Файл: Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел.pdf

Скачать файл (3,02Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.04.2024

Просмотров: 82

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

102 ГЛАВА 4

то в силу	(3.11) заключаем, что расстояние					каждой
предельной точки последовательности
				N
				JV 2 g i x (со (n)—v (п))
				п=1
ОТ
меньше, чем
				\ Х \ 2	( р — 1)2 •
				p>pk
Так как	к произвольно,				отсюда сразу следует,	что
		N
lim —		V	eix	(™)—1v <п» = М {eix (а> (")—v ("))} =
ЛГ-соо	Я	^
		П = 1
		=	П	( * - 7	- ) 0 + 7 = З г )	<3 -13>
			Р

и, таким образом, (3.8)		обосновано.
Возвращаясь назад к (3.5) и (3.6), мы получаем
dh= D {со (га) — v (п) = к} —
2п
= г г 1 ‘‘“	П	( 1 - т Х 1 + - ? = г = - )‘Ь!-
0	р

(3.14)

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ» ЮЗ

Рассмотрим теперь функцию

	^ W = n ( i - y ) ( 1 + 7 ^ r ) -			<ЗЛ5>
	Р
Она	аналитическая во всей плоскости,		исключая про
стые	полюсы в точках z = 2,	3, 5, . ..	. В частности,
F (z)	аналитична в круге \z\ < 2, и ее		можно	разло
жить там в степенной ряд
	ОО
	F{Z)='2}	akZ>1’
	h = 0

радиус сходимости которого равен 2.

Каковы коэффициенты а.к? Если мы используем известную формулу

1	F( z )	dz,
a , i ~ 2 n i	zh*i	dz,
где интеграл берется по контуру		\z\ = i, то, подстав
ляя z — elx, получаем
ah~dk-
Или в других терминах

2 ^ = П ( ‘ - т ) ( 1 + ^ г >		(ЗЛ6)
k=0	р

Эта прекрасная формула была открыта (другим спосо бом) А. Реньи.

104	ГЛАВА	4
	Хотя вывод точных формул	для dh затруднителен,

совсем просто определяется асимптотическое поведение

dh при больших к.	F (z) может быть записана в форме
Действительно,	F (z) может быть записана в форме
F ( z) = - ^ 2 + G ( z),
где G{z) — функция,	аналитическая в круге	[ z \| < 3 , и
А (вычет в полюсе z — 2) дается формулой
' ~ 4 п ( ‘ - 4 ) ( ‘ +тЬ)-
Р> 2
Таким образом,
	оо	СО
П ( ‘ - 4 ) 0 + 7 ^ ) s i + 2 М‘,
р > 2	fe= 0	k=0

где радиус сходимости ряда 2 b ftzh равен 3. Вследствие того что

‘*.=-гП(1- т ) ( 1+7=^)^+ь‘

dh~22(ft+i) II С1	(3.17)

Р > 2

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ»	Щ5
ИЛИ
Urn № 4 = П О - 7 - ) ( ‘ + т 4 >	<ЗЛ8)

Два частных случая (3,16) заслуживают внимания. Полагая z = О, мы получим

^о=П С1_7Г)=Т12Г=^’'

Это хорошо известный результат, означающий, что плотность чисел, не делящихся на полный квадрат, равна 6/я2.

Полагая z — 1, получаем

СО

2 *-П(‘- г Х ‘+:Дт)-‘-

к=0 р

В силу того что множества целых		чисел,	для которых
(о (п) — v (п) = к , взаимно не	пересекаются и вместе ис
черпывают множество всех	целых	чисел,	то этот ре

зультат мог быть совершенно тривиальным, если бы плотность была вполне аддитивной. Так как этого нет, то тот факт, что мы тем не менее получили

СО

2 4 = 1 ,

к=0

является по крайней мере приятно удивляющим.

106			ГЛАВА 4
106
4.		Почти каждое		целое	ш	имеет	приближенно
log log т		простых	делителей.		Рассмотрим		целые т,
1< m < n ,		для которых выполняется или
		v (т) <	log log п — gn 1/"log log n					(4.1)
или
		v (m) >	log log n + gn V b g log n,
где gn — последовательность такая,						что
			li mgn = c o .					(4.2)
			П - И Х )
Обозначим число таких т через К п и попробуем								оце
нить	эту величину.		Используем для этого чебышевский
метод, объясненный в и. 1 гл. 2.
Имеем
71
2	(v (т) — log logn)2 >			2Г (v im) —•l°g l°gn)2,				(“4.3)

m=i

где штрих у символа суммы указывает на то, что суммирование распространяется только на целые т, удовлетворяющие (4.1).

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ»				107
Остается оценить
П
2	(v (т)	log log и)2 =
7П=1
= 2 v2 (т) — 2 log log п 2		v(m) + rc(loglogn)2.		(4.6)
m — i	?TU=1
Теперь имеем
	v (m) = 2 еР (т)
v2 т) (	(=т)	+	2	2