Файл: Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.pdf

из основного закона механики следует, что векторная сумма всех этих сил, или, короче, результирующая сила, должна быть направ­ лена по р'адиусу к центру (параллельно ускорению), а по величине должна иметь значение

mv2 , „

^n ц с = - £ - = т о о 2R.

Результирующую силу, действующую на вращающееся равномерно по окружности тело, называют центростремительной силой. Еще раз подчеркнем, что результирующая сила направлена всегда вдоль ускорения, но не вдоль скорости, т. е. в нашем случае сила, созда­ ющая равномерное движение по окружности, направлена вдоль радиуса к центру окружности, но не вдоль касательной к круговой траектории. Роль центростремительной силы заключается в том, что она непрерывно отклоняет тело от прямолинейного пути, по ко­ торому это тело двигалось бы по инерции в отсутствие действующей силы.

Если тело приводится в ускоренное движение, то в соответствии с правилом действия и противодействия ускоряемое тело действует на другие тела (играющие роль связей), заставляющие его двигаться ускоренно, а не по инерции. Силу, действующую на связи со стороны ускоряемого тела, мы назвали инерционным сопротивлением. Такая сила существует, разумеется, и при движении по окружности ее называют центробежной силой.

Центробежная сила равна по величине центростремительной силе и противоположна ей по направлению. Центробежная сила прило­ жена к связям тела, участвующего в круговом движении, или, иначе говоря, приложена к тем телам, которые заставляют рассматриваемое тело двигаться по окружности и мешают ему двигаться прямолинейно и равномерно. Как и центростремительная сила, центробежная сила является результирующей — суммой всех реакций, которые оказывает вращающееся тело на связывающие его тела.

Рассмотрим несколько примеров, причем ограничимся простей­ шими случаями, когда круговое движение возникает благодаря взаимодействию двух тел. Если тело А мешает телу Б двигаться

ществляется между телом, положенным на подставку в форме круг­ лой чаши, вращающейся около своей оси в горизонтальной плоско-

сти, и самой подставкой (рис. 10). Если трение не очень велико и подставка вращается быстро, то тело соскользнет к борту подстав­ ки. В этом случае взаимодействие тела и подставки состоит в сле­ дующем: борт чаши действует на тело в направлении по радиусу к центру (центростремительная сила), а тело с равной по величине силой давит на борт в направлении по радиусу от центра (центро­ бежная сила).

Вернемся теперь к начальному моменту этого опыта. Тело лежит на подставке и подставка только-только при­ ведена во вращение. Если бы между телом и подставкой не было взаимодействия, то тело оставалось бы на месте, а подставка враща­ лась бы под телом. Наличие трения покоя приводит к иному. Вместе с подставкой увле­ кается во вращение и тело. При этом, как указывалось в предыдущем параграфе, сила трения покоя будет направлена по радиусу к

Центробежная сила действует со стороны тела на подставку, она направлена по радиусу от центра. Если представить себе для на­ глядности (однако надо помнить, что это очень грубая картина) трение как результат зацепления двух шероховатых поверхностей, при котором выпуклости поверхности одного тела входят во впа­ дины поверхности другого тела, то центробежная сила представится нам силой, действующей вдоль радиуса от центра на зацепляющие

станет невозможным. Действительно, чтобы обеспечить телу участие в круговом движении с угловой скоростью со, на него надо подей­ ствовать с силой m(x)2R. Если взаимодействие трения не может обе­ спечить этой силы, а следовательно, и движения по кругу радиуса R со скоростью со, то тело сдвинется с места по отношению к подставке и между телом и подставкой взаимодействие трения покоя пере­ станет осуществляться.

Как только взаимодействие тела с подставкой прекратилось и тело стало свободным, начинается прямолинейное и равномерное движение с той векторной скоростью, которой тело обладало в мо­ мент отрыва. Так как скорость тела, движущегося по окружности, направлена по касательной, то эта линия и будет линией движения

освободившегося тела. Наиболее отчетливым образом тангенциаль­ ные пути отрывающихся от вращающегося тела частиц можно де­ монстрировать на опыте с точильным кругом.

Сделаем несколько замечаний о процессе вращения камня на веревке (рис. 11). Чтобы в обычных условиях вращать равномерно на веревке камень, нужно придать телу не только центростремитель­ ное ускорение, но и тангенциальное. Последнее необходимо для

Рис. П.

преодоления трения о воздух. Результирующее ускорение, а следо­ вательно, и сила не направлены вдоль радиуса, а образуют острый угол с направлением движения. Кисть руки совершает вращатель­ ное движение, а нить направлена в каждый данный момент вдоль касательной к окружности, описываемой рукой.

В качестве еще одного примера кругового движения рассмотрим вращение двух притягивающихся тел с одинаковой угловой ско­ ростью вокруг общего центра. Нетрудно заставить с помощью цен­ тробежной машины вращаться около общей оси два груза равной массы, связанных ниткой.

Рассмотрим сначала первый груз на нитке, зацепленной за ось

(см. рис. 12), называется центром инерции (см. § 15). Можно утвер-

ждать, что устойчивое вращение двух связанных тел происходит вокруг точки, являющейся центром инерции системы.

