Файл: Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.pdf

туры, состоящей из цепочек сильносвязанных атомов, можно при­ вести серый селен. Каждый атом этого вещества крепко связан лишь с двумя соседями. У серого селена атомы образуют бесконечную спираль, навивающуюся на прямую линию. Расстояния между ато­ мами соседних спиралей значительно больше расстояния между ближайшими атомами, входящими в одну и ту же спираль.

Черный матовый мягкий графит, которым мы пишем, и блестя­ щий прозрачный твердый, режущий стекло алмаз построены из одних и тех же атомов — из атомов углерода. На этом примере с исключительной отчетливостью видно, как резко определяются свойства кристаллов взаимным расположением атомов. Из графита делают огнеупорные тигли, выдерживающие температуру до 2000— 3000 °С, а алмаз горит при температуре выше 700 °С; удельный вес алмаза 3,5, а графита 2,1; графит проводит электрический ток, алмаз — нет, и т. д.

Эта особенность образовывать разные кристаллы присуща не только одному углероду. Почти каждый химический элемент в кристаллическом состоянии и любое вещество существуют в не­ скольких разновидностях. Нам известно шесть разновидностей льда, девять разновидностей серы, четыре разновидности железа.

При комнатной температуре атомы железа образуют кубиче­ скую решетку, в которой атомы занимают места по вершинам и в центре кубов; каждый атом имеет восемь соседей. Прії высокой тем­ пературе атомы железа образуют плотнейшую упаковку: каждый атом имеет двенадцать соседей. Железо с числом соседей восемь —

кубическую упаковку, устойчивую при более высоких темпе­ ратурах.

жи друг на друга по структуре. То же относится и к другим веще­ ствам.

Так, например, желтая сера образует в кристалле гофрированные кольца из восьми атомов. Иначе говоря, в кристалле видна моле­ кула серы из восьми атомов. Красная сера тоже состоит из таких колец, однако повернуты они друг к другу совсем иначе.

Желтый фосфор дает кубическую структуру с числом ближайших соседей, равным восьми. Черный фосфор — слоистая структура типа графита.

Серое олово имеет структуру такую же, как алмаз. Белое олово можно мысленно получить из серого, если сильно сжать алмазную структуру вдоль оси куба. В результате этого сплющивания число ближайших соседей у атома олова становится равным шести вместо четырех.

У органических веществ также часто встречаются кристалли­ ческие разновидности. Те же самые молекулы располагаются поразному одна по отношению к другой.

§ 234. Тепловые колебания в кристалле

С точки зрения энергии идеальный кристалл является своего рода противоположностью идеальному газу.

Видеальном газе энергия взаимодействия частиц много меньше средней энергии теплового движения kT. Напротив, в кристалле ча­ стицы связаны сильно и энергия взаимодействия много больше kT. Поэтому тепловое движение в кристаллах не может разрушить связь между атомами и приводит к малым колебаниям атомов около поло­ жений равновесия.

Влюбом кристалле каждый атом совершает колебание около по­ ложения равновесия. Для большинства кристаллов амплитуда колебаний есть-величина порядка 0,1 А и составляет, таким обра­

Характер этого колебания может быть весьма сложным. За период атом опишет около положения равновесия сложную траек­ торию. Дело в том, что атом связан разными силами со своими со­ седями и поэтому колебания его будут носить анизотропный ха­ рактер. Во всяком случае всегда возможно разложить колебания атома по трем осям. Очевидно, атомы кристалла будут обладать 3N степенями свободы (N — число атомов).

Если в кристалле отчетливо выделяются молекулы, то имеет смысл говорить о колебаниях молекулы и о колебаниях атомов внутри молекулы. Поскольку молекулы связаны между собой значительно менее жестко, то частоты их колебаний будут меньше. В молекулярных кристаллах движение молекулы как целого играет определяющую роль. Молекула совершает поступательное колеба­ ние около положения равновесия, а также крутильные колебания. В редких случаях возможно, видимо, и полное вращение молекул около центра тяжести. Например, вероятно такое вращение моле­ кул в твердом метане СН4 .

