Файл: Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 270
Скачиваний: 0
П р и м е р ы . Единицей энергии в атомной физике является электрон-вольт (эВ); это кинетическая энергия электрона, ускоренного разностью потенциалов в 1 вольт:
1 эВ=1,6 . 10 - 1 2 эрг= -- 1,6 - 10 - 1 9 Дж.
Энергия протона, |
ускоренного в синхрофазотроне, равна 10 ГэВ=101 0 эВ — |
= 0,016э рг=1,6- Ю - 5 Дж. |
|
Кинетическая |
энергия крупного пассажирского реактивного самолета (т = |
= 100 т, с>=800 км/ч) равна |
|
|
2,5-1016 эрг = 2,6-109 Дж = 2,5-10« кгс-м. |
§ 11. Потенциальная энергия
Рассмотрим некоторые явления, при которых произведенная ра бота не сопровождается изменением скорости тела. Два типа приме ров будут занимать наше внимание: первые относятся к упругой деформации тел, вторые описывают события, происходящие при движении тел в поле тяжести и в электрическом поле. Сейчас мы по кажем, что в обоих этих случаях мы сталкиваемся с превращением работы в особую разновидность энергии, называемую потенциаль ной энергией.
Сначала остановимся на явлениях упругой деформации. Опыт по казывает, что при любой упругой деформации — растяжении, сжа тии, изгибе и т. д.— можно указать такую функцию состояния, которая возрастает как раз на величину произведенной над телом работы. Эта функция состояния или, иначе говоря, функция свойств
тела и степени деформации, носит название потенциальной |
энергии |
упругости. |
|
Покажем наличие такой энергии лишь для одного примера |
упру |
гой деформации — линейного растяжения или сжатия. Аналогич ные доказательства возможны для любых иных видов упругой де формации.
Пусть некоторая сила (скажем, мускульная) очень медленно ра стягивает твердое тело (пружину). Работа, затраченная на растяже ние тела от длины l-\-s1 до длины l-\-sit где / — длина недеформиро-
ванной пружины, равна |
|
A = |
F(si~s1). |
Мускульная сила уравновешивается упругости пружины. Последняя же ний пропорциональна деформации
в каждый данный момент силой для не очень больших растяже s *):
|
1 упр f t ; > - |
F |
*) Напомним, что закон упругой деформации (закон Гука) записывают в виде |
s |
— — E-j , где Е — модуль упругости, a S — сечение растягиваемого тела. Таким образом, жесткость (коэффициент пропорциональности в выражении для силы упругости) имеет значение k=ESfl.
В выражение для работы мы должны подставить среднее значение силы F, т. е. 1/i(ks2Jrks1). Тогда получим *)
т. е. работа против сил упругости затрачивается на возрастание ве личины ks2/2. Эту величину и следует принять за меру энергии упру гости. Величину
будем называть потенциальной энергией упругости.
Совершенно такой же вид имеют формулы потенциальной энер гии упругости для других видов деформации, k характеризует жест кость тела по отношению к конкретному виду деформации, a s является мерой деформации (например, угол закручивания, угол сдвига и т. п.).
Величина ( / у п р является энергией именно в том смысле, о кото ром мы говорили в конце § 10. Каким бы способом и с какой бы бы стротой ни было произведено деформирование тела, одной и той же затраченной работе будет соответствовать всегда одно и то же зна чение приращения величины ks2/2. Это и значит, что ks2/2 является
мерой энергии, а именно потенциальной |
энергии |
упругости. |
П р и м е р ы . 1. Потенциальная энергия куска |
стальной |
проволоки (модуль |
Юнга £=20,6-101 0 Н/мг ), имеющей длину 50 м, поперечное сечение 10 мм2 и рас тянутой на 1 см, будет
t / y n P = - § - = 20-106 э р г я 2 Д ж .
