Файл: Поляхов Н.Н. Теория нестационарных движений несущей поверхности.pdf

1 +

хг—а

Вслучае гармонического колебания пластинки, как и i случае бесконечного размаха, можно положить

Г - Г * « ' "+г„.

откуда

х . —х-

71

о

Участки свободных вихрей, тянущиеся от — а до + а и обладающие циркуляцией Г (Xj, t ) f дадут в точке N' сечения

z' — 0 скорость

Ч-Л

Дг'/о =

На основании теоремы о среднем получим

где Гт есть некоторое среднее значение Г (Xj, t). При больших удлинениях величина Дт^о будет иметь значение, близкое к

_ Jj »JL

2ка

небрегает и влиянием добавочной скорости Дг/г-, которая

72

ний для отказа от них. При этих условиях уравнение непро­ ницаемости пластинки можно записать в виде

В соответствии с этим можно утверждать, что полная цир­ куляция Г может быть представлена в виде

Г = Г£ + Г' + Гг-.

Величину мы находить умеем. Найдем теперь Г' и Гг-. Первая из этих величин определяется совершенно так же, как

В случае гармонических колебаний в направлении, перпенди­ кулярном плоскости пластинки, для полной комплексной цир­ куляции получим'

Г =—iaF*eM-eh j К0fo, X,) e~hx- ** + 1 —1jdxv (89)

Наконец, величина Ггнайдется по формуле типа формулы (70), в которую следует добавочно ввести слагаемое

• 2aVc ^ Даг(1 — cosb')db',

где

Г * рМ

Таким образом, будет иметь:

Г/ = — eMF0(a, Х2) — f-0

Л1

Собирая вместе все найденные циркуляции, получим

7а

откуда

где

Ех

1

Определение действительной части Г*, которое может интересовать нас при решении конкретных задач, не пред­ ставляет труда, если заранее подсчитаны величины C\S\, Лх и Дх, зависящие от удлинения Xj и параметра а. Таким образом, циркуляция Г, постоянная по размаху пластинки, определяется просто. Заметим, однако, что если бы мы начали строить такую пластинку с постоянной циркуляцией, согласно форму­ лам (90), то она получилась бы перекрученной, причем

ворить уравнению непроницаемости при z' Ф 0, необходимо определить угол а из формулы (87), т. е. взять его в виде

(93)

74

откуда и следует, что пластинка будет перекручена. Если мы хотим, чтобы она была не перекручена, мы должны предпо­ ложить, что 7П есть функция не только от х х но и z ', т. е. мы приходим к пластинке с переменной циркуляцией.

§ 13. Пластинка с переменной циркуляцией по размаху

Будем считать пластинку по-прежнему прямоугольной и попробуем удовлетворить основному условию непроницаемости, взяв плотность вихрей fn в виде 7п = /(z)-Tm (Xj), где f ( z ) есть безразмерная функция, на которую мы наложим обычное условие для случая конечного размаха, а именно условие, что /( г ) обращается в нуль на концах, т. е. при z — ± L . Совер­ шенно очевидно, что циркуляция около какого-либо сечения пластинки будет выражаться формулой

Г = /(* ) J Тот (-*i) d x x —f (z)’Tm.

Если пластинка имеет большое удлинение, то мы можем исходить из предположения, что скорость, вызываемая в точке

x v 0 сечения z' вихрем, который проходит через точку N,

будет такая же, какую вызывает в этой точке вихрь, который имеет постоянную по размаху циркуляцию, равную Гm-f(z'). При этом предположении получим

— a

Переходим теперь к установлению скорости, вызываемой свободными продольными вихрями. Продольный вихрь, кото­ рый начинается (см. рис. 16) в точке (Xj, 0) сечения z и яв­ ляется как бы продолжением присоединенного вихря, обладаю­ щего циркуляцией YnC*i, z ) d x u имеет циркуляцию

Циркуляция свободного продольного вихря, тянущегося вдоль прямой у = 0, z = const, будет изменяться вдоль его длины и равняться при — а < хх < а

75

Непосредственно за задней кромкой циркуляция продоль­ ного вихря будет

При большом удлинении X мы пренебрежем влиянием продольных вихрей, имеющих протяженность от — я до + а, а также пренебрежем в этом же промежутке изменениями индуктивной скорости, вызываемой свободными, продольными вихрями и вычислим индуктивную скорость в точке N' (а, 0, г'). Для этой скорости будем иметь:

dvi

rfF (xlt z, t) (z — z') dxx _

' 4tc j [(„_*,)* + (* -z ')2]3/2 “

Полная скорость Vi будет тогда выражаться формулой

76