Файл: Хокс П. Электронная оптика и электронная микроскопия.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 109
Скачиваний: 2
Электронный микроскоп |
187 |
Возникает вопрос, каким образом по известному спектру частот можно восстановить исходную функцию, или, дру гими словами, что является аналогом уравнения (3.14) или уравнения (3.20). Можно показать, что таким анало гом будет выражение
f ( x , у) = j j ] ( р , g) exp [2 n i(p z -f qy)]dpdq. |
(3.266) |
Таким образом, уравнение (3.26а) определяет фурье-пре- образование / (х , у) и уравнение (3.266) — обратное фурье-
преобразование / (р, q).
Уравнение (3.25) дает возможность не только устано вить взаимосвязь между изображением и дифракционной картиной, но и учитывать влияние апертурной диафрагмы (которая, как предполагается, расположена в z — za)
и аберраций. Влияние апертурной диафрагмы может быть учтено сравнительно просто. Поскольку ф прямо связана с плотностью тока, ясно, что там, где электроны задержи ваются диафрагмой, ф = 0. Такой учет мы можем выпол нить двумя путями. Можно выбрать пределы интегрирова ния в уравнении (3.25) так, чтобы они включали только отверстие апертурной диафрагмы: если га — радиус отвер стия, то Ха + Уа ^ гг%. В другом случае (который с мате
матической точки зрения имеет много преимуществ) пре делы интегрирования можно взять бесконечными, но функцию фа определить так, чтобы она была равна функ ции, соответствующей электронам, попадающим в отвер стие апертурной диафрагмы, т. е. для х\ + у\ ^ г%,
и равна нулю вне отверстия. Еще более удобной является запись функции фа в уравнении (3.25) как произведения функции падающей волны фа, задаваемой в виде, который имеет уравнение (3.12), и функции пропускания апертур
ной |
диафрагмы А |
(х а, уа). |
Для |
обычной диафрагмы |
||
А (ха, Уа) = 1 |
при |
xl 4 - |
yl |
< rl |
И А (Ха, уа) = 0 при |
|
xl + |
yl > г1- |
Введение А |
(х а, уа) позволяет очепь просто |
|||
изучать влияние апертурных диафрагм различных типов. Более того, в общем виде можно показать, что влияние сферической аберрации и любой небольшой дефокусировки может быть уменьшено добавлением к А (х а, уа) некоторой
фазосдвигающей компоненты. Если плоскость объекта це сопряжена точцо с плоскостью изображения и расстоя-
188 |
Глава 3 |
ние от реальной плоскости объекта до плоскости, сопря женной с конечным изображением, равно Д, то вводимый линзой фазовый сдвиг будет равен
Y |
2я Г 1 |
Г I ха + Уа \ 2 |
j _ A |
±_Уа1 |
(3.27) |
X L 4 |
° s \ Я ) |
2 |
/2 J ’ |
где / — фокусное расстояние.
Для простоты этот анализ проводится в предположении, что апертурная диафрагма отсутствует, и, следовательно,
А ( х а, у а) = ехpiy |
(3.28) |
для всех ха, уа. Это предположение не противоречит
физической реальности, так как здесь важны срав нительно грубые детали объекта; электроны, формирую щие их изображение, испытывают в объекте лишь малые отклонения, поэтому иа них не влияет наличие или отсут ствие апертурной диафрагмы.
