Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 648

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

168

Глава 3

ции при т = 0, г х х

(0).) Основанием для такого предположения

служит то, что было бы весьма удивительно, если бы автокорре­ ляционная функция некоторой нестационарной переменной изме­ нялась во времени для т > 0 и вместе с тем значение г х х (0) оставалось бы постоянным. Использование среднего квадрата резко сокращает объем вычислений. Однако для случая, когда это предположение несправедливо, Бендат и Пирсол [19] предло­

жили следующий метод, который позволяет

обнаружить тренд

в спектральной плотности и, следовательно, в

автокорреляционной

функции:

 

1. В выборочной диаграмме выделяются с смежных частотных интервалов с узкой полосой пропускания.

2.Каждый интервал разбивается на п интервалов равной длительности.

3.Вычисляется среднее значение квадрата для каждого вре­ менного интервала внутри каждого интервала частот, что дает всего сп средних по времени:

(пХ2),

(12Х2),

( 1 п Х 2 )

<2 1 Х2 ), (2 2 Х2 >, . . .,

(ШХ2)

(с1Х2),

(С2Х2), . . .,

(спХ2).

4. Проверяется на тренд временная последовательность в каж­ дом интервале частот; при этом требуется провести с проверок (плюс еще одна для среднего значения). Если хотя бы одна про­ верка дает отрицательный результат, это означает непринятие в целом нулевой гипотезы о стационарности на уровне значимости (ошибка первого рода) а ' = 1 — (1 — а ) 1 I е . Здесь а — уровень значимости, принятый для одного непараметрического критерия.

Пример 3.7.4.

Критерии стационарности

 

Временная

диаграмма

выхода

некоторого продукта разбита

на десять отрезков;

средний по

времени

выход (в процентах)

на каждом отрезке имеет

следующие значения:

 

Период

Среднее

Период

Среднее

 

по времени

по времени

 

 

 

 

1

36,5

6

32,6

 

2

43,0

7

38,7

 

3

44,5

 

41,7

 

4

38,9

 

41,1

 

5

38,1

10

36,8

Требуется проверить эти данные на стационарность при уровне значимости а == 0,05, используя критерий Вальда — Вольфовитца и критерий инверсии.

Статистический

анализ и его

применения

Решение

К р и т е р и й В а л ь д а — В о л ь ф о в и т ц а . Рассмот­ рев эту последовательность, находим, что медиана для десяти значений равна Ѵ2 (38,7 + 38,9) = 38,8. Значениям, превышаю­ щим 38,8, приписываем знак + , а значениям ниже 38,8 знак —, что дает следующую структуру:

- I + + + !

 

I + + I -

 

Всего здесь пять

серий

и

=

пг = 5. Д л я а =

0,05 из

табл. В.7 имеем £/і+ _а /2

= 2 и

Ua/2 =

9; следовательно,

гипотеза,

утверждающая, что в этих данных отсутствует тренд, прини­ мается.

К р и т е р и й

и н в е р с и й .

Вычислим

статистику / * ,

т. е, число случаев,

когда

за некоторым

числом

следует меньшее

число.

 

 

 

 

 

Значение

и ™

й

Значение

п ™

й

36,5

1

 

32,6

0

 

43.0

7

 

38,7

1

 

44,5

7

 

41,7

2

 

38,9

4

 

41,1

1

 

38.1

2

 

36,8

0

 

 

Всего 25

 

Из табл. В.9 для а

= 0,05 и п = 10 имеем

=

И и і"£/2 =

= 33; следовательно,

нулевая гипотеза снова принимается.

Д л я обнаружения

стационарности можно

также

образовать

и исследовать последовательность средних значений квадратов. Для данной временной диаграммы нулевая гипотеза принимается

согласно обоим критериям; по этой

причине значения средних

квадратов не табулируются.

 

3.7.5. Критерии

случайности

Непараметрические критерии, описанные выше как критерии стационарности, в действительности служат также и критериями случайности; исключения составляют лишь возможные периоди­ ческие компоненты. Если отрезки временных диаграмм прошли проверку на стационарность, то периодические компоненты, не замеченные при визуальном осмотре временной диаграммы или с помощью критерия стационарности, проще всего обнаружить, рассматривая среднюю по времени спектральную плотность или автокорреляционную функцию (определенную в разд. 12.3.3). Так как синусоидальная волна имеет автокорреляционную функ­ цию, не равную нулю при всех значениях т в отличие от случай­ ных данных, для которых г х х (т) ->- 0 при т - > оо (для цх = 0), то можно построить и исследовать график усредненной по времени

170

Глава 3

автокорреляционной функции. В этой связи стоит вспомнить автокорреляционную диаграмму на фиг. 2.2.1. Периодическая компонента в этих данных будет проявляться в виде максимума функции спектральной плотности, особенно если амплитуда перио­ дической компоненты больше, чем соответствующий шум.

