Файл: Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.pdf

§ 12. Закон сохранения механической энергии

Какие бы силы ни принимали участие в движении, всегда работа результирующей силы равна приращению кинетической энергии тела, т. е.

Силы, действующие на тело, могут быть силами упругости, тяготе­ ния, это могут быть также электрические силы, силы трения и т. д.

Всегда можно выделить из действующих сил такие, работа ко­ торых идет на изменение потенциальной энергии. Для краткости такие силы называются иногда потенциальными, или имеющими потенциал. Уравнение работы перепишется в виде

Здесь f — непотенциальные силы. Работа этих сил равна изменению внутренней энергии тела или среды, в которой тело движется.

Подставляя вместо работы потенциальных сил приращение по­ тенциальной энергии с обратным знаком, можем переписать урав­ нение в виде

Сумму потенциальной и кинетической энергии тела называют пол­ ной механической энергией. Обозначая эту величину через <§, по­ лучим: /As=A<£, т. е. изменение полной энергии тела равно работе непотенциальных сил, например сил трения.

Закон сразу же обобщается на систему, состоящую из многих тел или частиц. Для каждого тела можно написать уравнение работы и все эти равенства сложить. Полная энергия будет теперь равняться сумме кинетических энергий тел и потенциальной энергии взаимо­ действия:

Если привлечены к рассмотрению все взаимодействующие тела (такая система тел называется замкнутой), то форма закона оста­ ется той же, что и для одного тела. Изменение механической энергии равно работе непотенциальных сил, а если этой работой пренебречь, то полная механическая энергия замкнутой системы тел остается не­ изменной — сохраняется.

Закон сохранения механической энергии является, с одной сто­ роны, следствием уравнений механики (закона Ньютона); с другой

стороны, его можно рассматривать как частный случай наиболее общего закона природы — закона сохранения энергии (гл. 9).

Уже в механике мы сталкиваемся с большим разнообразием различных взаимопревращений энергии. Рассматривая движение тела под действием упругих сил или сил тяготения, нетрудно заме­ тить, что увеличение энергии одной из механических форм сопро­ вождается уменьшением энергии другой формы.

Так, например, силы тяжести, действующие на падающее тело, уменьшают потенциальную энергию и увеличивают кинетическую энергию тела. Обратный переход происходит при подъеме тела на высоту. Силы упругости, заставляющие отскочить от стенки бро­ шенный мяч, уменьшают потенциальную энергию сжатого мяча, ко­ торая переходит в кинетическую. Обратный переход происходит в момент остановки стенкой брошенного мяча (период от отсутствия деформации до максимального сжатия).

Растянутая пружина может поднять груз на высоту. Напротив, падающий груз растянет пружину. Следовательно, энергия упру­ гости может перейти в энергию тяготения, и наоборот.

Приведенные примеры относятся как к случаям перехода одной формы энергии в другую для одного и того же тела, так и к случаям передачи энергии одним телом другому.

Разумеется, возможны передачи одним телом другому энергии в той же форме: один груз тянет другой при помощи перекинутой через блок нити, один шар, столкнувшись с другим, передал ему часть своей кинетической энергии, и т. д.

§ 13. Потенциальные кривые. Равновесие

Потенциальная энергия взаимодействия тел или частиц зависит от их взаимного расположения, т. е. всегда является функцией коор­ динат или иных параметров, характеризующих положение этих тел в пространстве. В простейших случаях потенциальная энергия мо­ жет зависеть от одной-единственной координаты.

Рассмотрим взаимодействие двух частиц, потенциальная энер­ гия взаимодействия которых определяется функцией U(х), где х —

т. е. в случае потенциальных сил сила есть производная от потен­ циальной энергии по параметру х с обратным знаком. Тогда харак­ тер механической задачи очень просто и наглядно описывается при

помощи так называемых потенциальных кривых, т. е. графиков, на которых значения потенциальной энергии отложены в функции

ной энергии, которые мы привлекли к рассмотрению. Для потен­

Возвращаясь к потенциальной кривой, изображенной на рисун­ ке, мы сразу же можем отметить на ней, пользуясь сделанным заме­ чанием, те места, где сила наибольшая, и те точки, где сила, дейст­ вующая на тело, равна нулю. Последние точки, т. е. положения рав­ новесия,— это дно потенциальной ямы и вершина потенциальной

горы. Те положения, при которых потенциальная энергия макси­ мальна, соответствуют неустойчивому равновесию, а дно потенци­ альной ямы является положением устойчивого равновесия.

Мы сказали выше, что вид потенциальной кривой позволяет опи­ сать возможное движение тела. Это не вполне точно: кроме потен­ циальной кривой нужно еще знать значение полной механической энергии тела. Если это число известно, то действительно можно по виду потенциальной кривой рассказать о возможных движениях тела или частицы.

