Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 581
Скачиваний: 2
16 |
Глава 1 |
Оператор Ш описывает любое преобразование х в у. Предполо жим теперь, что на входе одновременно заданы две величины так, что
У = Ш (xi + xz) = M (xi) + M (x2) = yi + г/2. |
(1.1.2) |
Тогда оператор Ш, по определению, называется линейным опера тором, свойства которого более подробно описаны в приложе нии Б . Система называется линейной, если ей соответствует линей ный оператор 3£, а модель линейной системы, представляющая собой линейные уравнения и граничные условия, называется линейной моделью. В противном случае модель нелинейна. Даль нейшие детали классификации и применения моделей процессов можно найти в книге [1].
1.2. С Л У Ч А Й Н Ы Е В Е Л И Ч И Н Ы И С Т А Т И С Т И Ч Е С К И Е
МО Д Е Л И
Врезультате повторных измерений в большинстве реальных экспериментов обычно получаются отличающиеся друг от друга значения измеряемых величин. Такой исход эксперимента называ
ется случайным, |
стохастическим, |
возможным, статистическим или |
|
вероятностным |
в зависимости от |
вкуса |
автора; соответствующие |
величины называются случайными, |
или |
стохастическими. |
Существует много причин, приводящих к тому, что наблюде ния и измерения, сделанные в экспериментах, оказываются скорее случайными, чем детерминированными. Иногда случайность пред определена самой физической сущностью явлений, как, например, при радиоактивном распаде веществ или эмиссии электронов из катода — процессах, которые протекают на молекулярном
иатомном уровнях, а измеряются макроскопическими приборами.
Вдругих случаях сказывается неполнота информации о данной величине или применяемая аппаратура не позволяет получить всю требуемую информацию, так что наблюдаются лишь некоторые стороны явления. Часто это объясняется небрежностью и невни мательностью наблюдателя.
Вреальных заводских условиях производственные шумы,
периодические f сигналы и другие помехи |
влияют на |
измерения. |
Н а фиг. 1.2.1 воспроизведена диаграмма, |
полученная |
с датчика |
расхода питательного раствора при различных скоростях движе ния пера регистрирующего прибора. Верхняя картина получена на типовом промышленном приборе, на средней сигнал стал замет нее, на нижней картине ясно виден шум с частотой 60 Гц, прису щий аппаратуре, однако еще остались заметны характерные вариа ции. Наконец, неопределенность может возникать потому, что модель процесса в действительности не адекватна самому физическому процессу. В общем с отсутствием строгой детерминирован-
Введение |
17 |
ности измерений исследователь сталкивается повсюду в своей работе.
Истинное значение переменной — это такое ее значение, которое получилось бы при некотором измерении, если бы отсут ствовали элементы случайности, связанные с измерением. В этом смысле оно является гипотетическим значением. С понятием
ю |
1 М Л Н Н М НИИНШГ' 1 РГШИТГтМИЧШЧТИ» |
^ |
|
со |
|
|
|
«Г |
"' |
. , і. |
|
|
' • ' • |
L |
ГО |
шш |
ЛІ |
||
3? |
|
Ф и г . 1.2.1. П о к а з а н и я дифференциального датчика давления в трех раз личных временных ш к а л а х [5].
истинного значения связано понятие ошибки, ибо ошибка пред ставляет собой разность между измеренным и истинным значения ми. Случайной ошибкой называется разность между случайной^. величиной и ее истинным значением.
Итак, случайные результаты, полученные в эксперименте, содержат ошибку или неопределенность. Такую ошибку следует отличать от: 1) большой, в некотором смысле изолированной ошиб ки, которую можно назвать выбросом, и 2) постоянно возникающей ошибки, например, вследствие плохой калибровки прибора или
18 |
Глава 1 |
из-за предвзятого подхода к эксперименту. Ошибки последнего типа вызывают смещение или ведут к потере точности и называются систематическими. Точность показывает, насколько среднее зна чение экспериментальных данных близко к истинному значению; воспроизводимость результатов характеризует величину разброса экспериментальных данных относительно их среднего значения. Методы, излагаемые в этой книге, не позволяют рассматривать систематические ошибки 2 ) .
