Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

ибо после преобразования к новой зависимой переменной будет добавляться уже не e, а некоторая сложная функция ошибки. Например, если в модели, описываемой уравнением (4) табл. 4.1.1, наблюдаемая зависимая переменная имеет вид

так как логарифм правой части равенства (4.1.1) не равен правой части равенства (4.1.2). В некоторых случаях реальная ситуация может описываться уравнением (4.1.1), и тогда необходимо нелиней­ ное оценивание коэффициентов а и ß. В других случаях в зависимо­ сти от деталей эксперимента более корректным оказывается урав­ нение (4.1.2). Еще раз этот вопрос будет обсуждаться в разд. 6.5 после рассмотрения нелинейных моделей. В этой главе достаточно предположить, что исследуемая функция линейна по параметрам.

Пример 4.1.1. Определение формы функциональной зависимости

ся найти подходящее функциональное выражение для зависимости

Y от x.

зительно постоянно, эту модель можно использовать для подгонки экспериментальных данных. Она обеспечивает лучшую подгонку,

Н А И М Е Н Ь Ш И Х К В А Д Р А Т О В

После того как выбрана функциональная форма эмпирической модели, можно должным образом спланировать эксперимент (об­ суждается в гл. 8) для сбора опытных данных и затем оценить пара­ метры модели. Метод оценивания, который используется в этой главе, называется линейным оцениванием или регрессионным ана­ лизом. Исследователь стремится получить в некотором смысле наилучшие оценки параметров модели, и нередко критерий опти­ мальности зависит от характера модели. Сначала будет кратко рассмотрено оценивание параметров линейной (по параметрам) модели в случае, когда плотность распределения вероятности и ее параметры известны, а затем подробно описан метод получения оценок при неизвестной плотности распределения вероятности.

Оптимальную оценку, за исключением некоторых специальных случаев, получить весьма трудно. Если требуется вычислить пара­ метры модели при заданной связи Y = / (X), где Y ж X — случай­ ные величины, и известна совместная плотность распределения вероятности р (х, у), наиболее подходящим критерием оптималь­ ности является оценка минимального среднего значения квадрата отклонения

ОООО

—оо — оо

Функция / (X), реализующая минимум математического ожидания (4.2.1), является условным математическим ожиданием величины Y при заданном значении X, т. е. / (X) = % {Y \ X}, что можно доказать, подставляя соотношение р (х, у) = р (у \ х) р (х) в пра-

Линейные модели с одной переменной 235

вую часть равенства (4.2.1), что дает M i n g {[Y — / (X)]2} =

-{-оо -[-со

Интеграл в квадратных скобках представляет собой момент второго порядка от условной плотности распределения р (у | х),

Подставляя значение ß 0 из уравнения (4.2.3) в соотношение (4.2.2), дифференцируя по ßj и приравнивая результат нулю, получаем

д% {[(y - u . yj - ßj (Х - (х^)р}

Определив значение ßj, можно вычислить из уравнения (4.2.3)

и ß0 -

Теперь допустим, что плотность распределения вероятности р (х, у) неизвестна. Взамен предполагается получить некоторые экс­ периментальные данные и на их основе найти наилучшие оценки параметров некоторой линейной модели. Трудность получения оце­ нок параметров и сложность вычислений существенно зависят от