Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

где x служит оценкой величины х, соответствующей заданному измерению величины У. Крючкоф считает, что метод обращения Эйзенхарта для оценивания величины х по данному значению Y*

. является более удовлетворительным.

Пример 4.3.1 (продолжение)

Доверительный интервал для ß^ вычисляется с помощью выра­ жения (4.3.18), и соотношение для Ь'0, аналогичное неравенству (4.3.20) (t = 2,306 для объединенной дисперсии с 3 + 5 = 8 степенями свободы), имеет вид

10,26 - 2,306-(0,825)1/2<ß;< ю,26 + 2,306-(0,82s)1 /2 ,

8 , 1 6 < ß ; < 12,36.

Подобным образом из неравенства (4.3.20) получаем доверитель­ ный интервал для ß 0

14,99 < ß 0 < 16,77.

Из неравенства (4.3.22) следует доверительный интервал для ßj: 0,1874 - 2,306 (7,5 - Ю - 4 ) 1 / 2 < ß t < 0,1874 + 2,306 (7,5-Ю"4 )*/2 , 0,124 < ß f < 0,251.

Заметим, что истинные значения ß^ и ß t (которые в данном случае известны) попадают внутрь доверительного интервала. Наконец, доверительный интервал для ті получается из неравенства (4.3.24):

Y - 2,306 sY < Tj < Y + 2,306 sf.

Дл я построения графика можно вычислить доверительные пределы

ввыбранных точках:

На фиг. П.4.3.1а нанесены значения У, и сравниваются между собой предполагаемая модель и линия регрессии, которая эту модель оценивает.

На фиг. П.4.3.16 изображена совместная доверительная область для ß 0 и ßi, определяемая уравнением (4.3.28). Отметим, что главные оси эллипса параллельны координатным осям, а оценки

Ь0 и &! попадают внутрь эллипса. Напротив, эллипс, ограничиваю­ щий совместную доверительную область для ßo и ßt , повернут отно­ сительно осей координат; кроме того, очевидно различие между совместной доверительной областью и отдельными доверитель­ ными интервалами, вычисленными для ß0 , ßt и ß0 .

Дисперсионный анализ по образцу табл. 4.3.3 приведен в табл. П.4.3.1в.

Вводя оценку дисперсии Ь4 , основанную на выражении (4.3.11), получим

4 V «ы '

Так как переменная F [1, (и — 2)] точно равна квадрату t [п — 2],

В качестве иллюстрации можно также проверить гипотезу о том, что ßj = 0,150, применяя ^-критерий:

Эту гипотезу следует принять, так как 1,37 < 2,306. Можно было бы выдвинуть и проверить и другие гипотезы как для ßg и ßi по отдельности, так и для обоих параметров вместе.

Пример 4.3.2. Простая линейная регрессия

В этом примере проводится анализ реальных эксперименталь­ ных данных (приведенных в табл. П.4.3.2а), которые собирались для обнаружения связи между показаниями х поплавкового рас­ ходомера и скоростью потока Y. Показания расходомера можно было отмечать с большой точностью и стабильно поддерживать на заданном уровне, так что х вполне можно считать детерминиро­ ванной переменной.

Решение

Этот пример отличается от предыдущего тем, что основан на подлинных экспериментальных данных, и тем, что никаких повторных измерений не производилось. По этой причине нельзя

Ф и г . П . 4 . 3 . 2 . Оценка линии регрессии, доверительные пределы и экспе­ риментальные данные.

" • экспериментальные данные", оценка линии регрессии;

— — — геометрическое место доверительных пределов для г\ (а = 0,05).

использовать F-критерий, чтобы определить, является ли прямая линия подходящей моделью"для подгонки экспериментальных дан­ ных. Однако эти данные можно нанести на график и визуально оце­ нить пригодность линейной модели, как показано на фиг. П.4.3.2