Полная энергия каждой колеблющейся частицы складывается из потенциальной и кинетической энергий. При этом средние зна­ чения этих энергий за период колебания одинаковы. Как известно, в газе средняя кинетическая энергия атома равна 3/2kT. Естественно допустить, что на колеблющийся атом, обладающий вдвое большей средней энергией при той же температуре, придется 3kT единиц тепловой энергии. Один моль кристаллического вещества должен тогда обладать энергией 3RT и молярная теплоемкость должна равняться cv=3R^6 кал/моль«24,93 Дж/моль.

При высоких температурах эта формула превосходно оправды­ вается. Оказывается, что теплоемкость кристаллических тел меня­ ется в зависимости от температуры так, как показано на рис. 266. Начиная от нуля, теплоемкость растет, при какой-то температуре достигает 6 кал/моль и далее остается неизменной. По оси абсцисс отложено отношение температуры к константе 6, о которой речь в следующем параграфе.

Приведем значения kT для нескольких температур и сопоставим

Л\ы видим, что еще при 100 К энергия тепловых колебаний значительно превышает расстояние между энергетическими уров­ нями молекулы в кристалле. При 10 К эти величины уже одного порядка, а при 1 К тепловые колебания не будут в состоянии вы­ звать переход с одного уровня на другой.

§ 235. Тепловые волны

Интересной особенностью тепловых колебаний в кристалле яв­ ляется то обстоятельство, что они осуществляются в виде тепловых волн. Действительно, колебания атомов не могут происходить независимо. Один отклонившийся от положения равновесия атом тянет за собой следующий.

Поскольку кристалл есть ограниченное тело, то в нем образуются стоячие волны. Как и при любых собственных колебаниях, макси­ мальная длина стоячей волны равна удвоенному размеру тела.

Границы кристалла должны быть узлами стоячей волны.

В свое время (стр. 119) мы изу­ чали упругие колебания твердых тел, рассматриваемых как сплош­ ная среда. Было показано, что в ограниченном твердом теле воз­ никает множество стоячих волн с различными направлениями и ча­ стотами. Картина существенно осложняется при учете атомного строения твердого тела. Теорети­ ческое рассмотрение возможных колебательных движений атомов в монокристалле показывает, что тепловое движение в кристалле

можно представить как результат наложения 3sN волн, где N — число ячеек, as — число атомов в ячейке. Число возможных волн равно числу степеней свободы системы атомов, образующих кри­ сталл. Откуда же берутся и что представляют собой эти 3sN волн?

Ограничимся рассмотрением цепочки атомов, т. е. «одномерного кристалла». На рис. 267 изображена такая цепочка атомов, «ячейка» которой содержит два атома, отмеченных черными и белыми круж-

нами. На рисунке не изображено реальное тепловое движение ато­ мов кристалла, имеющее весьма сложный характер, а показаны «элементарные» волны, на которые можно разложить это движение. Теория показывает, что результирующее колебание всегда можно

Однако этим не исчерпывается многообразие волн. Каждая из возможных длин волн будет осуществляться в s вариантах. Два типа волн одной и той же длины показаны на рисунке. В одном случае решетка атомов совершает колебание как целое. Такая волна назы­ вается акустической. Остальные s — 1 волн совершенно иные: в них атомы разного типа совершают сложное движение друг по отноше­ нию к другу, а на синусоиду в каждое мгновение попадают лишь

На рисунке изображены те волны, которым соответствует коле­ бание атомов в каком-то одном направлении.

Колебания атомов можно всегда разложить на два поперечных и одно продольное. Поэтому волна, идущая в данном направлении и имеющая определенную длину, будет иметь 3 волны акустического типа и 3(s— 1) оптические. Из всех 3sN волн акустических будет 3;V — две поперечных и одна продольная для каждого направления и каждой длины волны. Сказанное в полной степени справедливо для трехмерного кристалла.

Хотя длины и частоты волн дискретны, можно приближенно вос­ пользоваться рассуждениями, приведенными на стр. 120, и запи­ сать число акустических колебаний с частотами меньше v в виде

— v .

Зс3

Здесь v — объем кристалла, ас — скорость волны. Скорости про­ дольной и поперечной волн различны. Поэтому полное число волн, равное 3N, надо писать так:

по порядку величины равна, как и должно быть, периоду ячейки. Если скорость распространения акустических волн в кристалле известна, то можно вычислить v M a K C , значение которой во многом

определяет поведение кристалла.