Файл: Штагер В.В. Чебышевские приближения, применяемые в расчетах электрических схем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 73
Скачиваний: 0
сл
СО
причём при чётных п |
v = |
1, 2 |
|
при нечётных п |
v = |
1, 2 . . . ------ - » |
|
а отсчёт точек |
xt следует |
2 |
|
вести от х = х к х = 0, т. е. |
|||
\ > xh > |
(12.35) |
|
2 |
||
|
При этом в число — узлов входят лишь внутренние точки, не
считая границ промежутка. Узлы второго промежутка (точки, в
которых у — ± ~1~) подчиняются условию
|
|
|
— |
< |
— |
|
|
|
— |
|
|
(12.36) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
и отсчитываются от |
точек |
+ — |
к |
+ со. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
Таким образом, третья задача Золотарёва решается |
при помо |
||||||||||||
щи следующих формул. Для |
чётных значений п |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г/ = |
|
П |
Pl — x2 |
|
|
(12.37) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1—Р^х2 |
|
|
|||
При нечётных значениях п выражение для у отличается только тем, |
|||||||||||||
что |
вместо |
— ставится - ■ 1. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
в первом промежутке и нахо |
|||
Нули функции у |
сосредоточены |
||||||||||||
дятся в точках |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Р |
= |
xsn ( |
n ~ |
2J |
+ 1- |
К, *2) |
, |
(12.38) |
|||
а узлы (значения |
у — ± L) |
в точках х 1о = + |
х и |
|
|||||||||
|
|
|
|
х^ = |
xsn(^= -^K , |
**), |
|
(12.39) |
|||||
причём при |
чётных |
п |
v = 1, 2 . . . - j- |
|
|
|
|||||||
и при нечётных п |
v = |
1, 2 . |
. . - |
|
- (в |
этом случае нулём также |
|||||||
является точка х = 0). |
|
|
промежутка |
имеют значения, обратные |
|||||||||
Узлы и полюсы второго |
|||||||||||||
нулям и узлам первого |
промежутка. Сама функция у |
также при |
|||||||||||
этом |
принимает обратные |
значения. |
Величина х, |
обычно |
называется |
||||||||
60
61
I |
17= 2 |
I |
I |
|
|
Рис12.3. Графики функции у, являющейся решением третьей задачи Золотарё ва, для чётных значений п.
62
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 12.1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
% = |
|
|
1 |
|
|
1 |
п |
—7. sn |
|
|
|
|
|
|
/я — 2v \ |
|
|
|
L |
|||
k |
|
|
|
РV |
|
— х sn I |
* ) |
|
Xh |
|
L |
||||
' |
|
|
|
|
D- I |
|
\ П |
|
|
|
|||||
|
|
Pi |
Рt |
Р3 |
Р Г 1 |
1 Р~ 1 |
xh |
*'2 |
| % |
V |
| V |
V |
|
|
|
|
|
1 *2 |
1 3 |
|
|
||||||||||
1 |
0,95 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
0,95 |
1,05 |
2 |
0,95 |
0,79 |
— |
— |
1,27 |
— |
— |
0 |
— |
— |
оо |
— |
— |
0,62 |
1,60 |
3 |
0,95 |
0,89 |
— |
|
1,12 |
— |
— |
0,95 |
0,61 |
— |
1,05 |
1,64 |
— |
0,35 |
2,90 |
4 |
0,95 |
0,92 |
0,49 |
— |
1,09 |
2,04 |
— |
0,75 |
0 |
— |
1,33 |
ОО |
— |
0,20 |
5,0 |
5 |
0,95 |
0,93 |
0,70 |
— |
1,07 |
1,43 |
— |
0,85 |
0,40 |
— |
1,18 |
2,50 |
— |
0,11 |
8,9 |
6. |
0,95 0,93 0,79 0,37 1,07 1,27 2,70 0,89 0,61 |
0* |
1,12 |
1,64 |
ОО |
0,075 |
13,3 |
коэффициентом использования диапазона и задаётся условиями за дачи. Величина L определяет сложность функции у (число свобод ных параметров) и выражается формулой
2 |
(2ч- 1 ) Я X2 |
|
L — ■/.'■J”J sn2 |
(12.40) |
|
v=l |
п |
|
|
|
|
Значения функции sn (и, х2) |
могут быть взяты из кривых, при |
|
ведённых на рис. 12.1.
