Файл: Поляхов Н.Н. Теория нестационарных движений несущей поверхности.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 66
Скачиваний: 0
Отсюда видно, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
Тп = U |
+ |
т ' . |
|
|
где через i nk |
обозначена квазистадионарная |
вихревая |
плот |
|||
ность, а |
|
+а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. / _ |
2 . / |
а ~ х Л |
I f a |
+ Xl Vns(Xl, |
t) . |
( - |
Т" ~ * V |
а + Х\ ) У a - Xl X l - X[ d X " |
|
||||
|
|
—а |
|
|
|
|
где v ns дается формулой (72), которую во избежание путаницы в обозначениях при дальнейших интегрированиях запишем
со
= % > — а < Х ! < + а, а < ? < оо.
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда формула |
(75) |
представится в виде |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
_________ |
со |
|
|
+ в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д ~Ь Х1 |
|
|
dX-i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a~ xt |
(?— JCi) (Д?!— дг,) |
||||
Применяя |
метод неопределенных |
множителей, получим |
|||||||||||||
Г |
|
*1 |
|
|
dx1 |
|
|
|
|
|
Л-a |
|
+ Xi |
dx! |
|
|
|
|
^ |
|
= — |
C - |
f v |
- |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Х1 |
(g — x l ) ( x l ~ Xl)Л |
|
|
g - д : , |
j |
У |
a |
— ДГ, g — Xl |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ X1 |
dX-[ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
'X1 |
Xl — JCj |
|
|
|
|
||
Сделав |
известную |
нам |
замену |
переменного |
|
х г = — a cos 6, |
|||||||||
= — a cos 6', будем иметь— см. |
(68) и (71а) — |
|
|||||||||||||
. |
Г |
I Га + Xl |
dXl |
|
|
|
тс |
sin 0 dd |
|
_ |
|
||||
|
|
С |
0 |
|
|
||||||||||
0 |
J |
т а — Xl |
x |
x ' |
|
|
J |
^ 2 cos 0 — cos 0' ~ |
TC’ |
||||||
/ = f \ f -a± * |
|
= a f (! -T “i iL f = ^ / i / ~ e + £ _ Л |
|||||||||||||
J г a — Xx g — ДГ1 |
J E + e c o s 9 |
|
\ r c — a |
/ |
|||||||||||
На основании |
этого |
интеграл / |
примет вид |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
7= |
_!1_? | Л ± £ |
|
|
|
|
|
||||
и потому |
|
|
|
|
|
E-Jfi |
' |
Е _ а |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
= 1 |
I / |
а ~ х \ |
I |
л[ |
g + д |
-jdh |
|
|
|
|||
|
|
Тп |
* V а +х\ |
J |
* £- « £- Х\ ‘ |
|
|
61
Так как интегрирование по х х выполнено, то, вводя |
вместо £ |
|
обозначение x lt получим |
|
|
J_ л [ а - Х1 ( 1f |
+ а _ j d £ i _ |
(76) |
Тп = к V а + х[ J V х х — а Х1-- Х\ 9 |
|
а
— а < х[ < + а-
Заметим, что при помощи вихревого метода весьма просто можно получить выражение для силы Ys, действующей на бесконечно тонкий, слабо изогнутый профиль. Действительно, как мы видели ранее,
~ ~ Р Jt I* (ф г + фя) dx[ — — р J [(Фг + Фв) х \]^ +
|
L |
|
+ P ^ J x[u'dx'v |
, |
< НФГ + Ф,) |
где и = |
--------;-----. Взяв за начало отсчета дуг точку |
|
дхг |
х\ = у\ = 0, получим для рассматриваемого типа профилей
+а
где
*П |
= И |
На основании (76) имеем: |
|
|
+а |
х\ ч'йх', = — |
x xdx j |
d x u |
|
1 1п 1 л |
|
62
Если бы мы имели вместо вихревого следа один изолирован ный вихрь с циркуляцией 8Г5 = чол:1) находящийся на расстоя нии х г от начала координат, то элементарная сила 8Т^ равня
лась бы
где
/(X j) = ]/~х\ — а 2— jCj.
