Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 682

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Линейные

модели с одной

переменной

257

ограниченная эллипсом, могут содержать существенно различные значения параметров ß, как показано на фиг. 4.3.3.

Совместную доверительную область для ß 0 и ßi в линейной

модели и = ß 0 + ß t (x — х) можно оценить следующим образом. n

Уже отмечалось, что величина (Ь0—ß0)2 2 Pi распределена по за-

І=І

кону Oy.%2 с одной Доверительныйстепенью свободы, так же как и величина

^интервал для/3,^

 

 

 

 

 

\Доверительный

 

 

 

 

 

 

 

 

интервал для j30

 

 

 

 

 

 

 

 

Граница совместной

 

 

 

 

 

 

 

доверительной

области

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fit

 

 

 

 

Ф и г. 4.3.3. Доверительные

интервалы и совместная доверительная область

 

 

для

модели

т) =

ßö +

 

ßi;r.

 

 

 

 

(by — ß t

) 2 ^ІРІ (ХІ — x)2.

Так как эти величины независимы,

их

 

»=і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сумма тоже распределена по закону сгу.%2 с двумя степенями

сво­

боды:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(bo - ßo) 2

S Pi + (bi-№

S Рі(хі-х)2

 

= ОуХ2,

v = 2.

(4.3.26)

 

i=i

 

i=l

 

 

 

1

 

 

 

 

Выражение (4.3.26) могло бы содержать

смешанное

произведение

2 (Ь0 — ßo) (by — ßi) 2

(^І — х)> однако,

поскольку

2

(%І — х) =

 

 

і=1

 

 

 

 

 

г=1

 

 

= 0 для модели (4.3.1), этот

член

в

соотношениях (4.3.26) —-

(4.3.28)

опускается.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Математическое

ожидание

левой

части

равенства

(4.3.26)

равно tfy.g {%2 (2

степени свободы)} =

2о"у.,

так

что,

умножая

его на Ѵ2 , получаем Oy . Как и раньше,

можно

составить отноше­

ние дисперсий, которое

имеет

^-распределение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• F,

(4.3.27)

258 Глава 4

где число степеней свободы числителя равно 2, а знаменателя —

n

 

2 РІ — 2, если использовать

объединенную оценку о\.. Так как

і=1

1

равенство P{F ^ F^a) = 1 — сс определяет критический уровень,

можно переписать выражение

(4.3.27) в виде

( b o - ß o ) 2 2 P« +

(bi-ßi)a 2p*(^-i)a =

і=1

г=1

 

= 2 4 , ^ 1 - a , ѵ = (2 , 2 P Î - 2 ) . (4.3.28)

Это уравнение эллипса в пространстве параметров, т. е. в коорди­ натах (ß0 , ßi), для 100 (1 — а) %-ной совместной доверительной вероятности. Уравнение (4.3.28) соответствует границе некоторой области (которая сама является случайной), содержащей пара­

метры ß 0 и

ßi со 100 (1 — а) %-ной надежностью.

Отметим, что

этот контур

был получен для модели (4.3.1). Если

бы вместо нее

рассматривалась модель (4.3.2), то, поскольку ßo = ßo — ßi^, контур доверительной области в пространстве (ßo, ßi) можно было бы рассчитать, исходя из выражения (4.3.28) для контура в про­ странстве (ß0 , ßi).

На фиг. 4.3.3 изображена доверительная область для модели т| = ßo -г ßi^'i обе точки А -а. В находятся внутри отдельных дове­ рительных пределов, однако точка В лежит вне совместной дове­ рительной области для а = 0,05. Главные оси эллипса наклонены под некоторым углом к координатным осям ßo и ß 4 , так как оценки Ъ'0 и Ьі коррелированы. В примере 4.3.1 на фиг. П.4.3.16 показан эллиптический контур в пространстве (ß0 , ß4 ), главные оси которо­ го параллельны координатным осям.

