Файл: Нестеров К.П. Системы автосопровождения [учебное пособие].pdf

где

X ( z ) — Z-преобразование входной величины; Y ( z ) — Z-преобразование выходной величины;

K ( z ) — Z-передаточная функция разомкнутой системы. Определим Z-передаточную характеристику для системы

(рис. 1.31} с передаточной функцией

где

кн{р) К 0(\+тр)

рр\\-\-ахр)

—передаточная функция приведенной непрерывной части. Известно [5], что если

К(р)^{\-е-рт)К,{р),

то Z — передаточная функция имеет вид

K(z) = ( \ - z - ' ) K x{z),

где

Kx(z)—Z-преобразованне передаточной функции Кг(р)\

K{z) —Z -преобразование передаточной функции К(р); Z=epT.

Для определения K\(z), используя разложение Ki(p) на прос­ тые дроби, для каждого слагаемого найдем Z-преобразование Лап­ ласа по таблицам, приведенным в 151:

и приравнивая соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях Р числителей полученного тождества, найдем

25

Обычно в данных системах параметры корректирующего устройства выбирают так, что ат>1, тогда

Кк у(х+*р) _ Ка(\+тр) i

1 аТр-; рз

где Ка = Г~ ^ то есть система приближается к системам с аста-

тизмом второго порядка. Получим передаточную функцию ра­ зомкнутой системы для этого случая.

Представим Кг(р) в виде

ОДмЦтИу’]-

По таблицам ^-преобразований [5] найдем

1. Ггг(г+1)

>^ 2(z—1)п ’

ттТг

Тогда

отсюда

26

Определим передаточную характеристику замкнутой системы

Устойчивость системы

Для анализа устойчивости импульсной системы полученной структуры воспользуемся критерием Гурвица. При применении критерия Гурвица к импульсным системам необходимо произвес­ ти подстановку:

го радиуса плоскости г в левую полуплоскость плоскости W; та­ ким образом, становится возможным применение обычных мето­ дов анализа устойчивости.

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

Произведя подстановку (1.13) в (1.14), получим

Д( Щ = ( 1+ ай+ал) №4-2(1 - a0)W + 1 - al + а0= 0.

Согласно критерию Гурвица, условиями устойчивости будут нера­ венства

Эти же неравенства получаются, если в исходном характеристи­ ческом уравнении (1.14) произвести последовательно подстановку 1, 0, —1, то есть

Д 0 ) > 0 ,

27

Таким образом, для частного случая, если характеристическое уравнение представляет собой полином 2-й степени с веществен­ ными коэффициентами и коэффициент при z2 равен единице, необ­ ходимым и достаточным условием устойчивости системы будет вы­ полнение неравенств (1.16) или (117). Произведя подстановку

Рис. 1.32

Область устойчивости, построенная на рис. 1.32, позволяет су% дить о том, как изменять параметры системы для того, чтобы си­ стема была устойчивой. Пусть для нашего случая

28

Переходная характеристика системы

Под переходной характеристикой системы будем понимать реакцию системы па единичное воздействие при нулевых началь­ ных условиях. Переходную характеристику можно вычислить тре­ мя методами:

1) разложением в ряд по степеням z~x дробнорациональной функции z-изображения переходной характеристики;

2)разложением 2-изображения переходной характеристики на сумму элементарных дробей с последующим применением формул обращения;

3)частотным методом.

Найдем переходную характеристику системы первым методом, как наиболее простым в данном случае. Выходную величину им­ пульсной системы можно определить из выражения

У(г)=К0(г)Х(г),

где

Ko(z)— Z-передаточная характеристика импульсной системы; X ( z ) — Z-изображение входной величины;

Y ( z ) — Z-изображение выходной величины. Если входная величина единичная функция, то

где H ( z ) — Z-изображение переходной функции.

Подставив значения параметров системы из (1.18) в выраже­ ние для Ko(z) и затем полученное Ko(z) в (1.19), получим

так как

СО

H(z)— Y iH { n T )z -n ,

п=0

коэффициенты при 2 соответствующей степени численно равны ор­ динатам переходной характеристики для моментов пульсаций, оп­ ределяемых показателями степени 2. Разложение H(z) по обрат­ ным степеням 2 произведено делением числителя на знаменатель

иимеет вид

Я(г)=1,1 •г--1+ 1,19-z-2+1,161 -z -3+ П1259-2-4 + 1,09721 -2"5+

+1,074899-2 -6+ 1,057692-7+ 1,0444-г - 8+ 1,0342-2-®+. . .

29