Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 686

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

,266

 

Глава 4

 

Предварительно сделаем следующие вычисления (не все из них

необходимы в данной расчетной

схеме;

суммирование проводится

от і = 1 до 16, так как п = 16, a pt = 1):

* = § £ і = І ^ = = 2,8156,

 

2 х\ = 140,454,

V

SYi

 

3776

„ o f i

 

-1^)1

= 126,844,

 

 

=

1,1707.10»,

2 ( Ж і - х ) 2 = 2

 

 

хі-Щ^-=із,біо,

 

2 У? = 985 740,

2 Yt (xt -~~x) = 2 YiXi

— X 2 Yi = 11707 - 2,8156• 3776 = 1075,

 

(2Yi)

= 8 9 1 1 3 6

 

n

 

 

'

2 (y< - Y)2=2

F * - Щ г ^ - = 9 4 6 0 4 •

Затем можно получить следующие оценки параметров:

у у . _ г>о = - ^ - = К = 236,

Ъ'0 = 13,506,

У1. У ; (ж* — х) 1075

sy. = 26,2

2

2

sbo = ^ r = ü T b 4 2 Ä «85 = 443,0,

Линейные модели с одной переменной 267

 

S b o =

6,41,

 

 

 

 

 

 

 

в* =

21,1,

 

 

 

 

 

 

 

"о

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

'І

 

^87

/

 

 

Оценка уравнения

регрессии имеет вид

 

 

 

У =

236 +

79,02 (ж -'2,816) = 13,51 +

79,02ж,

а доверительные интервалы для ß^, ß 0 , ßi

и и, полученные с помо­

щью статистики іі _«/2

= «0,975 =

2Д45 с 14

степенями свободы,

определяются

неравенствами

 

 

 

 

 

13,51 — 2 , 1 4 5 . 2 1 , l < ß ; <

13,51 + 2,145-21,1,

 

 

— 31,63 <: ßo <

58,65,

 

 

236 — 2,145 - ^ = - < ß

0 < 236 +

2 , 1 4 5 - ^ 4 ,

 

 

 

VÏ6

 

 

 

 

Ѵіб

 

 

 

2 2 2 < ß 0 < 2 5 0 ,

 

 

 

79,02-2,145

 

fiL-

< ßn t

<

79,02 + 2,145

2 6 , 2

 

 

Ѵ із . 61

 

 

'

 

 

Ѵіз.бі

 

 

 

6 3 , 7 8 < ß t <

94,26,

 

 

 

У — 2 , 1 4 5 s y < î i < F + 2,145sy ,

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

1 .

 

i

1 / 2

 

 

 

 

^ = ^ ' L ï 6 +

 

13,61

J

•

 

На фиг. П.4.3.2 представлены оценка уравнения регрессии, геометрическое место доверительных пределов для уровня значи­ мости а = 0,05 и экспериментальные данные. Несмотря на то что многие отдельные экспериментальные точки выходят за 95%-ные доверительные пределы, следует помнить, что доверительные пре­ делы действительны для выборочных средних значений У при заданном ж, а в этом примере не проводилось никаких повторных измерений. По неравенству (4.3.25) можно вычислить доверитель­ ные пределы относительно У, для одного дополнительного измере­ ния У, например при xt = 3,00:

s ^ 2 6 , 2 [ l + l + ' 3 - r o - i ! 6 f 5 6 » 7 ; 2 = 2 7 , 0 3 ,

Yt ± «о,975% = 250,6 ± 2,145-27,03 = 250,6 ± 58,0.

Как видно из чертежа, этот доверительный интервал гораздо шире, чем расстояние между пунктирными линиями.

268

 

 

Глава

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица

П.4.3.26

Набор

 

 

Номер

 

 

 

 

дан­

Y i

 

Y i• — Yi -

дан­

i

 

 

Y i - Y i

ных

 

ных

f l

 

1

103,59+/—

29,14

8,40

9

 

265,58+/—

15,16

—32,58

2

121,76+/—

26,12

—6,76

10

 

257,68+/—

14,66

1,31

3

162,85+/—

19,90

—10,85

И

 

254,52+/—

14,49

32,47

4

178,66+/—

17,88

20,33

12

 

2 5 8 , 4 7 + / -

14,70

—18,47

5

207,10+/—

15,11

- 4 6 , 1 0

13

 

277,43+/—

16,16

3,56

6

1 7 4 , 7 0 + / -

18,36

34,29

14

 

309,83+/—

20,00

1,16

7

229,23+/—

14,11

7,76

15

 