На рис. 17 проведены горизонтальные прямые с ординатами Si и <8Ъ. Если <В есть полная энергия частицы, то из графика можно найти уже не только потенциальную энергию, но и кинетическую энергию как разность между S и U.

Движущаяся точка не может быть в тех положениях, при которых потенциальная энергия больше полной энергии. Таким образом, го­ ризонтальная прямая £ ограничивает возможные участки движения тела. В случае, если энергия выражается нижней прямой Si, у движущейся точки имеются два возможных интервала положений: она может находиться либо в потенциальной яме (и совершать в ней колебательные движения), либо на склоне правее точки А, где она будет двигаться вниз или вверх с соответствующим приобретением или потерей кинетической энергии.

Проведенные рассуждения вполне одинаковы для потенциальной кривой любой природы. На рис. 18 приводится несколько типов

Рис. 18.

потенциальных кривых. Кривая 18, а — это потенциальная кривая тела, колеблющегося на пружине. Колеблющееся тело находится в потенциальной яме с симметричными краями. Кривая 18, б — это потенциальная кривая, типичная для многих взаимодействующих частиц — атомов, молекул. Кривая представляет собой потенци­ альную яму, один край которой очень крутой, а другой — пологий. По оси абсцисс отложено расстояние между частицами. Как видно из кривой, потенциальная энергия весьма велика на малых рассто­ яниях, затем с увеличением расстояния потенциальная энергия падает, достигает минимума, затем медленно возрастает, стремясь к

некоторому конечному пределу. Характер движения и связи двух взаимодействующих частиц вполне детально описывается этой кри­ вой. Следует различать два случая: первый, когда полная механиче­ ская энергия этой пары частиц выражается нижней горизонтальной прямой $ и и второй, когда полная энергия равна <£2. В первом слу­ чае система не может выбраться из потенциальной ямы. Это значит, что расстояние между частицами лежит в пределах, указанных на рисунке. Взаимное движение частиц может носить лишь колеба­ тельный характер. Так обстоит дело в устойчивой двухатомной моле­ куле. Второй случай обратен первому. Полная энергия взаимодей­ ствующих частиц слишком велика, чтобы они постоянно были свя­ заны. Система может выйти из потенциальной ямы, т. е. связь между частицами не может существовать, частицы могут разойтись на сколь угодно большое расстояние.

Третья потенциальная кривая на рисунке — это так называеемый потенциальный ящик. Вспоминая, что сила характеризуется тангенсом угла наклона касательной к потенциальной кривой, мы видим, что потенциальная энергия может быть представлена в виде ящика, если тело или частицы перемещаются свободно без действия сил, но не могут выйти за пределы заданного участка, пока полная энергия меньше высоты бортов ямы.

Г Л А В А 3

ИМПУЛЬС

§ 14. Сохранение импульса

Импульсом тела или материальной точки называют произведение массы точки на вектор скорости, p=mv (другой термин для этой величины — количество движения). Импульс р является, таким образом, векторной величиной. Если речь идет о системе тел или системе точек, то импульс такой системы равен геометрической сумме импульсов точек, составляющих систему:

Я = Р і + Р , + . . .

Основная особенность, делающая эту векторную величину инте­ ресной для физика, заключается в том, что в замкнутой систе­ ме вектор Р не изменяется, какие бы движения ни происходили вну­ три системы. Это положение носит название закона сохранения им­ пульса.

Закон сохранения импульса следует непосредственно из законов Ньютона. Для каждого из тел, входящих в замкнутую систему, справедливо уравнение

второго, третьего и т. д. тел. Пользуясь двойными индексами, это можно записать так: FliJrF13JrFxiJr-.. Совершенно аналогично можно записать выражение силы, действующей на второе тело:

F*I+FM+F23+. . . , на третье: Fzl+F32+F33+..., и т. д. Не­ трудно сообразить, что при сложении правые части равенств дают

нуль. Каждому слагаемому одной строки всегда найдется в другой строке ему равное и противоположное по знаку в соответствии с

й - ( а + а + / » э + " - ) = о,

Это и есть закон сохранения импульса. Величины и направления импульсов отдельных тел могут меняться, но их геометрическая сумма для замкнутой системы не меняется.

Значения некоторых импульсов: импульс электрона с энергией 5 эВ—12- Ю - 2 5 Г'См/с, винтовочной пули ~ 8-Ю8 г-см/с = 8кг-м/с, товарного поезда—107 кг-м/с.

§ 15. Центр инерции

Известны способы нахождения центра тяжести любого тела. Если тело закреплено в центре тяжести, то оно находится в поло­ жении безразличного равновесия. Если имеется система материаль­ ных точек или если сплошное тело условно разбить на элементар­ ные объемы, рассматривая каждый как материальную точку, то можно дать аналитическое выражение для положения центра тя­ жести.

Используя правило сложения параллельных сил (рис. 19), мы можем найти для случая, когда материальные точки расположены вдоль одной линии, скажем, вдоль оси х, следующее выражение для положения центра тяжести: