Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 672
Скачиваний: 2
|
|
|
Статистический |
|
анализ |
и |
его |
применения |
|
|
|
|
225 |
|||
40. Елѵап W . D . , Technometrics, |
5, |
1 (1963). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
41. Roberts S. W . , |
Technometrics, |
8, |
411 |
(1966). |
|
|
|
|
|
|
||||||
42. Jackson |
J. |
E . , |
Technometrics, |
1, |
359 |
(1959). |
|
|
|
|
|
|
||||
43. Hotelling H . , Multivariate Quality |
Control, i n : Techniques |
of Statistical |
||||||||||||||
Analysis, Eisenhart С , Hastay |
M . W . , |
Wallis W . A . , eds., |
McGraw - Hill, |
|||||||||||||
N . Y . , |
1947, pp. 11—84. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Общие |
вопросы |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Anscombe |
Г. J., |
Rejection |
of |
Outliers, |
Technometrics, |
2, |
123 |
(1960). |
||||||||
, Birnbaum A . , Another View |
on the |
Foundation of Statistics, Amer. |
Stat., |
|||||||||||||
p. 17 (Fev. 1962). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Brownlee K . A . , Statistical Theory |
and |
Methodology i n Science and |
Engi |
|||||||||||||
neering, W i l e y , |
N . Y . , 1960. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Cochran W . G., Sampling |
Techniques, |
W i l e y , |
N . Y . , |
1950. |
|
|
||||||||||
David H . A . , Paulson A . S., |
The Performance |
of Several Tests for Outliers, |
||||||||||||||
Biometrika, |
52, |
2129 |
(1965). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dixon W . J., Rejection of |
Observations, |
i n : Contribution |
to |
Order Sta |
||||||||||||
tistics, Sarhan A . E., Greenberg B . G., |
eds., |
W i l e y , N . Y . , 1962, |
pp. |
299—342. |
||||||||||||
Fraser D . A . S., |
Nonparametric |
Methods |
i n Statistics, W i l e y , |
N . Y . , 1957. |
||||||||||||
Gumbel E. J., Statistics of |
Extremes, Columbia Univ . Press, |
N . Y . , 1958. |
||||||||||||||
Haid A . , Statistical Theory |
w i t h Engineering |
Applications, W i l e y , |
N . Y . , |
|||||||||||||
1952. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Johnson N . L . , Leone F. C , |
Statistics |
and Experimental |
Design |
i n |
Engi |
|||||||||||
neering and the Physical Sciences, |
W i l e y , |
N . Y . , 1964. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Kendall M . G., Rank Correlation |
Methods, |
2nd |
ed., |
Griffin, |
London, |
|||||||||||
1955. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lehmann |
E. L . , Testing Statistical |
Hypotheses, W i l e y , |
N . Y . , 1959; есть |
русский перевод: Леман Э., Проверка статистических гипотез, изд-во «Наука», 1964.
Mendenhai W - , A Bibliography of Life Testing |
and Related |
Topics, Bio- |
|||
metrika, 45, |
521 (1958). |
|
|
|
|
Thrall |
R. M . , Coombs С. H . , Davis R. |
L . , Decision Processes, |
W i l e y , |
||
N . Y . , 1954. |
|
|
|
|
|
Wald A . , Statistical Decision Functions, |
W i l e y , |
N . Y . , 1950; |
есть |
русский |
перевод: Вальд А., Статистические решающие функции, в книге «Позицион ные игры», изд-во «Наука», 1967.
