Файл: Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2024
Просмотров: 84
Скачиваний: 2
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ» |
97 |
соответственно. В частности, показать, что |
|
1 |
5 |
_gicoiS |
П O - 7 + 7 ехр [*log О- } ) ] ) ^ |
|
~ 2 я |
*1 |
|||
Точная, но почти бесполезная формула! |
|
|||
3. |
Другое применение. Пусть со (п) обозначает ко |
|||
личество простых делителей п с |
учетом их крат |
|||
ности, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
со(н) = 2 <**(")' |
С3-1) |
|
|
|
V |
|
где величины ар (п) определяются, |
как в задаче 2 п. 2 |
|||
этой |
главы. |
|
|
|
Пусть v (п) обозначает количество простых дели |
||||
телей п без |
учета кратности, т. е. |
|
||
|
|
|
v(n) = SQp(»)- |
(3.2) |
|
|
|
v |
|
Назовем разность со (п) — v (п) эксцессом и найдем плотность целых чисел, для которых эксцесс равен к (/с> 0, целое), т. е. найдем
dk = D {со (п) — v (п) = к}. |
(3.3) |
Излишне говорить, что существование плотности не очевидно и должно быть доказано.
7 M. Кац
98 ГЛАВА 4
Мы начнем с формулы (5.3) гл. 1
|
|
|
2л |
|
1, |
т = О, |
|
|
|
|
|
J |
|
|
(3.4) |
||
|
|
2л |
eimxdx = |
|
||||
|
|
о |
|
О, т Ф О, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
где т целое, и рассмотрим |
|
|
|
|||||
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
- ^ 2 ^ |
J |
ei(co(n)-v(n)-k)x |
|
= |
|
|
||
n=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 л |
|
N |
|
|
|
|
|
= _4 |
|
S |
|
e W n>-W)*dx. |
(3.5) |
|
|
|
|
|
О |
|
п=1 |
|
|
Левая |
часть равенства |
|
(3.5) |
представляет |
собой |
|||
[ввиду (3.4)] долю целых чисел |
n ^ N , для |
которых |
||||||
эксцесс |
равен к. Таким образом, |
|
|
|||||
|
|
|
|
N |
2 я |
|
|
|
dk = |
Hm -i- |
У |
{ ei(0)(n)-v(n)-h)xdx, |
(3.6) |
||||
|
|
N-юо ■'v |
|
, Z:rt |
J |
' |
|
|
|
|
|
n=l |
0 |
|
|
|
|
если предел существует.
Обращаясь еще раз к принципу ограниченной схо димости, мы видим из равенства (3.5), что достаточно будет доказать следующее: предел
N
l i m |
J L |
V ei(co(n)-v(n))x _ Щ | ег(ш(п)—v(n))xj. |
(3 .7 ) |
N-* оо |
^ |
~ |
|
|
|
71— 1 |
|
существует для каждого действительного х.
п р о с т ы е ч и с л а « И г р а ю т ё а з а р т н у ю и г р у » |
99 |
Далее
® (п) - v (п) = 2 (ар (п) - Qp (п)),
р
и легко заметить, что функции ap (n) — Qp (n) незави симы. Это позволяет предположить, что предел (3.7) не только существует, но также что
М { е х (<о ( и ) — v (п)) |
_ |
= М I exp [ ix 2 (аР(и) - |
QP(п)) ] } = |
Р
= Д Л /{ е “ (аР(п)“ °р(,г))} =
Р
= П [ 1 - ф + Ё
= П ( ‘ - ф ) 6 + ^ > |
м |
V
Строгое обоснование этого вывода несложно и подобно приведенному в п. 2. Возьмем сначала
N
2 (“р (и) “ 5р ("» n=i
и рассмотрим целые /г, 1< «< 7V , для которых
«*р (ге) = Р-
7*
l o o |
ГЛАВА |
4 |
Эти целые числа делятся |
на рР, но не делятся на |
|
рР+*, следовательно, их количество равно |
||
Отсюда, |
таким образом, следует, что |
|
|
* |
|
|
|
f м |
К ( « ) - е Р (»))= |
2 |
1 |
Э=?2 |
|
Пусть теперь |
|
|
|
£ *(«)= |
2 |
( Р - 1) {[
1 1
(3-9)
(ар(п) ““ вр(л))- |
(ЗЛ0) |
v > P k
Заметим, что из (3.9) вытекает следующее:
^{ы*)}= 2 2 (Р-1) |
1 |
1 |
|
< |
|
||||
/ |
/ + |
1 |
|
||||||
p>pk Р>2 |
|
|
|
|
1 |
|
|||
< |
2 2 |
^ |
^ |
р&~ |
2 |
|
|
||
(р—1)2 |
|
||||||||
Р >Р к 3^2 |
|
|
p > p k |
|
|
(3.11) |
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
т 2 - г х (со ( п )— ■v (п )) _ _ |
|
|
|
|
|||||
N |
п = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(п ) |
(3.12) |
||
= у 2 ехр [ ix |
2 |
(“ р и |
- вр Н ) ] e“ ?fe |
||||||
|
|||||||||
П=1 |
р^рь |
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ» |
Ю1 |
и потому |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
J_ 2 |
eix |
(n)—v (n))_ |
|
||||
|
|
7 1 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
- |
4 |
2 |
ех? х |
[ ix |
2 |
|
(ap(w) - ~ 6 p ^ ] | = |
||
|
|
n = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
2 |
exp [ ix 2 |
|
(«p (n) - |
QP(n)) ] (elxSh (n) - 4) < |
|||
|
|
П = 1 |
|
|
Р^РЬ |
|
|
|
|
|
|
iV |
|
|
|
|
|
|
iV |
< |
4 |
2 |
1 е Ч < п ) - |
1 ! < |
у 2 |
* » ( » ) • |
|||
|
|
7 1 = 1 |
|
|
|
|
|
71=1 |
|
Так как |
|
N |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
4 |
2 |
exp Гix |
2 ( s w - P p ^ ) ) ! = |
|||
|
|
|
|
71=1 |
|
|
|
PSSPft |
|
|
|
= M {exp [ ix |
2 (Op (») - Qp (л)) ] } = |
||||||
|
|
|
|
|
|
р^рь |
|
||
Д M {elx(ap.(n)-°p (n))} =
P^Pb
- n ( ‘ ~ K ) 0 + i = W >
P^Pb
