Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

r ( 4 - ) = J £ ,

интеграл в соотношении (г) равен

так что

Если получено достаточно много экспериментальных данных, то, прежде чем предполагать, что они описываются нормальным распределением вероятности, желательно: 1) исследовать распреде­ ление их относительных частот, используя критерии согласия, как описано в разд. 3.7.7, 2) построить график накопленной суммы частот на нормальной вероятностной бумаге которая линеари­ зует график Р (х) благодаря использованию специальной шкалы, или 3) провести какие-либо другие проверки, описанные в гл. 3. Во многих случаях экспериментальные данные хорошо описывают­ ся нормальным распределением вероятности, однако часто это распределение удобно использовать для непрерывных случайных величин, не распределенных по нормальному закону, поскольку

1. Величину можно преобразовать таким образом, чтобы пре­

экспериментальных данных, которые в действительности описы­ ваются другим симметричным распределением, оказывается малой.

Пример 2.3.3. Графическая проверка нормальности распределения экспериментальных данных2 )

В табл. П.2.3.3 приведены диаметры 200 частиц, задержан­ ных фильтром нефтепровода. Количество частиц, попавших в выбранные интервалы диаметров, определяет частоту появления частиц в каждом интервале. Группировка данных сглаживает случайные колебания, свойственные небольшому количеству дан-

х ) 'Применение специальным образом разграфленной бумаги, линеари ­

ных, сохраняя основные, характерные черты собранного экспери­ ментального материала в целом. Выбор числа и величины интер­ валов группировки не должен приводить к большой потере информации о процессе. Обычно делают так, чтобы получилось от 10 до 20 одинаковых интервалов. В данном примере экспери­ ментальные данные группировались по интервалам разного раз­ мера (как это часто бывает на практике), что было связано со способом отбора частиц по размерам. Желательно получить некоторое представление о распределении частиц по размерам.

Д л я построения по экспериментальным данным графика преж­ де всего следует расположить интервалы группировки в порядке возрастания значений случайной величины X, как это сделано в первом столбце таблицы. Дл я каждого интервала указывается

ность того, что переменная «равна или меньше, чем», то значение зависимой переменной следует откладывать над верхней границей каждого интервала. График, построенный по данным табл. П . 2 . 3 . 3 , дает сильно асимметричное распределение, на что указывает большая кривизна кривой на фиг. П . 2 . 3 . 3а . Эта кривая, а также физические соображения, что все измеряемые диаметры должны быть положительными и достигать н у л я (размеры частиц не могут быть отрицательными), наводят на мысль построить график

физических причин, запрещающих значения ниже (или выше) определенного уровня . В данном случае такая интерпретация не представляется разумной, поскольку техническими причинами нельзя объяснить отсутствие частиц с диаметром меньше 0,3 мкм.

В дальнейшем выяснилось, что это было связано с пределом разрешающей способности микроскопа, использовавшегося при измерениях. Дополнительные исследования показали, что около

Многомерная плотность нормального распределения вероят­ ности (2.3.7) является простым обобщением одномерной плотности

распределения. Д л я компактности запишем ее в матричной форме (приложение Б) 2 )

определяемое из условия

называется нормировочным множителем, а

I f I — детерминант матрицы f.

Величины [X; и Оц — некоторые постоянные, \it является средним значением соответствующей переменной Xt, a сг^- — дисперсия или ковариация величин (Xt, Xj). (Заметим, что tfu =

Пример 2.3.4. Двумерная плотность нормального распределения

Запишем формулу для двумерной плотности нормального рас­ пределения вероятности, полагая в выражении (2.3.7) п = 2. Это распределение применяется при рассмотрении турбулентных полей скоростей, картографировании и плановых съемках, а также при построении эмпирических моделей.