Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 647

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

172

Глава 3

можно провести, используя непосредственно мультиномиальное распределение вероятности. С широким применением этого крите­ рия можно ознакомиться по работе [20].

Пример 3.7.5. Критерий %2

Резина, полученная на регенерационной фабрике, распреде­ ляется по сортам А, В, С и D. Предыдущий опыт показал, что распределение продукции по сортам было таково: А, 53,4%; В, 26,6%; С, 13,3%; D, 6,7%. В последнюю неделю получена серия:

Сорт Партия

А340

В130

С

100

D

30

Изменилось ли распределение продукции?

Решение

Метод решения состоит в том, чтобы протабулировать наблю­ даемые частоты nt и рассчитать теоретические частоты п*, основы­ ваясь на том, чтобы полная их сумма равнялась сумме наблю-

 

Наблюдае­

Теоретиче­

 

Сорт

мая частота

ская частота

*

 

п і

" Î

 

 

 

Щ

А

340

320

400

320

 

 

 

В

130

160

900

160

 

 

 

С

100

80

400

80

 

 

 

D

30

40

100

4

 

 

 

Сумма

600

600

14,4

даемых частот. Число

степеней свободы равно ѵ — к — 1 — g =

= 4 — 1 = 3 (g = 0, так как частоты, п* вычисляются по изве­

стной плотности распределения вероятности). Из табл. В.2

нахо­

дим, что для V = 3 и, например, вероятности, равной 0,95,

%2 =

= 7,81. Безусловно, 14,4 больше, чем 7,81; даже

для Р — 0,99

имеем % і - а = 11,34. Следует предположить, что в

процессе

про­

изошли изменения.

 

 

Статистический

анализ и его

применения

173

Пример 3.7.6. Получение случайных чисел

Метод получения случайных чисел был применен 250 раз; были получены следующие результаты:

Пи*пя

Частота

ПиДта

Частота

цифра

появления

Цифра

появления

0

27

5

23

1

18

6

28

2

23

7

25

3

31

8

22

4

21

9

32

Действительно ли этим методом получаются случайные

числа?

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно,

если наблюдаемые

цифры

являются

случайны­

ми, то каждая цифра должна появляться

с вероятностью 0,1,

так что теоретическое число появлений (из 250) должно

равнять­

ся

25.

Вычисляем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

{nj-nf}2

_

(27-25)2 ,

(18-25)2 ,

,

(32-25)2 _ 7

0

 

Z j

n*

—

25

~г

25

 

 

25

—

'

 

 

І=І

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

число степеней

свободы ѵ = к — 1 = 1 0

— 1 = 9 . Дл я ѵ = 9

из

табл. В2 находим, что для а

= 0,10

величина

%і-а = 14,68,

что явно больше, чем 7,2; следовательно, можно принять

гипотезу

о

том,

что эти

цифры

случайны.

 

 

 

 

 

Пример 3.7.7.

Проверка

предполагаемых

распределений

 

 

Неисправности некоторых узлов ракеты были протабулирова-

ны Коннором

[21], как показано

в столбцах 1 и 2 табл. П.3.7.7.

С наблюдаемым распределением относительной частоты сравни­ вались два распределения вероятности для того, чтобы: 1) объеди­ нить все данные в одну простую функцию с одним или двумя

коэффициентами,

содержащую всю известную

информацию,

и 2) попытаться

понять причины, вызывающие

неисправности.

Оценка среднего значения экспериментальных данных была введе­ на в качестве единственного параметра в распределение вероят­ ности Пуассона (табл. 2.3.1) и вероятность каждого события (числа

неисправностей) была рассчитана и затем умножена на

полное

число неисправностей 473,

чтобы получить

предсказанное рас­

пределение,

представленное

в третьем столбце табл.

П.3.7.7.

При сравнении значения

17,2 с %і-а = 9,21 из табл. В.2 (для

а = 0,01 и

V = к — 1 — g

= 4 — 1 — 1 = 2 )

хорошего

согла­

сия не было обнаружено. Заметим, что группы с объемом меньше 5 должны быть объединены так, чтобы к = 4. Однако тот же крите-

174

Глава 3

 

 

 

 

Таблица

П.3.7.7

 

Наблю­

 

Отрица­

 

Распре­

тельное

Число неисправностей

даемое

бино­

распреде­

деление

миальное

 

ление

Пуассона

распре­

 

 

 

деление

0

331

317

333

1

104

127

100

2

27

25

29

3

8

3

8

4

1

1

2

5

2

0

1

Сумма

 

473

473

473

2 j

nf

 

17,2

0,31

i = l

 

 

 

 

Xo2,99 из

табл. B.2

 

9,21

6,63

рий для отрицательного биномиального распределения вероят­ ности

р(х)=і[

.

