Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 600

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

70

 

 

Глава

2

 

 

ми {ці, оф, (u.2 , оф, .

. ., ([il,

al).

Если вычислить

квадраты норми­

рованных нормальных

величин

Ut

 

 

 

 

Uï

= (

^ ~ ^ ) \

 

(2.3.8)

а затем их сумму,

то

получится

новая

случайная величина х 2

(хи-квадрат):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

V

 

 

 

 

 

і = 1

і = 1

1

Параметр ѵ в этом выражении называется числом степеней свободы величины %2. Распределение %2 зависит лишь от ѵ, так как величины Ut нормированы. Если имеется ѵ независимых

0,20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,75

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і< 010

I l

\

Ѵ= 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,05

-

\

/\

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

\ 1

!

1

> ^ . ...

О

5

10

15

20

25

50

55

АО

Ф и г .

2.3.6. Плотность

распределения

вероятности

%2 .

наблюдений, то число степеней

свободы равно

ѵ; однако каждое

соотношение, связывающее ѵ наблюдений, уменьшает число сте­ пеней свободы на единицу.

Можно показать, что плотность

распределения

вероятности

 

для

X2

равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р (X1)

= 2 ѵ / 2 г ( ѵ / 2 ) ( х 2

) ( ѵ / 2 ) - Ѵ ^ 2

>

(0 <

X2

< оо);

(2.3.10)

график

этой

величины приведен на фиг. 2.3.6.

 

 

 

 

 

 

Представляют интерес некоторые

частные

случаи

распреде­

ления

х 2 ; 1) распределение

квадратного

корня

из

х 2

Д л я

ѵ =

2,

называемое

распределением

Рэлея,

2)

распределение

х 2

Д л я

V =

4 — распределение Максвелла

для

скоростей

молекул

и

3)

распределение величины 1^2x2 для ѵ >

30, которая

распределена

Распределения вероятности и выборочная статистика 71

приблизительно по нормальному закону с ц = ]^2ѵ — 1 и а 2 = 1.

Среднее значение у? равно

числу степеней свободы

£ { х 2 } = £ { 2 т)=

2

%{(Ui-0)*}

= i + i + . . . = v ,

і=1

i=l

 

 

так как дисперсия Ut равна 1, т. е. % {(Ü7* — О)2} = 1. Непо­ средственным интегрированием можно показать, что

Ѵаг {х2} = 2ѵ.

Распределение накопленной вероятности %2 равно

*

ill)

-

Р { Х 2

< Х 2 } - 2 Ѵ / 2 і ! ( ѵ / 2 ) |

( f ) 2

" 1 е-*У* d {t).

(2.3.11)

Существуют

таблицы

как

для

Р

 

так

и

для

Р (х^/ѵ)

и Р { х 2 >

X*};

небольшая

часть

табл. В2 приложения

В

при­

ведена

здесь

в

виде

табл. 2.3.3. Числа в этой

таблице

представ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица

2.3.3

 

 

 

 

 

 

Р а с п р е д е л е н ие 7 2

 

 

 

 

 

 

 

Число

 

Вероятность того, что значение х 2

меньше, чем указанное в таблице,

 

 

 

 

 

 

 

 

Р {X2

=S Х|}

 

 

 

 

 

 

 

степеней

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

свободы

 

0,01

0,05

 

 

0,9

 

 

 

 

 

 

 

0,999

V

 

 

0,5

 

 

0,95

 

0,99

 

1

 

1,57-10-4

0,00395

0,455

2,706

 

3,841

 

6,635

 

10,827

10

 

2,558

 

3,940

9,342

15,987

18,307

 

23,209

 

29,588

ляют собой

верхний

предел

интеграла

в

формуле

(2.3.11)

для

V степеней

свободы.

Например,

для

Р {%2 ^

 

%*} =

0,95

или

Р {%2 >

%1) = 0,05

значения

%* равны

3,841

и

18,307

соответ­

ственно

для

ѵ = 1

и

V =

10

степеней

свободы.

 

 

 

 

2.4. В Ы Б О Р О Ч Н Ы Е

С Т А Т И С Т И К И

И

И Х Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я

Распределение вероятности для переменной процесса обычно

неизвестно, так что соотношения разд. 2.2 нельзя

непосредственно

использовать

для

вычисления

среднего

значения,

 

дисперсии

и других характеристик ансамбля. В

то

же

время

получение

оценки

для

плотности распределения

вероятности

переменной

процесса, хотя и желательно, но оказывается весьма трудной

задачей, поэтому в большинстве случаев приходится

ограничи­

ваться

более простыми оценками среднего значения,

дисперсии

и т. д.