Чтобы оценить влияние, оказываемое этой апертурной функцией на изображение первичного объекта, подставим выражение, определяющее волновую функцию ф (ха, уа, za)
в плоскости |
апертурной |
диафрагмы |
через функцию |
|||
• ф (х0, |
Уо, |
z0) (уравнение (3.12)), в формулу, дающую выра |
||||
жение |
ф |
в |
плоскости конечного |
изображения через |
||
ф {ха, Уо, |
za) (уравнение (3.25)). Это приводит к интегралу |
|||||
по четырем переменным (ха, |
уа, х 0 |
и у0), |
который разби |
|||
вается на компоненты следующим образом:
ф(^г, у i) ~~ с К (х0, Уо; xi, у,) ф {х0, yo)dx0dy0. (3.29)
(Далее z-коордииата мать в том смысле, х 0, Уо — координате ция К имеет вид
везде опускается. Это следует пони что x t, у, всегда соответствуют z;; zQ и ха, уа — координате za.) Функ
7^ { х 0, Уо, Xi, у i) %ZfZ ^ ^ А ( Х а , Уа) X
х ехр { — w \ . ( Xo~ ж ) х ° + ( у°-ж) Уо] } dxadya-
(3.30)
Электронный микроскоп |
189 |
Это выражение упрощается, если ввести следующие обо значения:
II
Xi —
Тогда получаем
n Уа
0 - Т Г ’
1& II |3;а=
(3.31)
К (х 0 , Уо, x i , yt) — [ f A (Kfp, Kfq) X
X ехр2я£ [(xi — xо) p-\-(yi — Уо) q\ dpdq. (3.32)
Переменные x t, y t, х 0 и уа входят в К только как разности
xi — х 0 и — уо, так что К является фактически функ
цией только двух переменных. Кроме того, выражение, появившееся в правой части уравнения (3.32), является по определению обратным фурье-преобразованием апер турной функции A (Kfp, Kfq). Следовательно, функция К
является обратным фурье-образом апертурной функции
скоординатами, выбранными в соответствующем масштабе.
Инаоборот, апертурная функция является фурье-обра зом К:
A (Kfp, Kfq) = K( p , q ) . |
(3.33) |
Теперь можно записать амплитуду волны в плоскости
изображения (уравнение (3.29)) как |
|
ф(я;, yi) = c j j К (xi — х 0, у i у |
0) ф (х0, уо) dx0 dy„. |
Полезным свойством интегралов такого вида г) является
то, |
что |
их фурье-образы могут |
быть записаны так: |
||
|
|
ф;=с.Кф0. |
|
|
(3.34) |
Здесь ф0 (х0, уо) — не что иное, как t (х 0, у0) |
= |
(1 — а0) X |
|||
X |
(1 + |
i ф0) (уравнение (3.10)). |
Заменяя |
К |
(уравнение |
х) С этого момента опускается множитель масштаба 1/М, который ранее входил в С и усложнял выражение, не давая ничего нового.
190 |
Глава |
3 |
(3.28)) и ф0 выражениями |
|
|
|
K( p , q ) = exp (iv) = exp { ^ [-J- СД4 x |
|
|
х (р М -з2)2- |
т д л (р2+ ? 2) ] } ’ |
ф о » Г—a0 + ifo,
получаем
% (P. Я) = (Г— «о+ iфо) exp iy
и, далее,
tyi(Mxi, M y i) = 1 — |
aDexp (iy) exp [2лй (xip-^-ytq)] X |
|
|
J |
oo |
X dp dq-\- i |
j фо exp (iy) exp [2jti (жгР+г/г?)] dp dq. |
|
|
- O O |
|
|
|
(3.35) |
Это уравнение определяет амплитуду волны в плоско сти изображения, выраженную через приведенную ампли туду (а0) и фазовый сдвиг (ф0), обусловленные объектом и апертурной функцией прибора (представляющей здесь чисто фазовый сдвиг у). Интенсивность фгфг* определяется ниже следующим выражением, в котором пренебрегают произведениями интегрируемых членов (поскольку а0 и ф0 рассматриваются как малые величины):
фгф* = 1 — | j aQexp (iy) exp | 2 ni (xtp-\-yiq) x
x d p d q — ^ ( a0exp ( — iy) exp [—2ni (xip-\-yiq)] X
X dp dq -\-i j |
j |
ф0exp (iy) exp [2ni (XiP-\-ytq)] X |
X d p d q — i j |
j |
ф0 ехр( —iy)exp [— 2ni (Xip-{-у tq)] X |
X dp dq = 1 — j |
| a0 [exp (iy) —exp ( — iy)] exp 2jxi X |
|
X(xip-\-yiq)dpdq-{-i j j ф0 [exp (iy) — exp ( —iy)] X
X exp 2m ( я г Р + м ) dpdq
