Файл: Рвачев Л.А. Математика и семантика. Номинализм как интерпретация математики.pdf

___Пусть х = у. Согласно (4) у (у), откуда и из (2) следует х (у). Аналогично получается у (х).

Это следует непосредственно из (1) и аксиомы I. Определим предикат равенства вещей относительно при­

боров некоторого непустого класса А (обозначение х = у).

Частным случаем является предикат равенства вещей относительно всех приборов. Этот предикат для удобства обозначим особо — х — у. Таким образом:

Таким образом, эквивалентность (8) удобно рассматри­

вать как определение предиката х = у. В силу этих же

v

соображений определение (7) можно употреблять относи­ тельно любого непустого класса вещей А.

43

Продолжим вывод простейших предложений. При про­ извольном предикате А

отметим также, что эти предикаты обладают симметрично­ стью и транзитивностью.

9.В разговорном языке понятие «прибор» употребляетс

внеоднозначном смысле. Приборы, которые мы до сих пор описывали, функционально соответствуют понятию «пре­ дикат». Можно формализовать другое представление о при­ борах, соответствующее понятию «функция», или же соче­ тать оба эти понятия приборов. Рассмотрим трехместный предикат «если х подан на вход прибора у, то на выходе у

предопределено г» (метаобозначение Ф (х, у , z)). Как обычно, мы не касаемся аксиом, характеризующих инди­ видуальность отдельных предикатов Ф, и запишем аксиомы, общие для всех предикатов Ф:

Это значит, что вещи на входе и выходе прибора не могут служить частями этого прибора и что прибор перерабатывает вещь в непересекающуюся с ней вещь; кроме того, прибор

44

и вещь на его входе порознь не предопределяют вещь на его выходе.

х = « Л ( / = и Д г = ш э [Ф (х , у, г ) ~ Ф (и, v, w)]. (б)

Аксиома (б): смысл Ф (х, у, z) означает способность при­ бора переработать одну вещь в другую (а не саму перера­

личных ситуациях, тогда как если й (х, у, г), то обязатель­

т. е. один и тот же прибор имеет возможность перерабаты­ вать одну и ту же вещь лишь в одну и ту же вещь.

в некоторой ситуации прибор находится вместе с этими ве­ щами, и объединение прибора с вещью на его входе пред­ определяет вещь на его выходе.

В настоящей работе предикаты Ф не получают дальней­ шего развития, и мы будем пользоваться лишь предикатами й

Если для предиката существует реализующая его вещь, то будем называть предикат реализуемым. Легко видеть, что не все предикаты реализуемы; например, нереализуем предикат А (х) ~ cw, так как предикат А невыполним во всех ситуациях кроме одной, в которой он выполним на любой вещи.

45

в силу посылки (12) р (х) и в силу (3) р (у) и, следователь­

но, А (у). Аналогично имеем А (у) ZD А (х).

Таким образом, всякий несобственный предикат нере­ ализуем, что уже проиллюстрировано предикатом А (х) ~ ~ ах. Причина этого в том, что на основании (3) приборы неспособны различать тождественные вещи. Возникающий

т. е. предикат «х есть прибор» нереализуем. Допустим про­ тивное, т. е. что существует р, указанное в (15). Тогда со­ гласно (13) имеем

(Ей) (Ev) (Ew) [v = p Д Q (и, v, ш)]

и в силу (1) (х) р (х). Отсюда и по определению р получаем

(х) (Ей) (Ev) (Ew) [о = х Д Щы, и, до)],

что противоречит аксиоме IV.

46

т. е. предикат «л; есть прибор, которому удовлетворяют ве­ щи», нереализуем. Утверждение (16) доказывается точно таким же образом, как и (15).

(Ер) (х) [р (х) ~~ (Еу) ху\, (17)

т. е. предикат «х есть вещь» нереализуем. Допустим, что р,

указанное в (17), существует, тогда согласно (13) (Еу) ру, что противоречит тому факту, что рр (см. гл. II).

Предикат «х есть прибор» является собственным в силу транзитивности тождества. Предикат «х есть «непустой» при­ бор» является собственным на основании утверждения (3). Предикат «х есть вещь» является собственным согласно тому, что он выполняется на всех вещах. Таким образом, эти три предиката представляют собой примеры собственных нере­ ализуемых предикатов. Природа этой нереализуемое™ иная, чем упомянутая выше природа нереализуемое™ несобствен­ ных предикатов. Например, если бы предикат «быть вещью» был реализован на приборе, то этот прибор, будучи вещью, должен был бы обладать положительной реакцией на себя, тогда как его невозможно подать самому себе на вход.

И . Перейдем теперь к прообразам многоместных пре­ дикатов, причем пояснениями будут сопровождаться лишь те утверждения, которые представляют собой особенность

заменять «-кратную конъюнкцию выражения, стоящего после этого символа, причем индекс i в компонентах конъюнкции поочередно имеет значения от 1 до п.

Рассмотрим п + 2-местный предикат «хь х2, .... хп

47

находятся на входах у, a z относится к числу положитель­ ных реакций у» (метаобозначенпе Qn (х±, х2, ...,х„, у, г)). Запишем аксиомы, общие для всех предикатов Q„:

Для удобства следующие аксиомы сформулируем после оп­ ределения п + 1-местного предиката «вещи хъ ..., х„

удовлетворяют прибору у» (обозначение у (хц ..., хп)).

48