|
W i l k s |
S. |
S., |
Mathematical |
Statistics, W i l e y , |
N . Y . , 1963. |
||||||||
|
Woodward R. H . , Goldsmith P. L . , Cumulative Sum |
Techniques, Oliver |
||||||||||||
and |
Boyd, |
Edinburgh, |
1964. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Оценки Байеса > |
|
|
|
||||
|
Gupta |
S. |
S., |
Soebel M . , Biometrika, |
49, |
495 |
(1962). |
|
|
|||||
|
Guttman I . , Ann. Inst. |
Stat. |
Math., |
13, |
9 (1961). |
|
|
|||||||
|
Jeffreys |
H . , Theory of Probability, 3rd ed., |
Clarendon |
Press, Oxford, 1961. |
||||||||||
|
Raiffa |
H . , Schlaifer, |
Applied Decision Theory, |
Harvard U n i v . Press, 1961. |
||||||||||
|
Savage |
L . J., Foundations |
of |
Statistics, |
W i l e y , N . Y . , |
1954. |
||||||||
|
Tiao G. |
C , |
Zellner A . , |
Biometrika, |
51, |
219 |
(1964). |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Исключение |
выбросов |
|
|
|
||||
|
Bross I . D . J., Outliers |
i n |
Patterned |
Experiments — A |
Strategic Apprai |
|||||||||
sal, |
Technometrics, |
3, |
91 |
(1961). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
David H . A . , Paulson A . S., The Performance of Several Tests for Outliers, |
|||||||||||||
Biometrika, |
52, 42a |
(1965). |
|
|
|
|
|
|
|
|
226 |
|
|
|
Глава |
3 |
|
|
|
|
|
Ferguson T . S., |
Rules for the Rejection of Outliers, Rev. |
Inst. |
Instl. |
Statis- |
||||||
que, 29, 23 (1961). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ferguson T. S., |
On the Rejection |
of Outliers, i n : Proceed. Fourth. Berkeley |
||||||||
Symp. Math . Statis. |
and Prob., Neyman |
J., ed., V o l . 1, p. 253, Univ . of Calif. |
||||||||
Press, |
Berkeley, |
1961. |
|
|
|
|
|
Ann. |
||
Grubbs F. G., |
Sample Griteria for Testing Outlying Observations, |
|||||||||
Math. |
Stat., |
21, |
27 |
(1950). |
|
|
Ind. Qual. |
Control, |
|
|
Proscham |
F., Testing Suspected |
Observations, |
13, |
|||||||
14 (1957). |
|
|
|
Analysis, Ann. |
Math. |
Stat., |
|
|
||
Tukey J. W . , The Future of Data |
33, 1 (1962). |
Контрольные к а р т ы процесса
Aroian L . A . , Levene H . , The Effectiveness of Quality Control Charts,
J.Amer. Stat. Assn., 45. 550 (1950).
Soc, |
Barnard G. A . , Cumulative Charts |
and |
|
Stochastic Process, |
J. |
Royal |
Stat. |
||||||||||||||||||
B21 (1959). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Duncan A . J., The Economic |
Design of X Charts Maintain Current |
Cont |
||||||||||||||||||||||
rol of a Process, J. |
Amer. |
Stat. |
Assn., |
51, |
228 |
|
(1956). |
Technometrics, |
|
||||||||||||||||
|
Ewan W . D . , When and how to use Cu-Sum |
Chart, |
5, 1 |
||||||||||||||||||||||
(1963). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Goldsmith P. L . , |
W h i t f i e l d |
H . , Average Run Lenghts |
i n |
Cumulative |
||||||||||||||||||||
Chart |
Quality |
Control |
Schemes, |
Technometrics, |
3, |
11 (1961). |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Ireson W . G-, Resnikoff G. J., Smith В . E . , Statistical |
Tolerance |
Limits |
||||||||||||||||||||||
for Determining Process Capability, J. |
Ind. |
Eng., |
|
12, 126 |
(1961). |
|
|
||||||||||||||||||
|
Johnson N . L . , Leone F. C., Cumulative Sum Control Charts, Ind. Qual. |
||||||||||||||||||||||||
Control, |
18, |
12. |
15 |
(1961); |
19, |
1, |
29 |
(1962); |
19, |
2, |
22 |
(1962). |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Kemp K . W . , The Average Run Length of the Cumulative Sum Charts |
||||||||||||||||||||||||
when a V-mask is used, |
J. |
Royal |
Stat. |
|
Soc, |
|
B23, |
149 (1961). |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Mitra S. К . , Tables for Tolerance |
|
L i m i t s |
for |
a |
Normal |
Population |
Based |
|||||||||||||||||
on Sample Mean and Range or Mean Range, |
|
|
Amer. |
Stat. |
Assn., |
52, 88 (1957). |
|||||||||||||||||||
|
Page E. S., Cumulative Sum |
Control |
Charts, |
|
Technometrics, |
3, |
1 (1961). |
||||||||||||||||||
|
Page E. S., |
Controlling the Standard |
Deviation by Cusums and |
Warning |
|||||||||||||||||||||
Lines, |
Technometrics, |
5, |
307 |
(1963). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Patnaik P. В . , |
The |
Use |
of Mean |
Range |
as |
an |
Estimator |
of |
Variance in |
|||||||||||||||
Statistical Tests, Biometrika, |
37, |
78 |
(1950). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Woodward R. H . , Goldsmith |
P. L . , Cumulative |
Sum |
Techniques, |
Oliver |
||||||||||||||||||||
and |
Boyd, |
Edinburgh, |
1964. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть II
ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ЭМПИРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Как указывалось в гл. 1, существуют три основных типа моде лей: 1) модели, основанные на принципах явлений переноса, 2) мо дели, основанные на балансе различных величин, и 3) эмпириче ские модели. Так как многие процессы нельзя удовлетворительно описать моделями первых двух типов из-за недостаточно ясного понимания самих процессов или вследствие их сложности, вместо них используют эмпирические модели. Типичным примером такой ситуации является подгонка экспериментальных данных с помо щью полиномов или других подобных функций, чтобы можно было предсказать, как влияет на ход процесса изменение одной или нескольких независимых переменных. Конечно, эмпирические модели, используемые для описания процессов, имеют ограничен ную ценность в тех случаях, когда исследователь хочет проверить какую-либо теорию или предсказать поведение системы вне обла сти изменения переменных, для которой получены эксперименталь ные данные, использованные при построении модели.