Таким образом, можно |
считать, что эксперимент |
приводит |
|
к различным исходам |
каждому эксперименту можно |
сопоста |
|
вить функцию времени X |
{t, |
£), действительную или комплексную. |
|
t |
a |
â |
Ф и г. 1.2.2. Выборочные случайные функции а н с а м б л я . |
|
а — трехмерная |
картина; б — двумерная картина. |
Семейство (совокупность) |
всех возможных функций X (t, Q обыч |
но называется стохастическим или случайным процессом. Однако в этой книге под случайным процессом понимается физический исследуемый процесс, который проявляет стохастические свойства
постольку, поскольку включает в себя случайные |
отклонения |
||||||
входных |
и выходных |
переменных, |
коэффициентов, |
начальных |
|||
и граничных условий по отдельности или в любых их |
комбинаци |
||||||
я х . Д л я |
семейства функций X (/,'£), |
которое |
представляет собой |
||||
набор всех возможных |
временных диаграмм |
экспериментальных |
|||||
данных, используется термин ансамбль. |
|
На фиг. 1.2.2 |
изображены |
||||
три выборочные |
функции |
(выборочные |
диаграммы) ансамбля для |
||||
одной и той же |
переменной величины, |
регистрируемой в течение |
х ) Систематические ошибки рассматриваются в работах [2, 3 ] . Подроб ное обсуждение понятий точности и воспроизводимости результатов м о ж н о найти в статье [4] .
Введение |
19 |
конечного интервала времени. Эти графики могут |
представлять |
или повторные серии на одной и той же аппаратуре, или одновре менные серии на идентичной аппаратуре.
Ансамбль, как одна временная запись и как группа одновре менных экспериментов, также имеет случайный характер. Неко торые случайные величины можно выразить явными функциями, другие — лишь графически или с помощью таблиц. В последующем
изложении переменная £ в аргументе |
X будет опущена и величина |
|||||||||||
X |
(t) |
будет |
обозначать: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1) |
ансамбль |
(совокупность зависящих от |
|
времени |
функций); |
||||||
|
2) одну функцию для отдельного |
эксперимента, проводимого |
||||||||||
во |
времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы отличить одну величину (случайную или неслучайную) |
|||||||||||
от другой, |
будут |
использоваться |
индексы. Подходящий смысл |
|||||||||
|
|
|
|
|
Детерминиро |
- |
y(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ванная |
модель |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ошибка £ |
|
|
|
|
|
|
|
x(t)- |
|
Детерліиниро |
- - |
уМ |
|
|
ХШ |
Стохаcmи ческая. |
Yd) |
|||
|
ванная мадепь |
|
©—-YM |
|
|
|
|
|
||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
Ф и г . |
1.2.3. Блок - схемы статистических |
моделей. |
|
|
||||||
обозначений нетрудно понять из контекста. Случайная |
величина |
|||||||||||
в |
заданный |
момент времени |
будет |
отмечаться индексом при t, |
например X (ti); отсутствие аргумента у X означает, что величина не зависит от времени t. Часто бывает необходимо различать слу чайную величину X и ее конкретное значение, для которого будут использоваться строчные буквы. Как правило, случайные вели чины будут обозначаться прописными буквами из второй половины алфавита. Однако некоторые общепринятые символы для случай ных величин, например для оценки дисперсии, будут сохранены. Строчными буквами, вообще говоря, будут обозначаться детерми нированные величины, за исключением таких понятий, как
'«абсолютная |
температура». |
Данное |
выше описание случайных |
|
величин, естественно, не |
позволяет |
существенно |
продвинуться |
|
в понимании |
их природы или умении применять |
статистические |
методы расчета случайных процессов. Такое понимание и умение анализировать приходит лишь при достаточной практике.
Статистическая модель — это не что иное, как математическое "(Угасание случайного процесса. Фиг. 1.2.3 дает представление о по токе информации в двух простых статистических моделях. На
20 |
Глава |
1 |
|
фиг. 1.2.3, б случайная |
ошибка добавляется к выходу детермини |
||
рованной модели, изображенной |
на фиг. 1.2.3, а, что |
приводит |
|
к случайной выходной |
переменной. На фиг. 1.2.3, в |
сл^яайная |
выходная переменная возникает вследствие случайного характера входной переменной. Не исключено, что и дифференциальные уравнения модели могут быть стохастическими, если они содержат случайные коэффициенты. Зависимые и независимые переменные процесса могут быть дискретными или непрерывными. Многие, но не все переменные, связанные с непрерывным процессом, такие, как температура, давление, состав, являются непрерывными, т. е.
