Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 703

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Линейные модели с одной переменной 305

является

случайной

переменной,

получите наилучшие оценки

для а

и

ß, основываясь

на

следующих

данных:

 

 

 

 

Re:

100

100

200

200

300

300

400

400

500

500

 

 

 

Nu:

31

36

39

40

40

 

42

43

45

 

46

49

4.29. Барометрическое давление связано с высотой следующим

соотношением:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

р

— барометрическое

давление

на

высоте z,

р 0

— давление

при

z

=

0,

к — постоянная,

Т

— температура.

При приблизи­

тельно постоянной температуре Т было проведено шесть изме­

рений давления некоторой группой, поднимающейся на гору:

Высота, м

Давление,

 

мм рт. ст.

1000

690

1100

595

1200

504

1400

363

1500

310

1600

267

Каковы наилучшие оценки для к и рй1 Согласуется ли полученная

величина р0 со значением 780

мм рт. ст. на уровне

моря (z = 0)?

Какова совместная доверительная область для к и

р0?

4.30. Точность измерений

величины aàp/n,

приведенных

в задаче 4.22, приблизительно пропорциональна значению ѵ.

Оцените а 0 и ocj в модели задачи 4.22,

используя метод наимень­

ших квадратов

с соответствующими

весами. Как

отражается

эта измененная процедура на оценке доверительного

интервала

величины оАр/п

при ѵ = 1200?

 

 

4.31. Экспериментатор проводит подгонку модели У

= ß# + s,

в которой стандартное отклонение по ансамблю У пропорциональ­

но величине Y. Используя метод взвешенных наименьших квадра­

тов, получите оценку ß, минимизируя выражение

(4.3.3).

4.32. Приведенные ниже данные

нужно рассмотреть

тремя

различными способами:

 

 

 

а) Y — случайная переменная, х

— детерминированная

пере­

менная. Найдите оценку уравнения

регрессии для

модели

Y =

= ßo +

ß i ^ +

Б и оцените доверительный интервал для г\ при ж== 62.

б)

F

— случайная переменная,

х — детерминированная

пере­

менная. Сделайте предсказание о величине X

при измеренном

зна­

чении Y,

равном 150, для модели п. а). Можно ли оценить довери­

тельный

интервал для

X?

 

 

 

 

 

 

в)

Обе переменные X

wY

случайны. Оцените параметры моде­

ли

Y

=

ß 0

+

ß i ^ . Можно

ли

оценить

доверительный интервал

для

Y

при

заданном значении

X;

для

X

при заданном значе­

нии

У?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

306

 

Глава

4

 

 

X или X

У

X или X

У

X или X

У

60

110

62

140

64

145

60

135

62

130

70

170

60

120

62

135

70

185

62

120

64

150

70

160

4.33. Прокомментируйте следующую выдержку [/ . С hem.

Educ,

42,

609 (1965)].

Прав

автор или нет?

 

 

 

«В настоящее время в физической химии органических соеди­

нений обычный

линейный

регрессионный анализ состоит

в том,

что

определяют

регрессию

log к

на а, чтобы получить

уравне­

ние

Гаммета

log к — log к0

per,

где log к0

— отрезок,

отсекае­

мый

линией

регрессии

на

оси ординат, а р

— угловой

коэффи­

циент. Это уравнение используется различными способами;

одним

из них является оценивание новых значений к по соответствую­ щим значениям о, если они известны. В литературе утверждается, что не вышеприведенное уравнение, а, напротив ,уравнение регрес­ сии о на log к следует использовать для оценивания новых значе­ ний о по экспериментальным значениям к. Это предложение пред­ ставляется сомнительным по двум причинам. Во-первых, для многих типов реакций с те- и р-замещенными бензольными произ­ водными очевидно, что имеет место линейная функциональная связь между log к как зависимой переменной и о как независимой переменной. Во-вторых, хотя и имеется неопределенность в значе­ ниях о, она, вообще говоря, меньше, чем в экспериментальных значениях к. По этим причинам уравнение линии регрессии log к на о в одинаковой степени применимо для оценивания новых зна­ чений к по известным значениям а и новых значений а по экспери­

ментальным

значениям

к».

 

 

 

 

 

4.34. Гомогенная реакция

 

первого

порядка для N 2 0 5

должна

описываться

моделью

 

 

 

 

 

 

 

 

I n JL

=

k(t — tn),

 

 

 

Po

 

v

07

 

 

где p — парциальное давление N 2 0 5 ,

p0

— парциальное

давление

при t = t0,

t0 — время

начала

 

отсчета,

а к — постоянная, кото­

рую требуется оценить. Используйте данные Даниельса и Джон­

сона

[22] для оценивания к, учитывая, что значения р

получались

для

одного и того же сосуда

(значение к

находилось

в пределах

от 0,0096 до

0,0078

м ш г 1 ) .

 

 

 

 

Оцените

дисперсию к.

 

 

 

 

 

Время, мин

p N2 05 >

Время,

мин

P N 2 0 5 ,

 

 

 

 

мм рт. ст.

 

 

мм рт. ст.

 

 

 

0

308,2

60

 

186,8

 

 

 

20

254,4

100

 

137,2

 

 

 

30

235,5

140

 

101,4

 

 

 

40

218,2

200

 

63,6

 

 

 

50

202,2

 

 

 

 

Линейные модели с одной переменной 307

4.35. Дл я периодической

реакции,

используемой при получе­

нии этиленгликоля (Э. Г.)

из

окиси

этилена (О. Э.) с подачей

9%-ной.окиси этилена, были

получены следующие данные:

Время пребы­

 

Состав вытекающей смеси

 

 

 

вания

 

О. Э.