Вопросы построения и интерпретации эмпирических моделей составляют основное содержание части I I этой книги. Ведущим принципом, которым следует руководствоваться при сборе экспе риментальных данных и построении моделей, этих двух взаимосвя занных видах деятельности, лежащих в основе описания, объясне ния и предсказания процессов и явлений, является статистика.
Глава 4
Л И Н Е Й Н Ы Е МОДЕЛИ С ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ П Е Р Е М Е Н Н О Й
Эмпирический подход к построению моделей необходим тогда, когда важнейшие переменные, описывающие процесс, известны заранее или уже найдены, а сама модель процесса еще неизвестна. Построение эмпирической модели некоторого непрерывного про цесса предполагает выбор некоторой модели, проведение экспери ментов для сбора опытных данных, «подгонку» модели, т. е. вычис ление коэффициентов (параметров) модели и оценку результатов.
228 Глава 4
В гл. 8 подробно описан порядок построения моделей. В этой главе будет рассмотрен лишь один из этапов построения моделей, а именно вычисление коэффициентов линейных моделей, а также некоторые смежные вопросы, такие, как оценка доверительных областей (доверительное оценивание) и проверка гипотез. Изуче ние этих вопросов удобно начать с рассмотрения линейной модели, содержащей два коэффициента, но лишь одну независимую пере менную, т] = ее + ßx, что позволяет отложить до гл. 5 использова ние матричных обозначений и продемонстрировать на двумерном случае некоторые существенные моменты, которые нелегко отобра зить графически для более сложных моделей. К тому же это дает возможность читателю с карандашом в руках проверить все расче
ты, сделанные в примерах; для моделей со многими |
переменны |
|
ми почти необходимо обращаться к цифровым |
вычислительным |
|
машинам. |
|
|
Говоря о линейности модели, можно отнести |
этот |
термин как |
к независимым переменным модели, так и к ее параметрам (коэф фициентам). В этой главе под линейной моделью понимается мо дель, представляющая собой линейную комбинацию параметров. Независимыми переменными называются величины, которые экс периментатор может изменять по своему усмотрению. От них не требуется, чтобы они были функционально независимы в мате матическом смысле или ортогональны (как в гл. 8). Например,
типично линейной моделью |
является |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Л = ßo + ß A + ß2 ^2 + |
• • • + |
|
ßpxp, |
|
||||||||||
где т] — зависимая переменная |
(отклик), |
|
xt |
— независимые пере |
||||||||||||
менные, a ßj |
— параметры |
модели |
(коэффициенты). |
Независимые |
||||||||||||
переменные |
могут |
нелинейно |
входить |
в |
модель, |
например |
||||||||||
|
|
т] = |
|
ß 0 |
+ |
ß A |
+ ß2 a-» |
+ . . |
. |
+ |
ßpxf, |
|
||||
которая, однако, по параметрам линейна. |
|
|
|
|||||||||||||
Примеры других |
моделей: |
|
|
|
|
х: |
|
|
|
|
|
|||||
1. Линейная |
по ß, нелинейная |
по |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Ц = |
ßo |
+ |
|
ß l ^ l |
+ |
ß2^2 + |
$3Х1Х2 |
|
+ |
ß4 |
In |
Xi. |
|||
2. |
Линейная по x, |
|
нелинейная по ß: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
"»1 = |
ßo + |
ßlßzxl |
+ |
ß l ^ 2 |
+ |
ß 2 # 3 - |
|
|
|||||
3. |
Нелинейные |
по |
x и |
ß: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л = Vßo + ßiZl + ß2 ^2-
Линейные модели с одной переменной 229
Общая форма линейной модели в используемом здесь смысле
такова: |
|
Ц = ßo/o (Хи Х2, • • •) + ßifl {хи х2, . . . ) + • • • |
, |
где fi — некоторые известные функции. Ясно, что функция |
откли |
ка будет линейна по параметрам, если частные производные пер вого порядка по каждому из параметров не зависят ни от одного из параметров.
