Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 598

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

906 Приложение Б

ренциальному уравнению z = dz. Если уравнение (Б.6.22) заме­

нить двумя

системами

 

 

 

 

 

 

 

у = by +

cz

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = dz,

 

 

можно

записать

его в так

называемой неприводимой

форме

 

 

 

 

 

 

(Б.6.23)

такой

же,

как

уравнение

(Б.6.7),

т. е.

 

 

 

 

 

У* = ау*,

(Б.6.23а)

где

 

 

 

 

 

 

У* =

и

а = [о d] '

Пример Б.6.4. Решение систем уравнений

 

Решим

систему

уравнений

 

 

 

 

 

Уі =

Зг/і +

Уг +

e2t

+

sin

t + 3,

 

 

Ѵг =

-УІ

+

2уг

+

te2t

-

2 sin t -

2.

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

% =

 

te*,

 

=

zi = 2te2t +

e2',

 

z 3

=

sin

t,

z 4

=

z3

— COS t,

zR = — 1 .

(Возможен

и другой

выбор.)

Тогда

 

 

 

• •

•

 

 

 

 

 

 

•

 

(а)

(б)

zt — 4zt

-f- 4zj =

0

или

z2

=

4z2 — 4z1 ?

z 3

"4"z 3 =

0

или

z4

=

—z3 ,

 

 

Математический

аппарат

 

907

В матричных

обозначениях

 

 

 

 

 

 

 

M

 

г

0

1

0

0

о"

V

 

 

Ч

 

 

— 4

4

0

0

0

 

 

 

Ч

=

0

0

0

1

0

ч

 

 

 

 

 

0

0

— 1

0

0

z4

 

 

Ъ\

 

 

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Ч.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

0

1

0

0

0

 

 

 

 

 

 

— 4

4

0

0

0

 

 

 

 

d

=

0

0

0

1

0

 

 

 

 

 

 

0

0

— 1

0

0

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

-

—2

1

1

0

3

 

 

 

 

С =:

1

0

— 2

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•

3

1

— 2

1

1

0

3

'УІ

2/2

— 1 2

 

1 0 — 2 0 -- 2

Уг

•Si

 

0

0

 

0

1

0

0

0

* І

ч

 

0

0

— 4

4

0

0

0

ч

ч

 

0

0

 

0

0

0

1

0

ч

ч

 

0

0

 

0

0 — 1

0

0

ч

. 4 .

.

о 0

 

0 0

0 0

0

.4-

Б . 7 . Р Е Ш Е Н И Е У Р А В Н Е Н И Й В Ч А С Т Н Ы Х П Р О И З В О Д Н Ы Х

Дифференциальные уравнения, содержащие производные по нескольким независимым переменным, называются дифференциаль­ ными уравнениями в частных производных. Такие уравнения, как уже указывалось, описывают широкий круг задач. Понятия поряд­ ка, степени и линейности для уравнений в частных производных такие же, как для обыкновенных дифференциальных урав­ нений.

908

Приложение

Б

 

 

Если при интегрировании обыкновенных дифференциальных

уравнений появляются произвольные

постоянные,

то общее реше­

ние

дифференциального уравнения

в частных

производных

?г-го порядка содержит п произвольных функций. За исключением уравнений первого порядка и немногих других частных случаев, редко оказывается возможным или возникает необходимость найти общее решение; обычно исследователь должен найти некото­ рое частное решение задачи при заданных условиях.

Большое число задач явлений переноса и математической физи­ ки сводится к решению одного из следующих дифференциальных уравнений в частных производных:

1.

Уравнения

Лапласа

Ѵ2ф

=

0.

 

 

 

 

f

— К(хг, ж2 , X3)

2.

Уравнения

Пуассона

Ѵ2<£ =

 

 

 

 

т

I

или const.

3. Уравнения диффузии Ѵ 2 < £ = - р " ^ .

4.Волнового уравнения Ѵ2<£ == - ^-^р-.

5.Волнового уравнения с затуханием (телеграфного урав-

нения)

ѵ*ф = — — +

іі-.

 

 

 

 

6.

Уравнения

Гельмгольца Ѵ2</> + у2ф

=

0.

В этих

уравне­

ниях

h,

с Ts. у — постоянные.

