Файл: Рвачев Л.А. Математика и семантика. Номинализм как интерпретация математики.pdf

Г л а в а III

ПРООБРАЗЫ МНОЖЕСТВ, ПРЕДИКАТОВ И ФУНКЦИЙ

1.Перейдем теперь к математике. Мы хотим знат в'какой мере объекты математических теорий можно пони­ мать как переменные над областью единичных объектов. Естественность этого вопроса подтверждается характером возникновения математических понятий в процессе истории математики; и если и бывали случаи употребления бессо­ держательных объектов, то параллельно имела место силь­

на уровень номинализма (напомним, что требование иметь единичные прообразы относится только к объектам языка, но не к его средствам).

Унас в какой-то мере уже есть формализованный язык

овещах. Однако выявление в области вещей прообразов математических понятий связано с определенными трудно­ стями.

Во-первых, абстрагирование производилось, как пра­ вило, не от единичных объектов, а от созданных ранее аб­ стракций, что привело к созданию многоступенчатой иерар­ хии. Связь между наиболее абстрактными элементами этой иерархии и породившими их единичными объектами на

31

столь длинном пути оказалась в значительной мере зама­ скированной привходящими обстоятельствами, а иногда и во­ все утратилась. Так, если бы мы захотели опираться на на­ глядное представление о множествах и при этом рассматри­ вать, кроме элементов множества, также и множество как некоторый один объект, то это потребовало бы, чтобы эле­ менты множества существовали порознь один от другого. Но тогда мы не смогли бы рассматривать множества с мощ­ ностью больше, чем континуум (хотя для мощности конти­ нуум еще можно найти наглядную модель, правда в номина­ лизме точек). Однако термин «множество» был механиче­ ски перенесен с наглядных множеств на предикаты (напри­ мер, говорили о множестве тех к, для которых «х есть функ­ ция вещественной переменной»), хотя при этом предикаты и множества не отождествлялись. В целом это только дезо­ риентировало интуицию.

Во-вторых, некоторые абстракции, например, «пре­ дикат», «функция» имели среди своих единичных прообра­ зов такие объекты, как состояния человеческого мозга. Эти объекты легко ускользали от наблюдения, что создало иллюзию, что некоторые объекты имеют абстрактную при­ роду.

В данной главе описаны единичные прообразы для по­ нятий «множество», «предикат», «функция». Нам кажется, что найденные прообразы соответствуют исторически уста­ новленному смыслу упомянутых понятий.

2. Ради последовательности в наших рассуждениях начнем с того, что для области вещей рассмотрим, так ска­ зать, естественное понятие множества (которое и порождает наглядные свойства абстрактных множеств), хотя этот путь бесплоден в том смысле, что не позволяет строить ана­ лиз. Тем не менее, так как априори такой вариант кажется наиболее естественным, он будет вкратце рассмотрен, чтобы оправдать выбор другого пути.

32

Итак, опишем понятие множества вещей такое, чтобы: а) множество вещей также было вещью; б) множество ве­ щей обладало бы теми свойствами, которые интуитивно приписываются понятию «множество».

Для мотивировки вводимых понятий рассмотрим не­ сколько примеров. Во-первых, пусть ху Л А (х, у), тогда существует вещь — объединение х и у — и ее естественно называть множеством с элементами х н у .

Во-вторых, пусть х < у, тогда приходится считать, что не существует множества с элементами х н у . Действитель­ но, можно было бы назвать таким множеством разве что объединение х и у, но тогда, если удалить из этого множест­ ва один элемент, то либо останется нечто — ни х, ни у, либо ничего не останется, а это противоречит обычным свойствам множеств. Например, если существует яблоко, то сущест­ вует и его треть; но какую вещь можно назвать множеством с элементами «яблоко» и «треть яблока», если иметь в виду именно это яблоко и его треть, а не какие-нибудь равные им вещи? Таким образом, нам приходится требовать опреде­ ленную независимость для элементов множества, тогда как независимость целого и его части имеет место лишь в мыш­ лении. Отсюда следует, что не для всякого свойства можно

жество было вещью, то все его свойства должны быть прису­ щи этой вещи. Поэтому вещь v не должна быть одновременно множеством с элементами z, и и множеством с элементами х, у, и, так как в противном случае (учитывая, что при этом v окажется также множеством с элементами х, у , z, и), на­ блюдая v, нельзя определить, о каком из трех различных множеств идет речь; кроме того, элементы х, у и г пересе­ каются. Поэтому предикат, разлагающий вещи-множества

на вещи-элементы, нужно считать фиксированным в про­ цессе рассуждений. Например, о том что такое автомобиль (множество деталей или множество атомов) в каждом кон­ кретном случае следует договориться заранее.

3. Введем двухместный предикат «х есть элемент мн жества у» (обозначение х £ у). В силу упомянутой неодно­ значности разбиения вещей-множеств на элементы можно рассматривать £ как метаобозначение для некоторого клас­ са предикатов, причем аксиомы, характеризующие индиви­ дуальность различных предикатов этого класса, вообще говоря, противоречат друг другу; а в каждой конкретной теории употребляется один предикат f . С аналогичной ситу­ ацией мы сталкивались при введении п р ед и к а т о в .

Сформулируем теперь аксиомы, общие для всех предика­ тов t •

Г. х £ у (г) [г = х Д z £ у :э Л (х, г)] Л (Ег) {z = x Д z £ у)

Эта аксиома означает, что различные элементы множест­ ва не имеют общих частей. Кроме того, каждое множество содержит более одного элемента. В связи с этим заметим, что употребление одноэлементных множеств, вообще говоря, есть вопрос удобства; но в области вещей многоэлементное множество не может быть элементом одноэлементного (см. п. 2 этой главы). Поэтому возможность применения одно­

Аксиома II' означает, что множество является объеди­ нением всех своих элементов; а П К —что разложение мно­

34

жества z на элементы одновременно разлагает на элементы и у — часть z — и тем самым превращает у в множество.

IV'. (Ех) [А (х) Д 5 (*)] Л (х) (у) [х = у А А (х) /\А{у) ю ZDxy Л Л (х, у)] id (Ег) (х) [А (*) и (Ей) (и = х Д и£г)\.

Это схема аксиом при произвольных предикатах А. Она означает, что если предикат А выполняется на непересекающихся вещах одной ситуации, то все вещи, на которых выполняется А, можно рассматривать как элементы некототорого множества г.

(Ех)(Еу)(х%у).

Приведем несколько простых следствий из высказанных аксиом.

Пусть теперь х £ у и допустим В (х). Имеем х < у и в силу

речит аксиоме Р. Следовательно, В (х), что завершает до­ казательство (2').

(Eu) (Ev) (u£v A v£ z) zd (Еу) (х) [(Eu) (хнеец Д и£у)~~

Пусть выполнена посылка в (3'); тогда в силу аксиомы Р предикат А удовлетворяет аксиоме IV', откуда и из теоремы (2') следует заключение в (3').

5. Теоремы (Р ), (2') и (3') при РР интерпретации соо ветствуют некоторым аксиомам системы Цермело — Френ­ келя (см. [3]). Другие аксиомы этой системы так просто получить нельзя, так как обычное соответствие между свой­ ствами и множествами у нас заметно нарушено. Например, если существует множество а с элементами Р и у, то не

36