344,60+/—

25,21

47,39

8

253,73+/—

14,46

- 22,7 3

16

 

3 7 6 , 2 1 + / -

30,46

—19,21

Несмотря на то, что повторные измерения отсутствуют, так что нельзя вычислить s| и использовать для проверки пригодности модели, визуальный осмотр чертежа показывает, что линейная

Источник рассеяния

Обусловленный регрессией Ь0:

£>і с поправкой на Ъ^:

Отклонения относительно эмпи ­ рической линии регрессии:

5 >

(Yi-YÙ*

 

Таблица

П.4.3.2в

Сумма

Число

Средний

степеней

квадратов

квадрат

 

свободы

 

891 136

1

891 136

84 988

1

84988

9 616

14

687

Общий

985 740

16

форма модели, по-видимому, является подходящей. Проверку гипотезы ßi = 0 можно осуществить, опираясь на дисперсионный анализ, результаты которого приведены в табл. П.4.3.2в. Отно­ шение дисперсий равно 84988/687 = 123; гипотезу о том, что ß t = 0, очевидно, следует отвергнуть.

Пример 4.3.3. Определение корреляции между опытными данными с помощью анализа размерностей

Роув [7] привел интересный пример, показывающий опасность слепого использования результатов оценивания корреляции меж­ ду опытными данными методом наименьших квадратов. Уста­ новки с псевдоожижженным слоем, вообще говоря, не могут описы-

Линейные модели с одной переменной 269

ваться моделями явлений переноса; таким образом, именно эмпи­ рические модели дают естественный способ выявления функцио­ нальных связей между безразмерными комбинациями переменных (и коэффициентов), которые участвуют в процессах теплообмена, массообмена и переноса импульса в таких установках. Роув с по­ мощью таблицы случайных чисел имитировал 45 наборов экспери­ ментальных данных для значений диаметра частиц d, скорости движения воздуха ѵ, разности температур на теплопередающей поверхности и в слое AT, межфазного коэффициента теплопере­ дачи h в гипотетическом слое диаметром 30 см. Эти переменные вместе с некоторыми физическими величинами — коэффициентом вязкости воздуха и,, плотностью воздуха р, коэффициентом тепло­ проводности воздуха к, теплоемкостью воздуха ср, коэффициентом поверхностного натяжения пузырька воздуха о, коэффициентом расширения ß и ускорением силы тяжести g — были сгруппиро­ ваны в соответствующие безразмерные комплексы.

Далее дается типичное истолкование имитированных данных, подменяющее собой отчет о проделанной работе с реальными экспе­ риментальными данными.

К о р р е л я ц и я

м е ж д у к р и т е р и е м Н у с с е л ь -

т а и к р и т е р и е м

Р е й н о л ь д е а. Сначала была предпри­

нята попытка установить корреляцию между критериями Нуссельта Nu = hd/k и Рейнольдса Re = vdp/ц, которые в логарифмиче­ ском масштабе откладывались по координатным осям, как показано на фиг. П.4.3.3а; по этим данным была проведена прямая lg (Nu) = = lg 0,13 + 0,79 lg (Re). Корреляция оказалась не слишком силь­ ной, хотя найденный показатель степени Re близок к значению 0,8, которое часто встречается в эмпирической корреляционной зависи­

мости между теплопередачей и расходом газа. Пунктирные

линии

определяют

доверительные

пределы при а = 0,05. Можно

пред­

положить,

что появление

некоторых

выбросов

свидетельствует

о том, что аппаратура не всегда работала нормально.

 

К о р р е л я ц и я м е ж д у к р и т е р и е м

С т е н т о н а

и к р и т е р и е м Р е й н о л ь д с а .

Было доказано, что в псев-

доожиженном слое имеет место значительная диссипация импуль­ са; тогда предположили, что могла существовать связь между энергетическими потерями и теплопередачей. Итак, на основании аналогии между трением и теплопередачей в трубах вычислялись значения критерия Стентона St = h/cpvp и откладывались на фиг. П.4.3.36 в зависимости от критерия Рейнольдса. Получилась более явная корреляционная зависимость, чем в предыдущем слу­ чае; можно предложить пользоваться при расчетах приближен­

ной формулой S t = 2,0 Re_ 1 >1 2 , однако ошибки

довольно

велики.

К о р р е л я ц и я

м е ж д у к р и т е р и е м

В е б е р а

и к р и т е р и е м

С т е н т о н а . Критерий

Рейнольдса может

оказаться не самым

лучшим параметром для

описания

явления

Смотрите также файлы