Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

26

Глава 2

кривой в момент времени t =

ty проверяется, выполнено ли условие

X (ti) ^ X. Пусть в момент

времени ty будет

всего пн показаний,

для которых X (ty ) ^ X, а полное число кривых равно N.

В пре­

дельном случае,

когда

N->

оо,

Ясно,

что

величина

Р {х; t) лежит в интер­

вале между 0 и 1. На

фиг.

2.1.2, а

показано

некоторое

распределе­

ние

накопленной

веро­

ятности

для

случая,

когда

оно

является

функцией времени. При­

мер

распределения

на­

копленной

вероятности,

не зависящего от време­

ни,

дан на фиг. 2.2.2, б.

Предположим, что те­

перь исследуются экспе­

риментальные

графики

как

в

момент

времени

t

=

ty,

так

и

в

момент

t

— t2.

Тогда

совместное

распределение

случай­

ных

величин

X

(ty) и

X (t2) можно обозначить

как

Р

(Ху, Х2,

ty,

t2) SI

Ф и г. 2.1.2. Распределения накопленной ве­

=

Р {X

(ty) <

Ху,

а — распределение

роятности .

X(t2)^x2};

(2.1.2)

накопленной вероятности, явля­

ющееся некоторой функцией

времени;

б — распре­

величина

P

(ху,

хг;

ty,

деление накопленной вероятности, не

зависящее от

времени.

t2) называется распре­

делением

накопленной

вероятности

второго

порядка величины X (t),

a

Ху и

х2

пред­

и той же величины,

измеряемой в два разных момента

времени.

С частотной

точки

зрения величина P (Xl,

х2;

ty,

tz)

является

предельным

значением доли совместных

событий

{X

(ty) ^ Ху)

и {X {t2) ^ х2) в двумерном пространстве при N-+-

оо. Если вели-

Распределения

вероятности

и выборочная

статистика

29

р ( я і ; ti)= j р(хи

хг; tu h)dx2.

(2.1.4)

— о о

Величина p (x4 ; ti)

называется маргинальной

(безусловной) плот­

ностью распределения

вероятности;

это плотность распределения

личных случайных величин X (t)

и

Y

(t)

называется двумерным

распределением

и может быть

записано

в

виде

Р (х,

y;t)=P

{X (t) ^х;

Y (t) <

y}

=

X

y

=

j

,J

p (x',

y'; t) dy'

dx'.

(2.1.5)

— o o

— o o

Два

типичных,

не

зависящих

от

времени

двумерных'["рас­

пределения вероятности показаны на фиг. 2.1.4.

условная

плот­

В

последующих

главах будет

использоваться

ность

распределения

вероятности.

Условное

распределение на­

копленной вероятности случайной величины Y,

получающееся

при условии, что случайная величина X

равна значению х,

дается

выражением

P (у I X =

х) =

lim P (у I x <

X < x +

Ах),

n ,

I V

ч

P(x-\-hx,

у)— Р (х, у)

дР(х,

и)/дх

Р (у \Х = х) = hm рТ I а ; р / t =

Я р

—

•

к

а 1

'

дзс^о Р(х

+ Ах) — Р(х)

дР(х)Ідх

ся дифференцированием P

(у \ X = х)

по у:

р(у\Х

= х) =

Р

^ .

(2.1.6)

Д л я упрощения записи условную

плотность

распределения веро-

ч - Ф и г . 2.1.3. Типичные

диаграммы процессов

(слева)

и соответствующие

им (не з а в и с я щ и е от времени) плотности распределения

вероятности

(справа).

а — синусоидальная волна

(со случайной начальной фазой

W); б — синусоидальная

волна плюс случайный шум; в — узкополосный случайный

шум; г — широкополосный

случайный шум. (Из работы

[1],

стр.

17, 18.)

,

30

Глава

2

ятности принято

записывать

в

виде

Р {у \ х) =

р

{у \ Х = х).

(2.1.6),

равна

• р (х,

у)

=

р (у

I х)

р

{х),

можно

записать

о о

Р (У) =

j

Р

(У Iх)

Р

(х)

d x -

— о о

условия

X

— х нужно условную

Другими словами, для снятия

Ф и г. 2.1.4. Д в а

не з а в и с я щ и х

от времени

двумерных

распределения .

а — двумерная

плотность

распределения вероятности непрерывных

величин;

б - дву­

мерное распределение вероятности дискретных величин.

плотность

распределения умножить на

плотность

распределения

X и проинтегрировать по всем значениям

X.

Обобщая выражение (2.1.5), можно ввести и-мерное распреде­

ление накопленной вероятности. Изучение п различных

случайных

величин Хі,

Х2,

. . ., Хп

эквивалентно

рассмотрению

одного

тг-мерного

случайного вектора

X = (Xt,

Х2,

• • -,

Хп). Одномер­

ные

переменные

называются

статистически

независимыми

если

1

) Статистическую независимость двух случайных величин можно

и н т е р -

" претировать

следующим образом. Вероятность получения какого - либо

значе ­

н и я

одной

из

величин не д о л ж н а

зависеть от

того, каково

фиксированное

значение другой величины . Известны непрерывные

процессы,

д л я к о т о р ы х

предыдущие

значения

переменных

действительно

в л и я ю т

на следующие

j з н а ч е н и я .