2. Для резины модуль Юнга £=7,8510s Н/м2 . Камень с массой 20 г, выпу щенный из рогатки, поднимается на высоту 20 м. Для этого ему должна быть со общена энергия 3,92 Дж. Пусть при этом резиновый жгут растягивается на 40 см
при первоначальной длине |
40 см. Найдем требуемое |
сечение |
резинового жгута |
|||
U |
- E l s l . о |
2LU |
2-40СМ-3.92 |
Дж |
|
|
и у п Р - 1 2 ' |
Es2 |
7,85 • 10^ Н/м2 • 1600 см2 ~ |
' |
• |
||
Силы тяжести обладают той же особенностью, что и силы упру гости, а именно: работа, затраченная на подъем тела в поле тяжести, идет на изменение функции состояния тела. В этом случае интере сующая нас функция зависит от расположения данного тела по отношению к притягивающим его телам. Она носит название по тенциальной энергии тяготения.
Покажем наличие такой энергии, прежде всего, для тела, на ходящегося вблизи земной поверхности. Из точки 1 тело перемести лось в более высокую точку 2 по какому-то криволинейному пути. Разобьем эту траекторию на малые кусочки и заменим кривую линию ломаной. Это можно сделать сколь угодно точно. Работа,
*) К тому же результату придем интегрированием бесконечно малой работы dA=—ksds в пределах от sx до s2.
затраченная на перемещение тела вдоль одного из таких прямоли нейных отрезков длиной dl, равна
dA = mgdl |
sin а, |
или dA |
=mgdh, |
где dh — прирост высоты. |
Так |
как mg |
неизменно на всем пути |
движения, то при сложении по всему пути переноса mg выносится
за скобку |
(при интегрировании выносится за знак интеграла), |
||
что дает для всей |
работы |
|
|
|
|
A = |
mg(ht—h1), |
где hi, h2— |
высоты |
точек 1 и 2. |
|
А= (mgh)2—(mgh) 1 = Д (mgh),
т.е. работа перемещения равняется приросту произведения mgh,
которое является мерой потенциальной энергии тяготения для этого простого случая.
Вполне ясно, что
U = mgh
является энергией и отвечает полностью смыслу, вкладываемому нами в это слово. Каким бы путем ни производилась работа, по какому пути ни перемещалось бы тело и с какой быстротой оно ни двигалось бы, работа перемещения тела из точки 1 в точку 2 будет всегда одинаковой, так как прирост энергии зависит лишь от место нахождения этих точек, в нашем простейшем случае — от их высот.
Так как работа перемещения тела в поле тяготения не зависит от формы пути, то работа перемещения по замкнутому контуру будет равна нулю.
Заметим, что начало отсчета h роли не играет. Если условиться отсчитывать h от поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне колодца, будет отрицательной.
Написанная выше формула непригодна для тел, далеких от Земли, например для Луны. Действительно, как было выяснено в § 2, для больших расстояний приближенная формула силы тяготе ния mg должна быть заменена точной ут1™г .
Рассчитаем работу, производимую силами тяготения. Условимся работу, совершаемую силами системы, считать положительной, а работу против сил системы — отрицательной. Допустим, что два тяготеющих тела сближаются вдоль линии действия сил на беско нечно малый участок пути — dr (минус, так как г уменьшается). При этом
dA —V г dr.
Работа |
идет |
за счет |
уменьшения |
величины V — |
—у—являю |
щейся |
мерой |
энергии |
тяготения |
в общем случае: |
|
dA = — dU.
Величина
представляет потенциальную энергию тяготения в общем случае. Потенциальная энергия тяготения равна нулю, если тела нахо дятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга. При сбли жении тел U растет по абсолютной величине, но так как U отри цательно, то, как и по приближенной формуле для тел, находящихся
вблизи Земли, потенциальная энергия тем меньше, чем ближе |
друг |
||||||
к другу притягивающиеся |
тела. Разумеется, при желании можно |
||||||
изменить начало отсчета U и сделать эту величину положительной в |
|||||||
интересующем нас интервале значений. |
|
||||||
|
Нетрудно показать соотношение между общей формулой для U |
||||||
и ее частным случаем U—mgh. Действительно, заменяя г на |
R-{-h, |
||||||
где R — радиус |
Земли, |
получим: |
|
|
|||
|
|
|
ц _ |
|
уМт _ |
R \ |
|
|
|
|
|
|
R + h |
, , h |
|
|
|
|
|
|
|
l ^ R |
|
(М |
— масса Земли). Но h/R |
— малая величина, поэтому с достаточ- |
|||||
ной |
точностью |
1 |
j — = |
, |
h |
|
|
|
1—7J-, откуда |
|
|||||
U = — y-g- + mgh.