3.7.6. Критерии согласия и независимости

Весьма важны критерии, позволяющие проверить, описывают­ ся ли экспериментальные данные нормальным (или любым другим) распределением. Наиболее известным критерием такого рода является критерий у?. Этот критерий приближенный и иногда приводит к ошибочному заключению из-за несоответствия между многочисленными теоретическими требованиями и условиями прак­

тической работы.

Он применяется к пронумерованным

данным,

т. е. к счетному

количеству исходов; таким образом,

прежде

чем применять этот критерий, непрерывные диаграммы необходимо перевести в цифровую форму. Здесь критерий %3 будет рассмотрен применительно к двум важнейшим задачам: 1) проверке согласия и 2) проверке независимости случайных величин.

П р о в е р к а с о г л а с и я . Чтобы описать какую-либо слу­ чайную величину с помощью некоторого выбранного распределе­ ния вероятности, исследователь должен задать вопрос: согла­ суется ли постулированная плотность распределения вероятности с наблюдаемым распределением относительной частоты?

В табл. 2.3.1 приведены среднее значение и дисперсия для мультиномиального распределения взаимно исключающих событий*

% {Xt} = пѲі

(0 < і < к)

Ѵаг {Xi} = ПѲІ (1 -

Ѳ,)

где Ѳг — параметр многочлена, соответствующий мультиномиаль­ ной переменной Xt; Ѳг — вероятность того, что событие і произойдет

Xi раз при п испытаниях, где 2 Х І ~ П- Д л я каждой из случайных переменных можно образовать приближенную нормированную нормально распределенную переменную

Zt= , / г ~ г а Ѳ ^

,

(3.7.13)

 

Ѵ»ѲІ(І-ѲІ)

 

Ѵ

;

которая при больших значениях nQ (1 — Ѳ) распределена при­ близительно по нормальному закону с нулевым средним значением и дисперсией, равной 1. Кроме того, можно составить величину

V

7

2 — "V

\Аі—п\)іУ

ZhI

 

-

h

Zj'nQiii-Qi

 

 

 

 

( Х , - п Ѳ | ) а

Статистический анализ и его применения 171

которая будет

распределена приблизительно

по

закону

%2 с к

степенями свободы,

если

величины

Xt

независимы

друг

от

друга.

По некоторым

причинам,

которые

не

стоит

детально

обсуждать

здесь, оказывается,

что

случайная

переменная

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

£ 2 = Ц

( У і ~ ѳ - Ѳ і ) 2 '

ѵ = к - ^

 

 

( 3 - 7 Л 4 >

 

 

і=1

'

 

 

 

 

 

 

более удобна для использования и лучше описывается ^ - распре ­ делением с v степенями свободы.

Если параметры Ѳг плотности распределения вероятности слу­ чайной переменной неизвестны, так что необходимо использовать их оценки Ѳг, то

h

~ а = у

( * * - " в « ) а ,

v = : k _ i _ g i

( з . 7 Л 5 )

І=І

n Q t

 

 

где число степеней свободы уменьшилось на число связей g, на одну

для каждой оценки. Для выражения (3.7.15) должно

выполняться

одно

ограничение

величина пѲ должна

быть

больше

5; если

оно нарушено, нужно образовывать группы.

 

 

 

Выражение (3.7.15)

можно

переписать

в слегка

измененных

обозначениях

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

? _ 2 * H ^ Î .

 

 

 

(3.7.16)

 

 

 

і = 1

1

 

 

 

 

где nt

— наблюдаемое

число появлений Xt,

а п* — число

появле­

ний Xt, рассчитанное

теоретически на основе

постулированной

плотности распределения вероятности.

 

 

 

 

Согласие можно

определить, вычисляя

%2 по формуле

(3.7.16)

и сравнивая полученное значение с табличным значением %2 для некоторого выбранного уровня значимости а, например а = 0,05. Можно использовать односторонний критерий. Если вычисленное

значение %2 превышает заранее выбранное значение %і-а > т о нулевая гипотеза о том, что два распределения одинаковы, т. е. что экспериментальное распределение относительных частот описы­ вается постулированной плотностью распределения вероятности, отвергается. (Точно так же, если значение %2 оказывается меньше, чем %а> эмпирическое распределение относительной частоты не согласуется с предполагаемой плотностью распределения вероят­ ности.) Критерий согласия %2 следует использовать с осторожно­ стью и дополнять другими критериями, так как он по существу является приближенным критерием. Однако этот критерий, безу­ словно, весьма удобен. Если это необходимо, более строгий анализ

Смотрите также файлы