Файл: Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб.pdf

Теорема 2. Любые две первообразные по отношению к од­ ной и той же функции отличаются между собой только по­ стоянным слагаемым.

Доказательство этой теоремы будет основано на следующей

лемме, выражающей условие постоянства функции.

f'(x)=Q для всех х из интервала (а, Ь).

Необходимость этого условия следует из правила дифференцирования: производная постоянной величины равна

нулю, то есть если f(x)=C для всех х из [а, &], где С—какое угодно действительное число, то /'(х)=0 при всех значениях х из отрезка [а, 6].

Достаточность. Пусть f' (х)=0 для всех х 6 (а, Ь).

Докажем, что на отрезке [а, Ь] функция f(x) —постоянна. Действительно, если а<Л< b, то по теореме Лагранжа

имеем:

fU) = f(a)

при любом значении х из отрезка [а, 6], то есть функция /(х)

на отрезке [а, Ь]—постоянна.

Из этого согласно доказанной здесь лемме следует, что

Ф (х) = С.

Отсюда

Г2(х)-Л (х)=С.

Поэтому

/=3 (X) =/=1 (х) 4-С.

Из теорем 1 и 2 вытекает

Следствие. Если функция F(%) есть одна из первооб­ разных для функции f(x), то множество всех первообразных для функции f(x) выражается суммой

F (Х)Н~С,

sde С — произвольная постоянная.

Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 6], то она на этом отрезке имеет первообразную.

Доказательство. Возьмем функцию

Ф (x) = J f(t)dt.

а

Она определена для всех х отрезка [а, Ь], так как подынтег­ ральная функция непрерывна и, следовательно, интегрируема на отрезке [а, х] при любом х е [а, Ь].

В предыдущем параграфе, было доказано, что для всех

хе[а,Ь]

Ф'(х)=/(х).

к данной функции /(х). Так как

Ф(х) = J ftt) dt

а

также первообразная для функции /(х), а любые две перво­

образные для одной и той же функции могут отличаться меж­ ду собой только постоянным слагаемым, то на отрезке [а, Ь]

верно тождество

где С — некоторое число.

Взяв в тождестве (1) х—а, получим:

Ф '(а) — F (а) С.

20

Отсюда, учитывая, что

формула в интегральном исчислении. Она приводит вычисле­ ние определенного интеграла от непрерывной функции /(%)

котысканию первообразной F(x) для данной функции f{x);

Пример. Вычислить площадь S фигуры, ограниченной

кривой у=х3, прямыми х=1, х—2 и осью ох (черт. 5).

21

ГЛАВА II

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1. Понятие неопределенного интеграла

Дифференцирование функции -Г(х) есть действие отыска­ ния для данной функции F(x) ее производной F'(x)—f(x) или дифференциала dF=f(x)dx.

Действие, обратное дифференцированию, которое заклю­ чается в отыскании для данной функции /(х), являющейся производной F'(x), ее первообразной F(x), называется интег­ рированием функции Дх).

Для указания действия интегрирования функции f(x) пользуются знаком j и пишут:

J f(x)dx,

поместив под знаком J выражение f(x)dxt являющееся диф­ ференциалом искомой первообразной.

Выражение J’/(x)dx означает все множество первообразных по отношению к функции f(x) и называется неопределенным интегралом от f(x).

держится в самой задаче интегрирования функции /(х), так как если функция /(х) имеет первообразную F(x), то /(х)

имеет бесконечное множество первообразных, причем все они содержатся в сумме F(x)-^-C, где С—произвольная постоян­ ная.

23

Чтобы из множества первообразных Д(х)-|-С для функции

/(х) выделить определенную первообразную у, достаточно за­ дать начальное условие

у = при х = х9.

Действительно, в этом случае из условия Уо = Д(х0) + С

находим

С = Уо F (х0).

Поэтому искомая первообразная для /(х) будет

у= F (х) - F (х0) + у0.

2.Основные правила и формулы интегрирования

Из определения понятия неопределенного интеграла имеем:

f f (х) dx — F (х)С, J

в которых и отражается то, что дифференцирование и интегри­ рование являются операциями взаимно обратными.

Докажем, что для неопределенных интегралов верны еще

24