На фиг. 4.3.3 изображен лишь один контур, соответствующий а = 0,05. Можно разбить сумму квадратов ф на две части, которые

содержат информацию

о характере

поверхности

суммы

 

квадратов

(суммирование всюду

от і =

1

до

п):

 

 

 

 

Ф = 2 (УІ-ЧІ?РІ

= 2iXi-Yifpi

+ 2 (Yt -тц)2

Pi =

= Фмин+ ( & 0 - ßo)2 2

Pi + (fcl - ßl) 2

2 Pi (Xi-*)*

 

=

= <f>MnH + 2 s y . F l - a =

фмин + 2

^^"2 ^ l - a =

 

 

 

 

=

фм « (l+-^2 / • ! - « ) •

 

(4.3.28a)

Выше предполагалось,

что модель

правильна,

так что

 

величину

sYi можно было заменить на

 

На фиг. 4.3.4 показано

несколько

Линейные

модели с одной

переменной

259

контуров для различных значений а; центры эллипсов соответству­ ют ^мині значения ф возрастают с уменьшением а. Эти контуры

9 Зля ос•=0,50

Ф для ос =0,25 Ф для а=0,10 ФдляоС^ 0,05

Ф и г . 4.3.4. Сечения поверхности сумм квадратов для различных уровней значимости в модели

Ц = ßö + ßi*-

fit

представляют собой проекции сечений «квадратичной» поверх­ ности, обозначенной через ф, на плоскость (ß^, ßj).

4.3.5.Оценка обращенного уравнения регрессии

Прежде чем проиллюстрировать на примерах проведенные выше расчеты, обратимся к одному из заключительных вопросов. Если найдена оценка линии регрессии, каким образом по некоторому измеренному значению Y можно предсказать значение переменной: х, не являющейся случайной? Это так называемая обращенная

задача

оценивания. Если в оценку

уравнения регрессии Y =

= b0 +

bi (х — х) подставить некоторое новое измеренное

значе^

ние Y*

(или среднее по измерениям при одном и том же xî)

и раз­

решить относительно х, то получим

 

 

 

X (Y*) = :Y*-b0

•X,

(4.3.29>

где X — случайная переменная, так как Y*, Ь0 и &і — случайные переменные. Вычисляя математическое ожидание от обеих частей равенства (4.3.29), найдем

ч - ßo

•X,

(4.3.30)

ßl

 

 

или

Л — ßo — ßi (H i - х) = 0.

Наконец, если образовать величину

Z = Y* — b0 — bi ( p i - х),

то ее математическое ожидание будет равно

Щ {Z} = n — ß 0 — ßi ( p i - x)t

260 Глава 4

а

дисперсия *) Z

 

 

 

 

 

 

 

Var {Z} = Var {Y*}

4- Var {è0 }

-f- ( u l

-

^ ) 2 Var

{6j}.

Хальд [3] и Браунли

[4] показали, что можно

ввести

і-перемен-

ную, подчиняющуюся

распределению

Стьюдента

 

, _

Z-0

у-Ъо

— Ырх-х)

 

 

 

 

 

sz

 

 

1/2

. Ѵ = 2РІ-2, (4.3.31)

i2=l РІ 21=1 р * ( * * - * ) 2

где s служит оценкой величины V^tfy.. Следовательно, довери­ тельный интервал для \іх оказывается следующим:

Х-г

ь3 - І І - * * І г { ( ^ - +

^р-)

. л..

 

 

 

 

 

 

 

 

[X(Y*) — x ]

2а

"> 1 / 2

 

u.£<:r

 

 

 

 

 

• * 1

 

у

 

 

 

 

 

 

-ж)2

і

 

 

 

 

 

 

 

2

p; ( ^ І — ^ ) 2

 

 

 

 

 

 

 

- « 1 - . / 2 f

{ ( - + - - )

 

£ • + ^ (

У * } - ?

1 ( 4 . 3 . 3 2 )

где

 

&2 \ѵ™

2РІ'

 

 

2РІ(Ж І—^)2 J

 

 

а /

 

g 21

 

 

 

 

 

 

* l - g / 2

 

, 7 =

2, 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ьі

2

 

 

РІ(ХІ—Х)2

 

 

Крючкоф [5] обратил внимание на предложение

Эйзенхарта

16]

записывать

обращенную

модель

(4.3.2)

в виде

 

или

при п = У — е

 

X

= 'ßi

 

ßi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X = y + oY + e',

 

(4.3.33)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ßi

V

 

ßi '

~~

 

 

Оценки параметров у и ô по методу наименьших квадратов равны соответственно

 

n

 

 

 

d = ô

i=l

x

x

){Yi-Y)

2

Pi(

i-

 

2

Pi(yi-Y)2

 

1=1

 

 

 

 

с = Y =

x—dY

 

 

*) Это

соотношение

справедливо л и ш ь при

условии, что случайные

величины

У*, Ь0 и bt

не к о р р е л и р о в а н ы . — Прим.

ред.

Смотрите также файлы