Так как при построении моделей наибольшую трудность пред ставляет выбор подходящей исходной формы модели, целесообраз но прежде всего обсудить, каким образом можно сделать этот выбор для модели с одной независимой переменной. Затем будет показано, как оценивать параметры в линейной модели и = = а + ßx.
4 . 1 . В Ы Б О Р Ф О Р М Ы Ф У Н К Ц И О Н А Л Ь Н О Й З А В И С И М О С Т И
Пусть известен ряд данных, представляющих одну зависимую и одну независимую переменные, и требуется определить, какова функциональная связь между ними. Универсального способа реше ния этой задачи не существует. Если экспериментальные данные, нанесенные на равномасштабную диаграммную бумагу, не аппро ксимируются прямой линией у = а + Ъх, где у — измеряемая зависимая переменная, но приблизительно укладываются на неко торую гладкую кривую, то форма этой кривой и (или) понимание сущности эксперимента могут подсказать аналитический вид кри вой, наиболее хорошо согласующейся с экспериментальными точ ками. Хорошим способом проверки согласованности выбранного уравнения кривой с экспериментальными данными является пре образование переменных к линейной форме с тем, чтобы на графике получилась прямая линия у' = а' + Ъ'х'. В табл. 4.1.1 представ лено несколько примеров возможных преобразований к прямой. На семействе графиков фиг. 4.1.1 можно проследить влияние изменения коэффициентов в уравнениях, приведенных в этой таб лице, на форму кривых. В литературе к этой главе можно найти числовые примеры и более подробное объяснение способов преоб разования. (Существует специальная диаграммная бумага для осуществления преобразований к логарифму, квадратному корню, обратной величине и т. п.)
Если с помощью какого-нибудь подобного вида преобразования получена прямая линия, то параметры нелинейной модели можно определить, изучая модифицированную линейную модель. При этом, однако, возникает некоторая трудность, если к зависимой переменной добавляется ненаблюдаемая (скрытая) ошибка е,
Y = у + е,
X
Ураснение (4)
3,2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
(5) |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Ф и г . |
4.1.1. Графики к р и в ы х |
(1)—(5) табл . |
4.1.1. |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
= а + ßx; |
|
|
|
У = а + |
^ ; |
|
|
|
X |
= а + ßx; |
|
||||||
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3 |
. |
|
X |
|
|
|
|
|
||
А. |
1 |
= |
_ 0,1 |
+ |
0,3х; |
|
А. |
У = - |
0,1 |
+ |
А. |
= |
- |
0,1 |
+ |
0,3х; |
|||
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
' |
|
У |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
В. |
= |
0,1 + |
0,3х; |
|
Б. |
У = |
|
X |
; |
|
Б . |
У = |
0,1 |
+ |
0,3.x; |
||||
У |
|
|
|
||||||||||||||||
В. |
1 |
= |
- 0,5 + |
0,3х; |
|
В. |
У = 4 |
+ |
^ |
; |
|
В. |
X |
= |
_ |
0,4 + |
0,3х; |
||
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
г/ |
|
|
|
|
|
Г. |
1 |
= |
0,5 + |
0,3*. |
|
Г. |
V = |
|
|
|
|
Г. |
X |
= |
4 + 0,3х. |
||||
|
|
X |
|
|
У |
||||||||||||||
|
У |
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
У— cxxß |
5. |
|
|
і/ |
= aß*; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
А. |
У= |
4x0 |
|
А. |
у |
= 2(0,2)х ; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Б. |
V = |
4x0 ,з. |
|
Б. |
V = 2(0,3)х ; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
В. |
У= |
4 х - 0,3. |
|
В. |
у = 2(0,8)х ; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Г. |
У= |
4х~ 0,5 |
|
Г. |
у = 2(0,95)*; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д. |
у = |
2(1,02)ж; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
» = |
2fl.04^: |
|
|
|
|
|
|