Файл: Поляхов Н.Н. Теория нестационарных движений несущей поверхности.pdf

и принимая во внимание, что на контуре выполняется условие

dW = (ис —- му) dy — (vc -f шх) dx,

получаем

(ис —- шу) dy = (vc + ил:) dx — vdx -f- udy

Если подставить эти выражения в формулы (6), то будем иметь:

X = — pvc Г — реи J х 8ф + -J J [(-ц2— и3) dy + 2uvdx\ -f-

и, следовательно, интеграл

Г = j* (udx + v dy) — j 8Ф

есть циркуляция но контуру плоской фигуры. Первые слага­ емые написанных формул представляют собой проекции силы pTVc (силы Н. Е. Жуковского) на оси подвижной системы ху. Направление этой силы получается путем поворота направления скорости поступательного движения плоской фигуры Vc на прямой угол в сторону циркуляции.

Вторые слагаемые полученных формул представляют собой силы, связанные только с вращением фигуры. Следует отме­ тить, что эти силы существуют даже тогда, когда циркуляция Г равна нулю. Действительно, известно, что конформное отобра­ жение внешности круга радиуса R на внешность плоской фи­ гуры дается формулой

л—О

23

при этом круг считается лежащим в плоскости С- Для контура плоской фигуры будем иметь:

Хог = — р«>Г J х йФ± = — рош0Г

L

( 10)

= — р«>Г J у йФ± = — ртЬ0Г

L

Откуда полная сила /?шг будет выражаться формулой

Rmг = ршГ У а 2+ Ь\ = рГа)с0.

Выражения типа

J хйФь ^ y d Ф,- (i= 1, 2, 3),

L L

вообще говоря, неравны нулю, что приводит к наличию силы R„ даже в случае, если Г равно нулю.

Интересно также отметить, что сила /?шг обращается в нуль при наличии циркуляции, если фигура вращается вокруг центра, для которого а0 и Ь0 равны нулю. Все изложенное хорошо иллюстрируется на примере эллипса. Предположим, что Ф5 равно нулю, в этом случае имеем:

Ф1= — b cos 6, Ф2= — a sin 0, Ф5 = — j (а2 — b3) sin 20

х = a cos б, у = Ъsin 0, а0 = b0 — 0.

Отсюда следует, что /?шг равно нулю и

Ха = — р« J jc ^Ф = «pm a2 vc,

L

= — ро> [у йФ = — -кра) Ь%ис.

L

В частности, для пластинки получим

X a = pKmcPvc\ Уа = 0.

24

Силы Н. Е. Жуковского в этом случае, при постоянной во времени циркуляции, будут

X j — — рГ vc — pv2c 2~а — гжша*ъс, Yj — рГ ис ~ — рucvc2ка -)- р7гю агис.

Переходим теперь к оценке других слагаемых. Рассмотрим

Очевидно, что величины т-^ имеют размерность массы и потому могут быть названы „присоединенными" массами. Не­ трудно видеть, что силы Х т и Ym обращаются в нуль при равномерном движении тела и совершенно не зависят от цирку­ ляции Г. В частности, для эллипса

Ф, = — bcos6, Ф2= — a sin6, Ф3= — а ~ b■sin 26,

dx — — a sin 6db, dy = b cos 6db,

следовательно,

mn = — p J Фidy — pb1J cos'2bdb — ръ b2,

= P j*Ф2dx = pa2j" sin26db = ртш*

ml2= m13= mn = mK = 0.

25

§ 4. Исследование сил, связанных с вихревым следом

и входящие в формулы (7). Покажем, что силы, выражаемые этими интегралами, носят характер индуктивных сил. Будем предполагать, что вихревой след, сходящий с острого конца профиля, представляет собой линию разрыва тангенциальных скоростей. Вводя натуральную систему координат, оси которой направлены по касательной и нормали к линии следа (рис. 8),

получим

и — iv — (vt —i v n)

26

Рассмотрим интеграл

I = \ (и — iv)%dz,

i

взятый по замкнутому контуру I (рис. 8). Этот контур будем мыслить состоящим из контура АВС самого профиля, из уча­ стка CD, ^идущего по следу с верхней его стороны, участка

Рис. 8.

DE, где следа нет, окружности EGF, радиус которой можно взять сколь угодно большим, участка FH, совпадающего с ED, и, наконец, участка НА, идущего по следу с нижней его сто­ роны. Так как внутри контура ABCDEGFHA нет никаких особенностей, то

1\{1) = ГЦАВС) + / (CD) + Г/(£>£)Ж / (EGF) + / (FH) + / (НА)= 0.

Но интегралы, взятые вдоль DE и FH, друг друга уничтожат, так как вдоль DE скорость, а следовательно, и подынтеграль­ ная функция не терпит разрыва. Интеграл по окружности EGF будет стремиться к нулю при неограниченном возрастании ее радиуса и предположении, что скорость возмущения имеет на

2Т

I (ABC) — j (u — iv y dz = — J (a — iv )2cfz — j (« — ivy dz =

нормальные составляющие скорости не терпят разрыва, получим

2 К в + ^/я); < =

суть скорости на самом следе. Переходя к проекциям и и v > получим

I (АВС) = —2 J х(«* — iv*) ds,

CD

так как

и* — iv* — (v* — iv*n) e~ib и dz — dsem.

На основании изложенного выражение для силы

причем точка D может мыслиться лежащей сколь угодно далеко.

28