Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл (30,27Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 592

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

916	Приложение	В
так	что
		)х=о = Аг-	(ж)
Тогда
	с (ж, s) = -^e	Ѵ 2	(з)
и
	H°e r f c (-2l7!ï)'		(и)

Решение этой простой задачи можно также получить с помощью кратных преобразований Лапласа [9].

Б . 9 . О Б О Б Щ Е Н Н Ы Е Ф У Н К Ц И И

Исследователю часто приходится изучать реакцию систем на внезапное ступенчатое изменение на входе или на «всплеск». Такие входные сигналы можно описать разрывными функциями типа показанных на фиг. Б . 9 . 1 , Б.9.2 и Б . 9 . 3 . В этом разделе будут рассмотрены некоторые свойства этих так называемых

обобщенных			функций, применяемых		при анализе	процессов
и	решении		математических моделей.
	Единичная		ступенчатая	функция	(фиг. Б.9.1) определяется
-следующим			образом:
						(Б.9.1)
Таким		образом, функция		U (t — т) непрерывна (постоянна) при
K	t	и і > т , а при t — х имеет разрыв с единичным				скачком.

Комбинации ступенчатых функций с обычными функциями можно использовать для описания разрывного поведения функций

(фиг. Б.9.2).

Упоминавшаяся выше обобщенная функция второго типа

называется единичной	импульсной	функцией		или	дельта-функцией
Дирака (фиг. Б.9.3)
	Ô (* — т) =	0,	іф	т,

оо

(Б.9.2)

— 0 0

Она является математической идеализацией той ситуации, когда на входе системы происходит внезапный «толчок». При описании

V(t-r)

Ф и г. Б . 9 . 1 , Представление единичной ступенчатой ф у н к ц и и .

iU(t-z)

Ф и г. Б . 9 . 2 . Примеры функций, построенных из комбинаций ступенчатых и обычных функций .

Ф и г . Б . 9 . 3 . Единичная импульсная функция.

918

Приложение

с помощью ô-функции предполагается, что этот «толчок» является мгновенным, что строго физически, конечно, невозможно. Однако предельный случай для многих физических ситуаций дает хорошее приближение.

Из широкого класса обобщенных функций здесь были кратко рассмотрены лишь две — единичная ступенчатая функция U (t—т) и единичная импульсная функция ô (t — т). Единичную импульс ную функцию можно рассматривать как производную от ступенча той функции:

	è(t-x)	= -^U(t~x),	(Б.9.3)
что	подтверждается сравнением графиков		на фиг. Б.9.1 и фигу
ре	Б . 9 . 3 .

Б . 1 0 . И С П О Л Ь З О В А Н И Е М Н О Ж И Т Е Л Е Й Л А Г Р А Н Ж А Д Л Я Н А Х О Ж Д Е Н И Я О П Т И М А Л Ь Н О Г О З Н А Ч Е Н И Я

Удобный способ нахождения экстремума функции (внутри области) при наличии ограничений типа равенств состоит в исполь зовании множителей Лагранжа. При поиске минимума (или максимума) функции нескольких переменных / (ж4, х2, • • -, хп) значения xt, соответствующие точке экстремума, определяются, как известно, из уравнений

(Б.10.1)

1L = 0

дх2

И Т. Д.

Предположим, однако, что на значения xt наложены некоторые ограничения в виде равенств, которые можно записать в общем виде:

%(хи	х2,	.	.	.,	хп)	=	0,	(Б.10.2)
W2(xi,	х2,	.	.	.,	хп)	=	0

ит. д.

Вчастности, сумма мольных долей в некоторой смеси должна равняться единице. Решить каждое из уравнений (Б.10.2) относи

тельно одной из переменных xif с тем чтобы исключить ее из выражений (Б.10.1), редко удается. Вместо этого предлагается следующая процедура.

В	точке	экстремума полный дифференциал функции / (хи
х2, .	. ., хп)	обращается в нуль, даже если переменные xit х2, . . .

Математический аппарат 919

хп

не

являются

независимыми:

(Б.10.3)

Кроме

того,

так

как

¥ І (xt,

х2,

. •., хп) =

О ,

дх2

dxn

= О ,

дх>

dxi1

дх*

dx2

- f - .

дх,

-dxn

О ,

(Б.10.4)

H^JL dxi + îZf.

dx2

+ . . . - ) -

dx„ =

toi

ur2

<to„

Умножив

уравнения

(Б.10.4) соответственно

на

Я1 ;

Я2 , . . ., Яр

и затем

сложив

с уравнением

(Б. 10.3),

получим

+ ( & - + ^ § + Ä	<	§ + - + ^ ^ ) ^ + - = 0 -			(Б.10.5)
Если переменные	Ж І	,	Х 2 , . . .	рассматриваются в качестве незави
симых, а переменные			хт, . . .,	(всего р переменных)	исклю

чаются с помощью р ограничивающих равенств и если якобиан из

производных от Ч^, Ч?2, . . ., ^¥р по	переменным от хт до хп не
обращается в нуль,
дхт	дхп
J (хт> . . ., ХП) — дхт	дхп Ф0,
дѴр	дѴр
	дхп

то множители Яг можно фиксировать таким образом, чтобы в точке экстремума выполнялись соотношения

дх.			дх-п		= 0,
дх.			дх-п
					(Б.10.6)
df ч .		à V i , .	Л 2 "	дУ2
дх	Л 1	-лГ~ +	Л 2 "	дхп
дх		дхп		дхп

920 Приложение Б

С учетом	соотношений (Б.10.6) уравнение (Б.10.5) сводится
к выражению,	в котором каждая из переменных xt действительно

независима. Следовательно, каждый член в круглых скобках

должен обращаться		в	нуль:
дхі	1	1	дхх 1 ^ дх2	1 • • •	1	âxi	(Б.10.7)
J L + x ^ + я ^ + . . . + ^ ^ ^ о							(Б.10.7)
J L + x ^ + я ^ + . . . + ^ ^ ^ о
дх2	1	дх2	дх2 1	'	F	ох2
И Т.	д .

Решая совместно уравнения (Б.10.7), (Б.10.4) и (Б.10.6), можно

найти значения xt, соответствующие	экстремуму,	а также множи
тели %f. Если якобиан J (хт, . .	., хп) = 0,	может оказаться

достаточным поменять местами некоторые из независимых пере

менных	с переменными, входящими	в якобиан J (хт, . . ., х п ) ;
если это	сделать не удается, данный	метод терпит неудачу.