Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 599
Скачиваний: 2
60 |
Глава 2 |
Пример 2.3.1. Момент нулевого порядка для нормального распределения вероятности
Покажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j р (х) dx |
= |
1. |
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется |
показать, что |
|
|
|
|
|
|
||
|
о * |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисления |
станут |
проще, если сделать |
два |
преобразования, |
не |
||||
влияющих на величину искомого интеграла: |
х = 0 |
в точку х |
= |
||||||
1. Перенести |
начало координат |
из точки |
|||||||
— М-х'7т а к чтобы [хх |
= 0. |
|
|
|
|
(а); у и z — |
|||
2. Возвести в квадрат обе стороны соотношения |
|||||||||
переменные |
интегрирования. |
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[1 ^ w e x p ( ^ ^ ) d z |
|
— îо о |
|
|
|
|
|||
|
—1с о |
« р ( - - і 5 г ) ^ ] [ |
е х р ( — i M d z b |
|
|||||
|
|
|
|
|
о о |
о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
— о о — о о |
|
|
|
|
Наконец, переходя |
к полярным координатам, получим |
|
|||||||
о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2л |
о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
о |
|
|
|
|
|
Если квадрат действительной величины равен 1, то и сама величина также равна 1.
Простое преобразование переменных к нормированным (стан дартизированным) случайным величинам U
и = х ~ Ѵ х |
(2.3.2) |
Распределения |
вероятности |
и выборочная |
статистика |
61 |
приводит к плотности распределения вероятности, называемой
нормированной плотностью нормального распределения вероятно сти. Заметим, что, поскольку Р (и) = Р (х), где и — верхний предел интегрирования, соответствующий х, р (и) du = p (х) dx; следовательно,
" w = w c " " " 2 - |
< 2 - 3 - 3 ) |
Это распределение изображено в верхней части фиг. 2.3.4. Момен ты нормированной случайной величины U с нормальным законом распределения равны соответственно
со
j p(u)du = l (момент нулевого порядка),
—со
оо
j up (и) du = 0 |
(момент первого порядка), |
—о о
оо
j u2p(u)du=l |
(момент второго порядка). |
— о о
На фиг. 2.3.4 показано соотношение между р (и) и р (х). Нормированное нормальное распределение накопленной вероят
ности
и
P(u) = P{U<u} = ^ = |
\ e-W2du' |
(2.3.4) |
Л/ 2л |
J |
|
— о о
показано на фиг. 2.3.5 и протабулировано в приложении В . Используя симметрию р (и), из табл. В.1 можно рассчитать, например, вероятность
Р {0 < U < 1} = Р {U < 1} - Р {U < 0} =
= 0,841 - 0,500 = 0,341,
которая равна площади под кривой р (и) между точками 0 и 1. Еще один пример:
Р { - 3 , 2 < U < —0,3} = 0,999 - 0,618 = 0,381.
Не все справочные таблицы нормированного нормального р а с пределения вероятности построены по функции (2.3.4). Наиболее полные таблицы [2] основаны на функции
и
F(u) = ^ = ^e-Wdt, |
(2.3.5а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99,73% |
/ |
/ |
|
l |
u |
i |
1 |
I |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
\ |
||
|
1 |
|
|
|
l |
1 i |
t |
1 |
||
/ |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
1 |
|
|
|
\ |
1 |
|
I |
|
\ |
/ |
J |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
\ |
|
\ |
|
|
|
|
|
>. |
1 |
|
1 |
|
\ |
/ |
/ |
|
|
|
\ |
1 |
|
1 |
|
\ |
|
|
|
\ |
1 |
|
1 |
|
1 |
||
/ |
/ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
\ |
1 |
|
I |
|
\ |
||
. |
1 |
|
|
|
|
|
||||
; |
1 |
|
|
|
|
Y |
|
' |
|
' |
; |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
1 |
' |
\ |
|
|
l |
\ |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
X |
\ l |
|
\ |
||
|
|
|
|
|
|
I |
1 |
|
* |
|
/J . /
I |
/1 |
1 |
1 |
i / , • |
• o, |
A • |
• ^ — i - = s — . J |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
- i |
|
M x - 3<гх |
д х - 2ffx |
м х - ax |
цх |
ßx+ |
crx ßx+2<rx |
ßx + 3<r. |
||
Ф и г . 2.3.4. Сравнение нормальных распределений вероятности для нор мированной случайной величины U и случайной величины X. Проценты характеризуют величину площади под к р и в о й в пределах, у к а з а н н ы х на оси х.
-3 |
-2 |
- 1 |
0 |
1 2 |
/формированная нормальная переменная к |
||||
Ф и г . 2.3.5. Нормальное |
(гауссово) |
распределение накопленной вероят |
||
|
|
ности. |
|
|
Распределения вероятности и выборочная статистика 63
а в других справочниках используется
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
G(u) = -%=- |
[ e~t2dt. |
(2.3.56) |
|
|
|
|
У л |
J |
|
|
Полезное |
соотношение |
|
|
|
||
|
|
|
|
и |
|
|
|
Р(и)= |
( |
-4=^e-<2dt |
= 4r+ [ -4=e~t2dt |
|
(2.3.6) |
|
V ' |
J |
У 2л |
2 ^ J - | / 2 я |
v |
' |
|
|
- о о |
V |
0 |
|
|
нетрудно |
получить, |
учитывая симметрию графика |
фиг. |
2.3.5. |
||
Пример 2.3.2. Среднее значение и дисперсия нормированной величины, распределенной по нормальному закону
Покажем, что среднее значение U равно 0, а дисперсия U равна 1.
Решение
оо оо
Ш{Щ= j |
up(u)du^—±== |
j |
ue-^ßdu. |
(a) |
|||
— оо |
|
|
|
— оо |
|
|
|
Пусть и2І2 = t. Тогда |
и du |
= |
dt; t = |
оо |
при и |
= |
—оо. Следова |
тельно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
оо |
|
|
|
g{J7} = -jL-[ |
j |
e-*dt+ |
je-*d*] = |
0. |
(б) |
||
^ |
|
оо |
|
О |
|
|
|
Такой же результат можно получить, замечая, что u — нечетная функция, а е~и2'2 — четная, так что интегрирование их произве дения в симметричных пределах дает нуль.
оо
V a r { £ / } = j |
(и — 0)2p(u)du= |
|
|
|
|
(в) |
|
— оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
ОО • |
|
|
= -4= |
Ç u2 e-"2 /2 d u = |
_ 2 |
Г и ? е - « » / 2 da = |
|
|||
|
У 2я |
J |
|
У 2 п |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
^ • |
[ ^ ' А . |
(г) |
|
|
|
|
|
|
о |
|
Так как |
гамма-функция, |
по |
определению, |
равна |
|
||
|
|
1 (и) = j |
*«-ie-« <ft |
|
|
|
|
о