Так как рассматриваемый вихрь остается неподвижным и цир
куляция его неизменна во времени, |
то при профиле движу |
щихся вдоль оси — х 1 мы получим |
|
|
1\ = |
|
Y 4 |
------Р ^ Г , ( ] / | ± f _ 'l ) + |
fUea |
где |
ис |
dxj |
|
dt |
|||
|
|
||
|
В случае непрерывно распределенного вихревого следа |
||
будем |
иметь: |
||
|
|
Т' = — рисР + риса |
|
где |
Г' |
есть добавочная циркуляция, определяемая форму |
|
лой |
(71в). Сила |
|
|
а |
|
уже знакома нам (см. стр. 55). |
и силу, зависящую |
||
Точно так же можно было бы получить |
|||
от ускорений и присоединенных масс. |
|
||
§ 11. Вычисление силы X |
|||
Выше мы видели, |
что |
сила X может |
быть представлена |
в виде — см. формулу |
(30с) — |
|
|
X — Xjk |
+ Х т + Xi -j- x s, |
где отдельные слагаемые определялись при помощи формул
Xjk — ррф/г, |
|
Х ш— — рш J xd (ф/; -)- Ф$ + Фг') — X wk -|- |
ХшТ', |
L |
|
63
Х т = — (rnnuc+ mn vc + |
mlS">l), |
Xi = P J InVids!, X s = — f>r'vc + X s, |
|
L |
|
причем X s следует находить, применяя |
формулу (25), а Х т |
— применяя формулу (30,d).
Для случая тонкого, симметричного профиля можно при
нять, имея |
в виду формулу (30,f), что |
|
|
|||
А' = |
X k + |
|
р j |
- р® J Y (-«i — Y |
a2) dXl~ pr'Vc’ |
^ |
где |
через |
|
X ^ |
обозначено выражение, |
соответствующее квази- |
|
стационарному |
рассмотрению. Определение X £ известно и мы |
|||||
на нем не |
|
останавливаемся. Индуктивная скорость, входящая |
||||
в формулу |
(77), будет выражаться так |
|
|
|||
|
|
|
|
idx, |
|
|
|
|
|
|
xl - x l |
|
|
В случае |
гармонических колебаний величины f, fn и Г' |
могут |
быть найдены способами, изложенными выше, что позволяет
найти силу X. |
|
в этом случае |
имеем: |
|
|
|
|
Действительно, |
|
|
|
||||
|
|
QO |
|
_____ |
|
|
|
|
Х « = рш j -f (xj — Y |
х\ _ |
я«) dxx= |
|
|||
|
|
a |
|
(Г ^ ш -ф F 2C „ ) c o s Щ, |
|||
= pu>aa [(Г ^ щ — r 2S c o )sin |
— |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
C’m = j |
cos 3(xx— 1) (л, — ]/"x?— \ } d x x, |
|
|||||
|
i |
_ |
|
_____ |
|
||
|
00 |
|
|
||||
Sa> = |
| sin a(Art — 1) (-*1 —] / ”xi — |
1) d x t. |
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Или же |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OO |
_ |
|
|
________ |
_ |
{- |
ртаыГ*еы j |
|
( * , |
_ |
J / ^ _ i |
) ^ |
|
Для скорости Vi в точке с абсциссой xj получим |
|
||||||
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
^ = i j t S " “ 2^ КГ1С«- - ГЛ)sin |
- |
(г<^ + г*с/)cos^1. |
|||||
a |
* |
|
|
|
|
|
|
64
г д е
|
S/ = |
Г s‘n°(-*1—1) dxi |
( X i < D- |
cos а (хг — 1) dx1 |
|
|
|
|
|
J |
|
Если положить |
|
|
|
то для X t получим |
Tn = f m COS 4 |
+ Tn2 S i n 4, |
|
1-u |
|
|
|
{ |
|
|
|
cos 4 sin 4 |
J [fni (ГiQ — Г2C/) — fn2 (Г,S ;+ r2Q )| dx\ +• |
||
+ д |
—a |
+ a |
ч |
|
+ sinV JvnaCrjC/ — Г А )й Ц —cos2v£J 7„i(r1S/ + Г2С,) rfx 'l.