 

 

 

 

Обычно эти уравнения решаются методом

разделения

пере­

менных.

При

этом

решение записывается

в

виде ф = U1

(и1) X

X U2

(и2) U3

(и3),

что

позволяет разделить

 

дифференциальное

уравнение в частных производных на три обыкновенных диффе­ ренциальных уравнения для каждой из функций U. Начальные и граничные условия данной задачи используются для определе­ ния произвольных постоянных, с тем чтобы можно было получить однозначное решение. Обсуждение различных методов разделения переменных можно найти в литературе, список которой приведен в конце этого приложения.

Б . 8 . П Р Е О Б Р А З О В А Н И Я Л А П Л А С А

В этом разделе будет показано, как используется операцион­ ное исчисление, в частности преобразование Лапласа, для решения линейных дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных.

Изображение по Лапласу f (s) функции / (t) определяется фор­ мулой

оо

2 [/(<)] = / ( * ) = \e-stf{t)dt.

(Б.8.1)

Математический

аппарат

909

Обратное преобразование

Лапласа

обозначается как X~х

lf (s)],

так что

 

 

 

/

(t) = Х-1

lf (s)].

(Б.8.2)

Представляют интерес следующие свойства преобразования Лапласа:

и

1.

Линейность.

ЕслиU

(*)

-

X

lh

(t)]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

h

(*) =

X

lh

(t)l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

[cJi

(t) + C2f2 (t)]

=ClX

lh

(t)}

+

c2X

lh

(t)]

=

 

 

2.

Преобразование

производной.

=

cJi

(s) +

cj2 (s).

(Б.8.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

^ [ ^ ] = ^ [ / ' « ) ] = * / ( * ) - / ( 0 ) ,

(Б.8.4)

где

/

(0) — значение / (t)

при І - J - O .

 

 

 

 

 

3.

Преобразование

интеграла.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

4-/>)

 

 

 

 

 

 

# [ | / ( т 0 ^ ]

=

 

 

№.8.5)

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Комплексный

перенос.

Если

 

 

 

 

 

 

 

 

/

(s)

=

3

[/ (*)],

 

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ (s -

а) =

X [С»'/

Таким

образом,

умножение

/ (і)

на е а (

5 — а

в ее изображении.

 

 

5.

Производная

преобразования.

(*)]. (Б.8.6) приводит к замене s на

 

 

 

Ц^1

= Х1(-1П(1)).

(Б.8.7)

6.

lim/(e)ï=0

при

s-+

о о .

(Б.8.8)

7.

Интеграл

от

преобразования.

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

j / > ) d a ; = # [ ^ ] .

(Б.8.9)

 

 

 

s

 

 

 

Таким образом, деление / (t) на t соответствует

интегрированию

изображения /

(t)

от s

до

оо.

 

910

 

 

Приложение

Б

 

 

8.

Преобразование

ступенчатой

функции. Если

U (t) — еди­

ничная

ступенчатая

функция:

 

 

 

 

 

 

 

U (t)

=

0,

t <

О,

(Б.8.10)

 

 

 

# ( 0

=

1,

* > о ,

 

 

 

 

a U

(t

— т) — единичная ступенчатая

функция со

скачком при

um.ua-г)

Ф и г . Б . 8 . 1 . Единичные

ступенчатые

функции

U (t)

и

U (f — т)

t = т

( ф и г . Б.8.1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

(t

—

x)

— 0,

t <

т,

 

 

(Б.8.11)

 

 

U

(t —

x)

<= 1,

t >

T,

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

# [ff (*)] = •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

# [ f f (f — т ) ] = -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

#

[/(* — ^)] =

e - T S / ( 5 ) ,

 

если

/(* —т) = 0

пр и

 

0 < і < т ,

# [ / ( * — т ) ff (01 =

« " " / > ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

Преобразование единичной

импульсной

функции.

Если ô (f) —

единичная импульсная

функция

(дельта-функция

Дирака), изо-

Ш

, х

Ф и г .

Б . 8 . 2 .

Единичная импульсная ф у н к ц и я .

браженная на фиг.

Б.8.2,

 

 

 

ô (х) = 0,

x Ф 0,

 

j

ô (ж) ciz

= 1,

Смотрите также файлы