] Ѳ ' ( 1 - Ѳ ) \

 

 

і = і,2, . . . ; г—положительное число, 0 < Ѳ « < 1 ,

указывает на неплохое согласие. Это распределение содержит два

коэффициента г и Ѳ, которые необходимо

оценить, так

что ѵ =

— 4 — 1

— 2 = 1. К а к

распределение Пуассона, так

и

отрица­

тельное

биномиальное

распределение имеют одно и то же среднее

значение

пѲ, но дисперсия распределения

Пуассона

равна пѲ,

а для отрицательного

биномиального распределения

она равна

пѲ/Ѳ = п; таким образом, последнее распределение более раз­ мыто, как и требуется. Целесообразность принятия гипотезы об отрицательном биномиальном распределении и ее следствия обсуждаются в оригинальной работе Коннора.

Вторым способом проверки согласия, который будет лишь упомянут здесь, является критерий Колмогорова — Смирнова. Этот критерий отвечает на вопрос, описывается ли распределение накопленной относительной частоты некоторым распределением накопленной вероятности. Если предполагается, что случайная величина имеет распределение накопленной вероятности Р0 (х), a S (х) — наблюдаемое эмпирическое распределение накопленной относительной частоты, то распределение D = max | Ро (х) —

Статистический анализ

и его

применения

175

— S (х) I можно считать известным [22—24] и использовать в кри­

териях согласия.

 

 

 

 

 

П р о в е р к а

н е з а в и с и м о с т и

п е р е м е н н ы х .

Предположим, что было проведено

п

пар

экспериментальных

измерений двух предположительно независимых (в статистическом смысле) величин. Если п пар данных классифицировать по какимнибудь качественным или количественным признакам этих двух величин, то можно использовать критерий %2 для проверки их предполагаемой независимости. Нулевая гипотеза состоит в том, что величины независимы.

Классифи ­ к а ц и я в е л и ­ чины X

 

 

 

 

 

Таблица

3.7.1

К л а с с и ф и к а ц и я

по двум

 

п р и з н а к а м 1 )

 

Классификация

величины Y

 

 

 

 

 

 

 

Сумма по

 

 

 

 

 

строке

 

 

 

 

 

p

 

 

Уі

Уг

•

••УР

.2

 

 

 

 

 

 

 

 

J =

1

 

fil

/і2 •

• fip

/1.

 

fzl

/22

•

• Іър

/2.

 

хт

/ml /тп2 •

• fmp

Іт.

 

Сумма по

 

 

 

 

 

 

столбцу

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

n

 

2

f.i

f.г

•

•f.p

 

 

 

f = 1

1) Точка в индексе обозначает суммирование по переменной, которую она заменяет.

Рассмотрим классификацию согласно табл. 3.7.1, в которой записано число исходов для каждой ячейки; — число появле­ ний пары ХІ, т. е. некоторой группы из X и Y. Обозначим вероятность получить число отсчетов ftj через ѲІ7-, а ее оценку через Ѳ^. Тогда можно образовать величину

m р

S S ( /

' Y X M 2

^ X A ,

ѵ = тр-1.

(3.7.17)

І=І 5=1

'

 

 

 

176 Глава 3

Л е в ая часть этого равенства распределена приблизительно по закону %2.

Если р [ХІ) р (у}) = р (ХІ, у}),

так что случайные величины X

и Y независимы и, следовательно, ѲгѲ,- = Ѳ^, то можно оценить

ßt, Qj следующим образом:

 

й . ~

Iii.

J

так что

n

n.J.

(3.7.18)

f i « - V - -

Подстановка равенства (3.7.18) в соотношение

(3.7 17) дает

величину

 

X 2 = • 2 І 2 1 / " 7 , УР - '2 2 ( 1 Г ^ - І ) - ( З - 7 . « » -

j=l j=i ' i=i j=i г

распределенную приблизительно по -закону %2 с ѵ степенями свободы. При определении /| . и было наложено m - j - р — 1 связей, так что

V = тр — (т -f- р — 1) = тр — m — р + 1.

Число степеней свободы выражения (3.7.19) можно найти дру­ гим способом, замечая, что в классификационной таблице суммы, записанные в последнем столбце, должны складываться до п = = тр, так что число степеней свободы уменьшается на единицу для каждого случая, т. е.

(m — 1) (р — 1) = тр — m — р + 1.

В третьем способе получения ѵ учитывается, что для Ѳг оценива-

т

лись m параметров, но в силу 2 Ѳ; = 1 только m — 1 этих оценок

г=1

независимы. Аналогично при оценивании Ѳ7- остается только р — 1

степеней

свободы. Следовательно, всего будет

 

 

( т р _ 1) _ ( т _ 1) _ (р _ i ) =

( щ _ 1) (р _ 1)

 

 

степеней

свободы, как и выше.

 

 

 

 

Если

величина %2, вычисленная по формуле (3.7.19),

окажется

больше, чем величина

%2, найденная из таблицы для выбранного

уровня

значимости, то исследуемые

величины не являются

неза­

висимыми. В каждой

ячейке

должно

быть по крайней

мере

пять

отсчетов; в противном

случае

ячейки

необходимо объединить.

Смотрите также файлы