В этой книге будут описаны два основных метода оценива-

72 Глава 2

ния характеристик ансамбля. Первый метод, который рассма­

тривается

в

этом

разделе, связан

с

использованием конечной

случайной

выборки

из наблюдений

или измерений,

полученных

в повторных

экспериментах. Другой метод, в котором используется

единственная временная запись одного эксперимента,

обсуждается

в разд.

12.3.

 

 

 

 

Термином

выборочная статистика

или просто

статистика

обозначается некоторое числовое значение, подсчитанное по набо­ ру наблюдений или измерений случайной переменной. Таким образом, оценки параметров плотности распределения вероятности, распределения накопленной вероятности и моделей процесса или оценки характеристик ансамбля, полученные из эксперименталь­ ных наблюдений, являются примерами статистик. Статистика имеет двойной смысл; она означает как правило вычисления ста­ тистики (т. е. некоторую функцию), так и полученное для нее зна­ чение. Нужный смысл будет ясен из контекста. Следует помнить, что статистики — случайные величины.

Вэтом разделе рассматриваются выборочное среднее значение

ивыборочная дисперсия случайной переменной X, а также их

распределения вероятности при

конкретных

предположениях

о распределении самой случайной

переменной

X. Выборочные

средние будут обозначаться чертой над соответствующей случай­ ной переменной, за исключением выборочных дисперсии и коэф­ фициента корреляции, для которых исторически установились другие обозначения. Если специально не оговорено, каждая конечная выборка предполагается статистически независимой от

любой другой, если они получены в независимых

экспериментах

и сами величины статистически независимы.

 

2.4.1. Выборочное среднее значение и выборочная

дисперсия

Как правило, выборочное среднее является наиболее эффектив­ ной статистикой (гл. 3), которая используется для характеристики центрального значения экспериментальных данных, т . е . для получения той же достоверности оно требует меньшего количества данных. Пусть X — случайная величина *). Если в выборке, состоящей из п наблюдений величины X, значение Xt появилось щ раз, значение Х2 появилось п2 раз и т. д., то выборочное среднее равно

X = ±%Xtnt,

 

 

(2.4.1)

г ) Зависимость X от времени можно опустить,

так к а к

выборка

может

производиться одновременно или в разные моменты

времени д л я стационар ­

ного ансамбля . В а ж н о л и ш ь , чтобы данные были получены

в

р а з н ы х

экспе ­

риментах, а не в одном эксперименте в различные

моменты

времени .

Распределения

вероятности

и выборочная

статистика

73

где 2 пі = п- Если ni = 1, то верхний предел суммы равен п. Выборочное среднее значение само является случайной величи­ ной и в тех случаях, когда оно используется для оценки [іх, часто обозначается \іх-

Повторные измерения целесообразно проводить по двум основ­ ным причинам. Во-первых, среднее значение по отдельным резуль­ татам более достоверно, чем любой единичный результат. Во-вто­ рых, при этом можно оценить дисперсию отдельных показаний. Эти цели не будут достигнуты, если при сборе данных о процессе не принять надлежащих мер, описанных в гл. 8.

Выборочная

дисперсия

случайной

переменной

X

представляет

собой

случайную величину, которая

служит

наилучшей

оценкой

а х- Она

вычисляется

следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

sx^Sx

= -^jZ(Xi-X)*ni.

 

 

 

 

 

 

(2.4.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

Заметим,

что в

знаменателе

этого

выражения

стоит

число

п — 1,

а

не

п, потому

что математическое

ожидание

величины

(і/(п—

1)) 2

(Хі—X)2

 

пі

равно

Ох,

тогда как

математическое

ожидание

величины

{Un)

2

(Xi

— Х

)

Г nt

есть

{(п

—

1)//г} а\.

Последнее

выражение,

таким

образом,

дает

смещенную

оценку

[см. ниже выражение (2.4.9)]. (Эвристически использование зна­ менателя п — 1 вместо п аргументируется тем, что при вычисле­ нии среднего значения пропадает одна из п степеней свободы для общего числа п измерений. На данные налагается одна связь; следовательно, в знаменателе должно стоять число степеней свободы, равное п — 1.) Выборочную дисперсию часто удобно вычислять по следующим формулам:

—

1-ІХ

2 п ^ + (ХѴ2га*] =

^•^[^піХІ

 

 

1

 

 

W 2 2 n ' ] =

п — 1 [ 2 > t X ? - 2 X X 2 > * +

1

 

 

 

п —1 [ 2 ПіХІ -

(X)2 2 ni] =

(2.4.3а>

п

[ ( f f ) - ( f ) 2

] .

(2.4.36)

 

Выборочное

относительное отклонение

равно

 

 

с = і £ .

(2.4.4)

 

 

X

 

Всегда следует помнить, что возведение в квадрат или умноже­ ние с последующим вычитанием округленных значений может при-

Смотрите также файлы