Файл: Штагер В.В. Чебышевские приближения, применяемые в расчетах электрических схем.pdf

Пусть

т < 1.

max|z| =

(13.10)

[-ь

+i]

Рассмотрим функцию

У =

1 — т

z— i / m

(13.11)

----------------->

1 + т

z+ • / т

и подставив вместо г отношение (13.3),

получим

_____ _

f (0 — е (0

У — " i i

----------------— >

}(t) +

g(i)Vm .

где т и Шх— постоянные, a

f (t)

и

g (t) — полиномы степени п.

Таким образом, выражение (13.11) есть

рациональная дробь степени

У т

1 =

2(z + т

у / п

1

(l+ m)(z+ Ут)

и в промежутке

, где соблюдается условие (13.10),

k , - 1

шах

IУ +

2 т + 2 т

У

т

2 У

т

(13.12)

(1

У

т

)

1 + т

[ - Т - ]

Во втором промежутке

выполняется

условие (13.9) и, с

другой стороны,

k

|у _ _ } | _

(1 — т ) ( г -

2

У т

g-)i- z У т )

(1 + т ) ( г+ У т )

( I - \ - т ) ( г ~ \ - У т )

Поскольку здесь |z |>

1,

множитель

1-1- г / т

увеличивается

— 1------ = —

z

-\~

У т

шах |у — 1

2 У т

(13.13)

14- т

— 1 уклоняется о т — 1 на величину,

не превышающую

.,и во

втором промежутке ~Ь 1>

её

уклонение от

+

1 не превыша­

ет той же величины -2- ~ - .

Таким

образом,

уклонение функции у,

1+ т

определяемой

выражением

(13.11),

от

функции

sig n *

составляет

!» =

•

(13.14)

Величина

т находится

в

пределах

0 <

т <

1,

при

которых у

есть монотонно возрастающая

функция от т. Следовательно, зада­

Таким образом, с помощью

преобразования (13.4) и (13.5), имея

решение

задачи В

(13.8) или

решение третьей задачи Золотарёна,

можно,

используя

выражение

(13.11), получить решение задачи А

или решение четвёртой задачи

ЗолотарёЕа. Очевидно, что получен­

применения

ф-л (13.4)

и (13.5),

не

изменяет числа узлов в ре­

шении задачи, очевидно,

что при

том

же значении п этот способ

обеспечивает сохранение наилучшего приближения.

Решение

четвёртой задачи ЗолотарёЕа имеет вид

5*

67

У

Ф ( х )

(14.1)

где Ф(х)

и Ф (х) — полиномы степени п,

найти ту, которая в проме­

жутке

1,

—

(0 <

/г <

Г) наименее уклоняется от единицы.

L

&2

речь

идёт

о

наилучшем

приближении функции

Таким образом,

у х посредством

рациональной дроби —— , степень числителя и зна-

менателя которой равны п.

4 (*)

1,

2^

Подстановкой х =

г3 промежуток

преобразуется в два

/г2

промежутка

-

-

5 ' 1 ,

- i - 1

При

этом

■ т

1_

k

У =

г Ф (г2)

''

(14.2)

а величина уклонения

Ф (г2)

max

\

- у *

т

H J

Ф м

приводится

к величине

z Ф(г2

шах

Sing 2

(14.3)

М -.1' Ы

Ф (г2)

Н

Таким

образом,

подстановка

х = г2 приводит рассматриваемую

задачу к задаче А,

разобранной

выше.

Решение этой задачи Чебы­

шева в параметрической

форме имеет вид

X =

sn2(и,

k)

(14.4)

У =

(14.5)

и sn i — ,

/.) имеют место соотношения:

\м

)

к

и =

К'

(14.6)

м

(2п + 1)М

п 1

sn2(и, k)

Y =

2\ sn (и, k) пт

(14.7)

1+ А

М

* * _

sn2(и, k) ’

v=l 1

где

С =

2n + 1

K'.k'

K'.k'

2n + 1

или

21

_

n 1+ -p.—

Y

=

л

п -

4

(14.8)

1 + к

M

■i i +, '2v-l

Посмотрим, как изменяется разность

1— Y, если

х

пробегает

промежуток 1,

k2

Пусть

и = К +

in.

(14.9)

Тогда, применяя формулу для соотношения между эллиптичес­

кими функциями Якоби [Л2],

sn (К Я- in, k) =

сп (i и, k)

1

получим

dn (i v, k)

dn (v, k')

l

x =

sn2(К + in, k)

(14.10)

dn2 (v, k')

Когда v увеличивается от 0 до К',

функция dn2 (и, k') убывает

от 1 до 1— k12= /г2,

а следовательно,

х

возрастает

от

1 до — •

k2

Это

и есть интересующий нас промежуток изменения х. Посмотрим,

какие значения принимает при

этом разность (1 — Y).

Из выраже­

ний

(14.5) и (14.9) следует

1 — К = 1—

2/, -sn

(14.11)

1+Х ~

или, учитывая (14.10) и полагая

— '=

до,

М

1— Y = 1 -

2Х

1

(14.12)

1 +

X

dn (w, 7,')

При увеличении и от 0 д о

К',

до возрастает от 0 до (2п + 1)L',

а значение функции dn (до, а')

колеблется

между 1 и | / 1 — а12 = X.

В

точках

до = 0, L', 2L',

. . ■2nL',

(2п + 1) L'

функция dn(w, )/) принимает значения

•1,

X,

1,

,

а

разность 1 — Y принимает

при этом

значения

1 — X

_

1 — X

1 4- X ’

1 4 - х ’ ' ' '

х0•= 1, хг =

%2

промежутка j^l ,

.