—a —a *
Из этой формулы |
видно, |
что среднее за период |
значение Xt |
|||||
будет выражаться |
так |
|
|
|
|
|
|
|
Xt*сргп = 4паpa |
Г ■j-a |
|
|
|
|
+a |
|
|
j -г.* (г,с, - |
г а ) л*;- f Tni(raS/+ г8С/)rfx; |
|||||||
Если, в частности, имея в виду приближенный характер |
||||||||
решения задачи, для заданного |
момента времени t принять, |
|||||||
что скорость Vi _одинакова |
во всех точках хорды профиля и |
|||||||
равна ее значению |
в некоторой |
точке с абсциссой х*, |
то Xj |
|||||
примет вид |
|
|
pa |
|
|
|
|
|
|
X, |
|
(Гt + |
r$)Si(a, ХЦ |
|
|
||
|
icp" |
4па |
|
|
|
|
|
|
Составляющая |
|
Xjk — |
РГ ^ с |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
при поступательных колебаниях — см. формулы (45) и |
(46) — |
|||||||
будет иметь следующее среднее за период значение |
|
|||||||
( • * л > „ = р « « М + |
|
|
|
Ш <г “ + |
= 4 S - r i - |
|||
Наконец сила X s, равная в первом приближении — рГ'^, на |
||||||||
основании формул |
(45), |
(46) |
и (50) даст |
|
|
|||
x Sep= - |
ш |
I- |
|
|
|
С + (г «г « + |
Г*Г.*) S}. |
|
Напомним, что, согласно формулам (53), |
|
|
||||||
|
Гt = |
Tift (1— sEj), r 2 = r 2ft(l +ae2), |
|
|
||||
и потому при малых о можно написать |
|
|
||||||
|
|
X,ср ' |
.(< |
[1 — О (S + 5;,)]. |
|
|
||
|
|
|
' 4Tie |
|
|
|
|
5 Н. Н. Поляхов
Г Л А В А II
ТЕОРИЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ПЛАСТИНКИ КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
§ 12. Пластинка с постоянной циркуляцией по размаху
Теорию нестационарного движения пластинки конечного размаха мы будем строить путем обобщения теории нестацио нарного движения пластинки бесконечного размаха и теории стационарного движения пластинки конечного размаха. Оче видно, что обе упомянутые теории должны получаться из тео рии, которую мы хотим построить как частные случаи.
Предположим, |
что пластинка в плане имеет форму прямо |
|||||
угольника |
и обладает постоянной по размаху |
циркуляцией. |
||||
|
__ |
£&,£) |
, |
Сечения |
пластинки плоско- |
|
|
стями, |
перпендикулярными |
||||
|
|
|
|
ее размаху, могут иметь раз |
||
|
|
|
|
личную |
кривизну, которую |
|
|
|
|
|
мы будем считать малой, по |
||
|
|
|
|
нимая это выражение в том |
||
|
|
|
|
смысле, в каком его пони |
||
|
|
|
|
мают в теории тонкого про |
||
|
|
|
|
филя. Допустим, кроме того, |
||
|
|
|
|
что пластинка движется с по |
||
|
|
|
|
стоянной скоростью и вдоль |
||
|
Рис. |
15. |
|
хорды среднего сечения и |
||
|
|
имеет в |
перпендикулярном |
|||
Будем |
рассматривать |
взятую |
направлении |
скорость v. |
||
пластинку как вихревую несу |
щую поверхность так же, как мы это делали в случае беско нечного размаха. Для этой цели представим себе, что она заменена системой вихревых линий, которые параллельны раз маху и проведены через точки хорды среднего сечения. При осях, показанных на рис. 15, вихревая несущая поверхность будет лежать в плоскости x xz.
Так же, как и при стационарном движении, мы должны допустить, что с боковых сторон пластинки сходят свободные
66