Мы говорили о двух телах, взаимодействие которых осуществля­ ется при помощи нитки. Однако все сказанное совершенно спра­ ведливо и в том случае, если речь идет о двух телах, притягиваю­ щихся согласно закону всемирного тяготения или о притягиваю­ щихся положительном и отрицательном электрических зарядах.

Рис. 12.

Взаимодействие любой природы между парой притягивающихся тел может, таким образом, привести к устойчивому вращению вокруг точки, являющейся центром инерции. Это взаимодействие пред­ ставляется двумя силами, приложенными к обоим притягивающимся телам. Силы направлены друг другу навстречу и численно равны. (Обычно в этом месте у неподготовленного читателя опять возникает вопрос: почему же тела не притянутся друг к другу? Еще раз под­ черкиваем: силы параллельны ускорениям, но не скоростям, а в круговом движении ускорения направлены по радиусу к центру вращения.) Так как на каждое тело действует одна-единственная сила, то обе они являются центростремительными. В то же время обе эти силы являются и центробежными. Действительно, тело А играет роль связи для тела Б, и наоборот. Значит для тела А сила FБЛ является центростремительной, а сила FAE—центробежной, и наоборот. Впрочем, применение понятия центробежной силы в данном случае носит совершенно формальный характер. Эти строчки были нужны лишь для того, чтобы подчеркнуть аналогию, существу­ ющую между системой шаров, связанных ниткой, и системой тел, «связанных» силами притяжения.

Планетная система являет нам пример устойчивого вращения притягивающихся тел. Допустим, что у Солнца существовала бы одна лишь планета Земля. Тогда центр вращения делил бы линию,

СОеДИНЯЮЩуЮ СоЛНЦе С Землей, В ОТНОШеНИИ ОТсолнца : / « З е м і н = = 333 ООО : 1.

Таким образом, говоря в повседневной жизни, что Земля вра­ щается вокруг Солнца, мы не совершаем большой ошибки и не со­ вершили бы ее даже и в том случае, если бы Земля была единствен­ ным спутником Солнца.

§ 6. Влияние вращения Земли на механические явления

Земной шар совершает сложное движение: вращается около своей оси, движется по орбите вокруг Солнца. Вполне понятно, что Земля не является инерциальной системой отсчета. Тем не менее мы с успехом пользуемся законом Ньютона в земных условиях. Однако в ряде случаев неинерциальность Земли сказывается до­ статочно резко. Эти случаи мы должны изучить.

Влияние вращения Земли на ее форму. Вес тела. Если не учи­ тывать вращения Земли, то тело, лежащее на ее поверхности, следует

Л

Рис. 13.

рассматривать как поколщееся. Сумма действующих на это тело сил равнялась бы тогда нулю. На самом же деле любая точка поверх­ ности земного шара, лежащая на географической широте ср, дви­ жется около оси земного шара, т. е. по кругу радиуса r=R cos ср (R — радиус Земли, рассматриваемой в первом приближении в виде шара), с угловой скоростью со=0,7292 - Ю - 4 с - 1 . Следовательно, сумма сил, действующих на такую точку, отлична от нуля, равна произведению массы на ускорение со2/? cos ср и направлена вдоль г.

Очевидно, что наличие такой результирующей силы 0G (рис. 13)

возможно лишь в том случае, если реакция земной поверхности OA

по касательной ОБ. Наличие вращения Земли приводит, как мы видим из чертежа, к двум фактам. Во-первых, вес (давление тела

стремящаяся расплющить Землю, передвинуть вещество к эква­

близкую к эллипсоиду вращения. Экваториальный радиус Земли становится в результате указанного действия примерно на V300 долю больше полярного радиуса.

Расплющивающие силы заставляли перемещаться массы земного шара до тех пор, пока он не принял равновесной формы. Когда про­ цесс смещения закончился, расплющивающие силы, очевидно, перестали действовать. Следовательно, силы давления, действую­ щие на поверхность земного «шара», направлены по нормали к по­ верхности.

Возвратимся теперь к величине давления тела на землю, то есть к той физической величине, которую принято называть весом. Вы­ числение, сделанное для шара (сила тяготения минус mRm2 cos2 cp), разумеется, несправедливо для истинной фигуры Земли. Однако для приближенных вычислений этим результатом можно поль­ зоваться.

На полюсе (ср=90°) вес тела равен силе тяготения. Обозначим через mg силу тяготения тела на полюсе. Тогда давление тела на земную поверхность в любой точке земного шара, иначе говоря, вес тела, будет равно, как сказано выше, разности силы тяготения и силы DE, т. е.

mg—mRu? cos2 cp = mg'

и

g' =g—Я со2 cos2 cp

есть ускорение, с которым падают тела на широте ср. На экваторе g' примерно на V300 меньше g.

Использование различных ускорений свободного падения на разных широтах избавляет нас от необходимости учета влияния вращения Земли на вес тела.

Влияние вращения Земли на движение тел по земной поверх­ ности. Представим себе, что наблюдения движения тела произво­ дятся во вращающейся системе координат. Мимо наблюдателя дви­ жется прямолинейно и равномерно какое-либо тело. В выбранной