Определив нули, узлы и полюса функции в обоих промежутках и имея заданные значения х и п, можно построить графики функ ции у. Такие графики для п от 1 до 6 приведены на рис. 12.2 и 12.3, а соответствующие этим графикам расчётные значения сведены
втабл. 12.1.
Втеории связи (в частности, в расчётах фильтров) решение третьей задачи Золотарёва используется для половины веществен ной оси (только для положительных значений х.) В этом случае приближение не является наилучшим в чебышевском смысле (мы уже указывали, что наилучшее приближение является функцией проме жутка, в котором оно определено). Но поскольку уклонение может быть сделано сколь угодно малым и определяется лишь числом свободных параметров, такое решение практически удовлетворяет
требованиям задачи.
|
13. ЧЕТВЁРТАЯ ЗАДАЧА ЗОЛОТАРЁВА |
|
||||
Найти рациональную дробь |
|
|
|
|
||
|
|
У = ? (*) |
|
(13.1) |
||
|
|
+ W ’ |
|
|
|
|
числитель |
и |
знаменатель которой |
представляют |
собой полиномы |
||
степени п |
и |
которая в промежутке |
1 |
наименее |
укло |
|
няется от— |
1, |
а в промежутке |
наименее уклоняется от |
1, |
||
если k удовлетворяет условию 0 < |
k < 1. |
|
|
|
||
Функция, к которой должна приближаться дробь у, условно |
||||||
может быть записана в виде |
при х < |
|
|
|
||
|
|
— 1 |
О, |
|
(13.2) |
|
|
|
sign X = |
при х > |
0. |
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
||
Решение этой задачи, которую Ахиезер называет задачей А, мо жет быть получено из решения третьей задачи Золотарёва. Для определения связи между этими задачами сформулируем по Ахиезеру [Л2] задачу, существенно не отличающуюся от третьей задачи Золотарёва (задачу В).
64
Найти |
рациональную дробь: |
|
/(О |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z = |
|
|
|
(13.3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (0 |
|
|
|
|
которая в |
промежутке [— |
1, |
-г |
1] наименее уклоняется от нуля,а |
||||||||||
в промежутке |
, |
1 |
|
1 |
(включающем бесконечность), удовлет |
|||||||||
вореннеравенству |
|z [ > |
1, |
если |
0 < |
/. < |
1. |
|
|
||||||
Для |
приведения |
этой |
задачи к |
четвёртой задаче |
Золотарёва |
|||||||||
следует |
ввести |
преобразование |
|
at -j- b |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13.4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ct ■ |
|
|
|
||
положив |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = - |
V % |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ь = |
- |
(1 + |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
c = |
\ /% — |
x, |
|
|
(13.5) |
||
При этом |
|
|
|
|
d |
|
— У*. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13.6) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
у' X |
+ |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и'промежуток |
(— |
1, |
-• |
1] |
переменного t |
переходит |
в |
промежуток |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
— V * |
< |
х |
1. |
|
|
||
Если |
теперь положить |
|
|
|
|
|
||||||||
|
i — / х |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
k |
= |
|
|
|
|
(13.7) |
|||
|
|
|
|
|
|
1+ V 1 ! |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
то промежуток |
[— |
1, |
г- |
11 переменного t |
переходит |
в промежуток |
||||||||
- — , — |
11 переменного х, |
т. е. первый промежуток задачи В пере- |
||||||||||||
ь\
ходит в первый промежуток задачи А. Второй промежуток задачи В
1 |
- 1 . |
|
1, |
1 |
за- |
|
— , |
-------- также переходит во второй промежуток |
|
||||
X |
7. |
j |
|
|
|
|
дачи А. |
|
|
|
|
|
|
Допустим, |
что мы имеем решение задачи В |
|
|
|
||
|
|
z = /о (О |
|
(13.8) |
||
|
|
go (О |
|
|
|
|
Тогда |
f0 (t) — полином степени |
п и |
|
|
|
|
|
|
min|z| = |
1. |
|
(13.9) |
|
K - i ]
5 — В. В. ШТАГЕР |
65 |
