Файл: Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб.pdf

Пример 2. Найти кривизну кубической параболы

у = х3,

(черт. 33) в любой ее точке.

Решение. Для данной кривой в точке М (х, у)

107

Пример 3. Найти кривизну эллипса

х—a cost, у — b sin t

в точке А (а, 0).

Решение. Дифференцируя, находим:

Подставляя найденные результаты в формулу (2), получим кривизну в произвольной точке данного эллипса:

,,ab

(a* *sin cos21)

Отсюда при значении t=0 получим кривизну эллипса в точке

А (а, 0):

Пусть кривая задана уравнением в полярных координатах

Р = f(6)-

du = /'(9) cos 9-/(6) sin 6,

— = /"(6) cos 0—2/'(6) sin 0-/(0) cos 9, d0a

~ =/'(6) sin 6 -j- /(9) cos 9, du

du* = sin 9 + 2Д (9) cos 9 - /(9) sin 9.

Подставляя все это в формулу (2), получим:

г — + -W"(e)

з »

1/2(9)+/'’(0)]2

108

или

(3)

(Ра + *р) ' *

Пример 4. Найти радиус кривизны спирали Архимеда

р = аО

в любой точке. Решение.

р' — а, Р" = 0.

Воспользовавшись формулой (3), получим кривизну дан­

ной кривой в произвольной точке:

Следовательно, радиус кривизны спирали Архимеда в

любой точке выражается формулойз

D__ (Р2 +Д2) 2 ,

Р2 + 2«2

Чтобы отметить практическое значение понятия кривизны, укажем, что изменение кривизны кривой приходится учиты­ вать, например, при прокладке железных дорог.

Дело здесь в том, что при движении поезда по криволиней­

ному пути возникает центробежная сила, причем большая для тяжелого состава, идущего со значительной скоростью. По­ этому, когда железнодорожная линия должна на одном участ­

ке идти по прямой, а на другом — искривляться, чтобы из­ менить свое направление, тогда эти два участка должны быть соединены переходной кривой, имеющей нулевую кривизну в точке стыка с прямолинейным участком пути и кривизну кри­ волинейного участка в точке стыка с этим участком.

Если бы прямолинейный участок сразу переходил, напри­ мер, в дугу окружности, то в точке стыка этих участков центро­ бежная сила возникала бы мгновенно, создавая сильный тол­ чок, опасный для поезда и вредный для пути.

В качестве переходных кривых удобны дуги кубических па­ рабол (см. пример 2),

109

УПРАЖНЕНИЯ

50. Переходная кривая на железнодорожной линии имеет форму кубической параболы

бу = х\

С какой скоростью вагон на этом участке пути изменяет свое направление, когда он проходит через точки А ^2, -y'j и

/i \

В11, -g-1 ? (За единицу длины принять километр).

51.Найти радиус кривизны гипоциклоиды

х •=« a cos’ t, у = а sin’t

в точке, где t = — .

4

52.Найти кривизну кардиоиды

р= а(1 — cos 6)

влюбой точке.

6. Площадь поверхности вращения

Рассмотрим спрямляемую кривую АВ, расположенную над осью ох (черт. 34).

[0, /].

Если данную кривую вращать вокруг оси ох, то получится некоторая поверхность, называемая поверхностью вращения.

Чтобы определить площадь поверхности вращения кривой АВ, поступаем следующим образом.

110

Разобьем отрезок [о, I] на части точками

О = s0 < s, <. . . < s„ < . . . <sn = I.

Обозначая через Мк точку кривой, соответствующую

s = sk, мы получим разбиение кривой АВ на элементарные дуги Mk Mt+i .

му (учитывая, что площадь боковой поверхности усеченного конуса равняется произведению полусуммы длин окружностей

Поэтому

Л—1

5=2 к Um Sy(^)ds,.

Л-0

111

Я—1

Сумма есть интегральная сумма для непре-

k-0

рывной функции y(s) на отрезке [О, ZJ. Поэтому

Следовательно, площадь S поверхности, образуемой враще­ нием вокруг оси ох кривой АВ, выражается формулой

i

Формулу (IX) здесь мы получили, исходя из интуитивного

представления о площади поверхности вращения. При строгом выводе этой формулы исходят из определения площади

поверхности вращения кривой как предела площади вращения вписанной в кривую ломаной.

Соединяя последовательно точки деления кривой хордами

(А“0, 1........... л—1), образуем вписанную в кривую АВ ломаную.

Если вращать вокруг оси ох вместе с кривой АВ и построенную ло­ маную, то получится поверхность, площадь которой можно вычислить по правилам элементарной геометрии, так как она состоит из боковых поверхностей усеченных конусов, образуемых вращением звеньев лома­

112