Изменив начало отсчета U, а именно приняв за нуль потенциаль ную энергию тела, находящегося на поверхности Земли, приходим к формуле U—mgh.
П р и м е р . Чтобы яснее представить себе смысл полученных результатов, рассчитаем потенциальную энергию тела с массой т—1 кг на поверхности Земли и на расстоянии 1000 км над поверхностью Земли.
Потенциальная энергия на поверхности Земли
U0= -V^JP ^6,67- Ю - 1 1 - 5 ' ^ 1 |
. 0 |
^ 1 = - 6 |
, 1 • 10' Д ж = - 6 , 1 • 10» эрг. |
Потенциальная энергия на расстоянии |
1000 км |
|
|
ч 8 . i n 2 4 . 1 |
|
|
|
Viooo = - 6,67• 101 1 - " з 1 0 а |
= |
- 5,3 . 10' Дж = - 5 , 3 . 1 0 " эрг. |
|
Из расчета видно, что: 1) потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли все время отрицательна и увеличивается по мере удаления от Земли (так как мы условились, что она стремится к нулю при h—yoa); 2) изменения потенциальной энергии поднимаемого над Землей тела, вообще говоря, не описываются формулой
tng{h2—hit. |
Действительно, |
|
|
|
|
|
tfiooo-*/o = - 5 , 3 - 1 0 - - ( - |
6,1 • 10') =0,8-10' |
Дж, |
||
тогда как расчет по формуле mg(h2—Іц) |
дает 0,98-107 Дж. Однако в тех случаях, |
||||
когда речь идет о подъемах на высоту h<^.R (R — радиус Земли), можно пользо |
|||||
ваться упрощенной формулой mg(h.2—/її). |
|
|
|||
Весьма |
схожи между собой |
выражения потенциальной энергии |
|||
тяготения |
и потенциальной |
энергии |
электрического |
взаимодействия |
|
зарядов. |
|
|
|
|
|
Рассмотрим два одноименных электрических заряда qt и q2, нахо |
|||||
дящихся на расстоянии г |
друг |
от друга. Заряды взаимодействуют |
|||
(отталкиваются) по закону Кулона. Поэтому, сближая их на малый отрезок dr, мы произведем работу, равную —dA = — q-^-dr
(слева знак минус, так как работа совершается против сил системы; справа тоже знак минус, так как происходит сближение и dr отри цательно). Вычисление, ничем не отличающееся от только что про веденного для сил гравитационного тяготения, дает для энергии электрического взаимодействия зарядов (для краткости ее назы вают кулоновской) выражение U = , т. е. и здесь dA=—dU.
Энергия взаимодействия разноименных зарядов будет отрица тельной и будет вести себя, как гравитационная. Энергия одноимен ных зарядов равна нулю на бесконечности и растет по мере сбли жения зарядов.
Этими примерами потенциальной энергии мы можем ограничить ся, хотя в разных случаях в рассмотрение могут быть введены и иные функции состояния тела.
Потенциальная энергия появляется всегда, когда между телами или частицами, входящими в рассматриваемую систему, действуют силы, зависящие от расстояний между телами. Потенциальная энер гия есть энергия взаимодействия тел. Если система состоит из мно жества тел или частиц, то можно говорить о ее суммарной потен циальной энергии, которая складывается из энергий взаимодействия между всеми частицами (каждой с каждой). Уже в случае четырех частиц потенциальная энергия будет состоять из шести слагаемых,
так как надо учесть взаимодействие |
первого тела со вторым, |
третьим |
и четвертым, второго с третьим и |
четвертым и, наконец, |
третьего |
счетвертым.
Вмеханике учитывают только потенциальную энергию сил, дей ствующую между разными телами. Если тела — сложные и состоят из множества частиц, то потенциальная энергия взаимодействия этих частиц считается неизменной во время механических явлений. Потенциальная энергия взаимодействия частиц, из которых состоит тело, входит составной частью во внутреннюю энергию тела (гл. 9). Если же имеют место изменения внутренней энергии тела, то яв ление должно быть рассмотрено с точки зрения законов термодина мики (гл. 9).