Статистическая
модель
Стационар |
|
Не стационар |
||
|
ная |
|
ная |
|
Эргооич- |
Не |
эргодич- |
|
|
ная |
|
ная |
|
|
Ф и г. 1.2.4. Альтернативная к л а с с и ф и к а ц и я |
статистических |
моделей . |
||
могут принимать |
любое |
значение внутри |
некоторого |
интервала. |
Дискретные переменные могут принимать только отдельные зна чения в некотором интервале.
Статистические модели можно классифицировать подобно тому, как показано в табл. 1.1.2 или на фиг. 1.2.4. Термины, при веденные на фиг. 1.2.4, поясняются в гл. 2 и 12. Хотя статистиче ская модель представляет собой только некоторую абстракцию реального процесса, она, по-видимому, с достаточной полнотой описывает процесс, особенно изучаемую величину. Пока модель
достаточно хорошо описывает реальную ситуацию |
в том смысле, |
|||||||||
что |
выводы, |
полученные |
при математическом |
анализе |
модели, |
|||||
обладают необходимой точностью, она считается |
пригодной. Пре |
|||||||||
имущества |
работы с моделью, а не непосредственно с эксперимен |
|||||||||
тальными |
результатами таковы: |
|
|
|
|
|
||||
1. |
В |
модели можно |
устанавливать |
точные |
соотношения |
|||||
между величинами и преобразовывать |
их математически; в реаль |
|||||||||
ном процессе эти соотношения выполняются |
лишь |
приближенно. |
||||||||
|
2. |
Модель позволяет выделять нужные характеристики |
процес |
|||||||
са, |
отбросив |
многие запутывающие |
и несущественные |
черты, |
||||||
не требующие строгого анализа. |
|
|
|
|
О |
|||||
3. Модель можно использовать для прогнозирования |
поведе |
|||||||||
ния |
в области, где отсутствуют экспериментальные |
данные. |
Введение |
21 |
Предполагая, что измеренные значения переменных содержат лишь случайную ошибку, а систематическая ошибка отсутствует, исследователь на основе конечного числа измерений ставит перед собой цель определить:
1)тенденцию измерений группироваться относительно некото рого центрального значения данной переменной;
2)рассеяние измеренных значений относительно этого центра;
3)достоверность этих оценок.
Центральное значение обычно характеризуется средним по ан самблю и оценивается с помощью выборочного среднего или сред него по времени. Рассеяние характеризуется дисперсией по ансам блю, которую можно оценить по выборочной дисперсии или соот ветствующему среднему по времени. Эта описательная статистика, позволяющая экспериментатору представить многообразную информацию в компактной форме, рассматривается в следующей главе.
|
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
1.1. Провести |
классификацию |
моделей |
по табл. 1.1.1 |
для сле |
||||
дующих процессов: |
|
|
|
|
|
|
||
а) |
Ламинарное течение |
в |
круглой |
трубе |
|
|||
|
|
1 |
d |
dvz |
|
Äp |
|
|
|
|
г dr |
dr |
|
L |
1 |
|
|
где |
|
|
|
vz |
|
|
|
|
г — радиальная |
координата, |
— скорость вдоль оси |
трубы, |
|||||
Ap/L |
— перепад |
давления. |
|
|
|
|
|
|
б) Распространение тепла в бесконечном цилиндре |
|
|||||||
|
|
_дТ__а__а_ |
дг Г |
дТ |
|
|
||
|
|
dt |
~ |
г |
дг ' |
|
|
где Т — температура, г — радиальная координата, а — постоянная.
в) Теплопередача в аппарате с рубашкой
|
|
|
g = |
UA |
AT, |
|
|
где q — тепловой поток, |
U — постоянная, |
А — площадь поверх |
|||||
ности теплообмена, AT — разность температур. |
|||||||
1.2. Какого типа модель (с распределенными или сосредоточен |
|||||||
ными |
параметрами) |
применяется в |
следующих случаях? |
||||
а) |
Теплообмен в |
потоке |
|
, |
|
|
|
|
|
дТ |
, |
дТ |
|
. |
„ |
б) |
Массообмен в емкости |
|
|
|
|
•4^--4- ас = V) (t).