Пример Б . 8 . 2 . Преобразование Лапласа для производных
Найдем изображения по Лапласу от / ' (t) и / " (t). Решение
оо
о
Введя обозначения
u = e~st, dv = f'(t)dt
и интегрируя по частям, получим
оо
X [/' (t)] = e-st f (t) I» + * j e - s t / (0 dt = - / (0) + s/ (s).
X [/" (t)] = j /" (t) <Tst dt = e"8'/' |S° + s J e"st/' (0 dt =
= s 2 / ( S ) - S / ( 0 ) - / ' (0).
Вычисление обратных преобразований Лапласа от функций представляет особую важность, однако может быть крайне затруд нено. При определении функции / (t) по некоторой функции / (s) обычно по таблицам преобразований Лапласа отыскивается нуж ное преобразование [8]. Если это удается сделать, обратное пре образование немедленно находится.
Д л я вычисления обратных преобразований можно также использовать:
1. Теорему разложения Хевисайда.
2.Элементарные дроби.
3.Методы полюсов и вычетов.
4.Интеграл свертки.
5.Численные расчеты
|
Использование методов |
1—4 требует |
громоздких |
вычислений. |
В |
табл. Б.8.1 приведен |
краткий список преобразований, часть |
которых используется |
в |
следующих |
примерах, |
а другие — |
в |
основном тексте книги. |
|
|
|
[ ) Таблицы, удобные дл я численных расчетов, приведены в работе [7] .
914 Приложение Б
Пример Б.8.3. |
Решение обыкновенного |
дифференциального |
|
|
уравнения |
|
|
Решим |
уравнение у" (t) |
+ к2у {t) = |
0 с начальными усло |
виями у (0) |
= |
сх и у' (0) == с 2 |
с помощью преобразований Лапласа. |
Решение
Сначала с помощью табл. Б.8.1 возьмем преобразование Лапласа от обеих частей данного уравнения:
X {у" (t) + к*у (t)} = 0,
s'y (s) - sy (0) - y' (0) + h»y (s) = 0.
Затем подставим начальные условия
s2y (s) — sc! — c2 + k2y (s) = 0
и решим полученное уравнение относительно у (s)
У \Ь) — S 2 + A 2 — S 2 + Ä : 2 " r S 2 4 - A ; 2 '
Наконец, выполняя обратное преобразование снова с помощью табл. Б . 8 . 1 , получаем
у (t) = et cos (kt) -f- ~ sin (kt).
К
Пример Б.8.4. Решение дифференциального уравнения
в частных производных путем его преобразования в обыкновенное дифференциальное уравнение
Решим уравнение диффузии в полубесконечной среде
dt дх*
при следующих граничных условиях:
(1) с = 0, t = 0, x > 0;
(2) |
3>[^\ |
= к = const, t > 0, x = 0; |
4 ' |
V дх I |
ж=0 |
(3) с = 0, f > 0, ж - > оо.
Решение
От обеих частей уравнения возьмем преобразование Лапласа по переменной / (при этом предполагается, что возможно измене ние порядка дифференцирования по ж и выполнение преобразова-
Математический |
аппарат |
915 |
ния Лапласа) |
|
|
sc(x,s)-c(x,0) |
= a)^^. |
(а) |
Уравнение (а) представляет собой обыкновенное дифференциаль ное уравнение, которое имеет следующее решение [с учетом с (х, 0) = 0]:
|
с (x, s) = |
Х - f Аге~^^Х. |
(б) |
Заметим, что преобразованные граничные условия |
имеют вид |
<*> |
« [ * № Ы - * ( ^ ) « - * ( * ) - т - |
(3') |
X [с (ж, 01 = с (x, s) = 0. |
|
Из условия (3') следует, |
что Л 4 = 0; |
тогда |
|
|
с {x, s) = А2 е г |
^ . |
(в) |
Далее |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 s |
так что |
|
|
|
|
|
А* |
|
|
|
Наконец, |
|
|
|
|
|
c ( x , s ) = - w ( — ) |
е Я . |
( д ) |
Обратное |
преобразование |
Лапласа от выражения |
(д) равно |
= - |
[ 2 |
)1 / 2Ѳ Х Р ( - а*) - we r f c (iw*) I •(e |
Заменяя |
граничное |
условие (2) на |
|
с |
= с0 , * > 0 » ж = 0, |
можно получить
X[c(x,t)] = è(x,s) = XlcQ] = ^ L , х = 0,
