
		X
	Ф (%) = J /(х) dx.
		а
х	не	зависит От переменной х,
Интеграл j f (х) dx	не	зависит От переменной х,	содержа-
а	интеграла, как это было замечено выше,
щейся под знаком	интеграла, как это было замечено выше,

а от верхнего предела, обозначенного тоже через х, наоборот, зависит; поэтому формулу, выражающую функ цию Ф (х/, удобнее записать так:

dt.

Поставим себе задачей выяснить, существует ли производ

ная Ф'(х) от функции Ф(х) и, если существует, то чему она равна.

По определению производной

Ф'(х) = Шп ±(£±ALz2W_.

’ h~o h

Таким образом,	наша задача сводится к тому, чтобы выяс-
нить, существует	ли предел отношения	Ф (х -f- Л) — Ф(л)	при
		----- --------- —

А0 и, если существует, то найти его.

Рассмотрим эту задачу. Возьмем любое хе [а, Ь]. Дадим

х приращение h, положительное или отрицательное, но такое, чтобы x-\-h содержалось на отрезке [а, &]. Тогда получим для

функции Ф(х) новое значение:

	х+Л
	ф(х+ /?) = *] f(t)dt.
	а
Приращение функции Ф(х) равно
	x+h
Ф (х 4- h) — Ф (х) — J f(t) dt - J f (0 dt =
	a	a
x+h		x+h
= J	f(t)dt+ f f(t)dt= f f(t)dt.
a	x	x
По теореме о среднем значении имеем:
x+h		0 < 0 < 1.
j f (t) dt == hf (x + 0A),		0 < 0 < 1.

Поэтому

Ф(х + Л)-Ф(х) = f {x + 0A)>

2—295			-	17
~ ГОС. ПУБЛИЧНАЯ	j	70^'	/*	-
НАУЧН-ТЕХНИЧЕСКДЯ	I	70^'	/*
- БИБЛИОТЕКА СССР	I

Так как по условию данная функция f(x) непрерывна в каж дой точке х отрезка [а, &], то

lim f (х -j- 6А)

*0h-

Следовательно,

lim	+	= f (x)>
л-о		h

то есть функция Ф (x) в любой точке х е [а, &] имеет производ ную Ф'(х), причем

ф' (х)~/(х).

Этим доказана следующая

Теорема. Производная определенного интеграла от непре

рывной функции по его			верхнему пределу		равна значению
подынтегральной функции при верхнем пределе.
Попутно заметим, что если				функция /(х) непрерывна на
отрезке [а, Ь], то для любого х е [а, Ь]
Ь				х
dx J			dx	j
x				b
7.	Понятие		первообразной функции
Если в некоторой области имеет место тождество
F'(x)=f(x), то	в	этой	области функция		F (х) называется
первообразной по отношению к функции /(х).
Так, например,		при	всех	значениях	х функция х2 есть
первообразная для функции 2х, так как (х2)'=2х.
Теорема 1.	Если функция F(x) есть первообразная по от