Файл: Штагер В.В. Чебышевские приближения, применяемые в расчетах электрических схем.pdf

-f- r2cos*-2 0 sin20 + . . . . + rtcos*-1 0 sin' 0 -f . . .

,

(4-10)

Т (*) = Л +

^

(1- Х 2)*

(1 — X2)* - 1 2х

+ . . .

+

П

/г-1

(1 + х2)*

(1 + X3) * - 1 (1 + х2)

,

_ (1 — X2)*- ' (2х)‘

,

•••+

п --------- — -----------. ■+■•••

или

(1 _ х 2)*-г(1 -f- х'2)г

Г (х) = Л + ^

г0(1 — хг)* 4- гл (1 - х 2) * - 1 2x4-. -4-0(1—х2)*~!'(2 х )'+ ...

(1 +

х2)*

/г-1

(4.11)

После суммирования и приведения к общему знаменателю вы­

ражение (4.11)

примет вид

Т(х)=-

Д о(1+хУ+г0(1—ха)(!+ хУ —1 -Нг0(1 -х Т +

(1 + х 2)л

Т(х)

P o *2" 4 - P l * 2n 1 + • ■• + Рп

(4.13)

(1-4- х2)л

Если положить

1

(4.14)

<7(х) =

(1 + х2)л

цией f (х) —А0 хпи полиномом степени п —

1, Ах хп~‘ -|- А2хп~~2х -f . . .

. . . + Ап, наименее уклоняется от нуля,

то полином степени п

Р{х) = А0х>' + А 1хп- { +

... + Аа

(5.1)

также наименее уклоняется от нуля.

Промежуток, в котором

рас­

\P(x)\ — L

должна достигаться

в п + 1 точках

(степень

прибли­

жающего

полинома в данном случае равна п — 1) промежутка [— 1,

- f 1], последовательно меняя знак.

Из этих п + 1

узлов два распо­

ложены

на

границах

промежутка

и п — 1 внутри

его,

так как

производная

Р' (х) есть полином

степени п — 1 и

не

может

иметь

более, чем' п — 1 корней.

Полиномы

1й — Р2(х)

(5.2)

и

(1 - х * ) Р ’2(х)

:

(5.3)

Ътличаются между собой постоянным множителем,

так

как

имеют

одни и те же корни: простые - f

1 и — 1 и двойные х

(i =

1, 2, . . .

п — 1). Для

определения этого постоянного множителя достаточно

сравнить коэффициенты

при старших членах:

X2— Р2(х) = — А*х2п+ . . . ,

(1 — х2) Р'2 (х) — — n2A2xin - f . . . .

Следовательно, можно написать дифференциальное уравнение

первого порядка

/

n2\L2~ P 2{x)\ =

( l — x2) P 2(x),

(5.4)

решение которого имеет вид

Р {х) — Lcos(n arc cos х + С).

(5.5)

При С =

0 и любом целом

положительном п

выражение (5.5)

, является

полиномом, в чём можно убедиться, сделав подстановку

х =

со$ср.

(5.6)

2*

19

При этом

Т„ (х) =

cos п arc cos х —ccs п ср = -1- (еш 9 •■e-irt 1р)

(5.7)

или

cos пarc cos х = — [(cos ср +

i sin ф)" - f (cos? — i sin ср)n\,

(5.8)

а возвращаясь к переменней х, получим

Тп(*) =

-£- [(* + V

)» + (X -

)»].

(5.9)

Гт _

1) • ■■\п— (т— 1)]

А, необходимо положить

А

L =

(5.11)

2п~1

Таким образом, искомый полином степени п наименее уклоняю­

щийся от нуля в промежутке [— 1, -f- 11и имеющий при

старшем

члене коэффициент, равный А, имеет вид

Р(х) = - ф з - ccs пarc ccs х = - ~ г г Тп(х),

(5.12)

где

ccs пarc ccs х.

(5.13)

Тп (х) =

+

re (re — 1) (re — 2) (re — 3) cos'1 40 sin40 +

(5.14)

1-2 3-4

Тп+1 (х) = 2хТп(х) - Тп_ у (х) ( « = 1 ,2 , ... ) ,

( 5. 15)

Т6 (х) =

32л:6 — 48л4 +

18.v2.— I

и т. д.

Кроме приведённых форм записи полиномов

Чебышева

(5.13),

(5.7), (5.8), (5.9) и (5.10)

иногда применяются

и другие

фермы.

Например, часто пользуются параметрической фермой:

Тп (х) =

ccs л 0

(5.16)

х — cos в

из которой непосредственно видно расположение

нулей полиномов

Тп (х), имеющих место при

n 0 = (2v— 1) —

,

т. е. в точках

2

ху = cos —

(v = 1 ,2 ,... л)

•

(5.17)

2п

.

. . (х — х„) (х +

хг) =

22п 1(х2— х2) (х2— Хг). . . (х2— х2),

(5.18)

для

четных л и

Т2п(х) =

22я х (х2-

х2) (х2- х2) . . . (х2— х2)

(5.19)

— для нечётных л.

Нули этих функций,

+ ху

могут быть вычислены по ф-ле (5.17).