э . г .

 

 

31,2

 

1,27

9,53

25,0

 

1,52

9,23

18,7

 

1,93

8,85

12,5

 

2,62

8,03

6,25

 

4,07

6,38

3,12

 

5,62

4,50

Поясните, каким образом можно найти наилучшую линейную связь между содержанием О. Э. и Э. Г., независимой и зависи­ мой переменных соответственно. Сформулируйте все предполо­ жения.

4.36.Примените к данным примеров 4.3.1 и 4.3.2 критерий сериальной корреляции Дарбина — Ватсона. Можно ли изменить процедуру оценивания в этих примерах? Если можно, то каким образом?

4.37.Предполагается, что для следующих данных ненаблюдае­

мые

ошибки в

модели

Y = ß0

РіЖ -f- е коррелированы.

 

Время, ч

Отклик, мВ

 

Время, ч

Отклик, мВ

 

51

 

70

 

 

56

 

31

 

52

 

64

 

 

57

 

44

 

53

 

60

 

 

58

 

38

 

54

 

49

 

 

59

 

34

 

55

 

47

 

 

 

 

 

Оцените $'0 и ßi, предполагая сначала, что ошибки не коррели­

рованы, а затем допуская

корреляцию.

 

Примените критерий сериальной корреляции Дарбина — Ват­

сона. К какому выводу можно прийти?

 

4.38. При калибровке некоторого

измеряющего расход при­

бора,

для которого детерминированное

соотношение между скоро­

стью

V и перепадом

давления

Ар имеет

вид

 

 

V =

с

Ар,

 

с — постоянная,

были

получены

следующие

данные:

 

 

 

и, м/с

Ар, мм рт. СТ.

V, м/с

^р, мм рт. ст.

 

0,927

 

94,2

 

0,761

75,7

 

0,907

 

90,3

 

 

0,644

68,4

 

0,877

 

82,3

 

 

0,508

60,3

 

0,719

 

78,0

 

 

 

 

Можно ли отбросить какое-нибудь измерение как аномальное?

308

Глава 4

4.39. Приведенная

ниже информация предназначается для

того, чтобы подтвердить, что консультативное обслуживание инве­ стирования дает некоторое преимущество. Действительно ли подтверждает это оперативная характеристика ТРО?

1. Согласно выпуску от 20 ноября, 77 акций на бирже «New York Stock Exchange» имели «длительный» ТРО . Это означает, что эти 77 акций обладали краткосрочной формальной устойчивостью, так же как и высоким потенциалом долгосрочной прибыли.

2. Рассчитанное повышение стоимости этих 77 акций за после­ дующие 10 недель было отложено на диаграмме. Каждая точка характеризует повышение стоимости одной из 77 акций. Напри­ мер, 10-долларовая акция с курсовой стоимостью в конце 10-недельного периода в 12 долл. изображалась как 20%-ное повы­ шение стоимости.

Выводы

1. Чем выше 12-месячный потенциал прибыли акций ТРО, тем выше вероятность краткосрочной прибыли. Это иллюстрирует­ ся средней оперативной характеристикой ТРО .

2. Среднее повышение стоимости всех акций оказалось равным 20,5% — на 6,5% выше, чем в «Dow Jones Industrial Average» за этот же период времени (14%).

so h

Х° 40}-

0 I

I

I

i

'

l

.

I

•

1

О

 

50

 

 

100

 

150

 

200

 

 

12-месячный

потенциал

прибыли

 

 

 

Ф и г. 3.4.39. Повышение стоимости

за 10

недель

на бирже «New

York

Stock Exchange», опубликованное 20

н о я б р я

1962 г.,

выпуск с л у ж б ы

инве­

стирования .

 

 

 

Линейные

модели с одной

переменной

309

3.Хотя отдельные акции могут котироваться выше или ниже оценки их стоимости, вычисленные средние оценки оказались точ­ ными. Требуется долларовая инвестиция в 10 акций для того, чтобы иметь 9 шансов из 10, что среднее повышение стоимости будет находиться в пределах 5% от средней оперативной харак­ теристики.

4.Так как за тот же самый период курс акций поднялся на 14%, акции (точки) ниже пунктирной линии означают потери относительно курса.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Smith W . E . , Technometrics, 8, 675 (1966).

2.Natrella M . G., Experimental Statistics, NBS Handbook 91, Supt. Docu­ ments, Washington. D.C., 1963.

3.

Haid A . , Statistical Theory

w i t h

Engineering Applications,

W i l e y ,

 

N . Y . ,

 

1952,

p.

550.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Brownlee K . A . , Statistical

 

Theory

and

Methodology

i n

Science and

 

Engi­

 

neering,

W i l e y , N . Y . ,

1960,

Ch.

11.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Krutchkoff R. G., Technometrics,

 

9.

425

 

(1967).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Eisenhart

С ,

Ann.

Math.

 

Stat.,

10,

162

(1939).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Rowe P. M . ,

Trans.

Inst.

Chem.

Eng.

 

(London),

41, CE

70

(Mar.

 

1963).

8.

Wang J. C , Himmelblau

 

D . M . , AIChE

 

J.,

 

4,

574

(1964).

 

 

 

 

9.

Mandel

J., J.

Amer.

Stat.

Assn.,

52,

552

(1957); см. т а к ж е

Jaech

J.

L . ,

 

/.

Amer.

Stat.

Assn.,

 

59,

 

863 (1964).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

Mandel J., Technometrics,

6,

225

 

(1964).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

Grenander

U . ,

Ann.

Math.

 

 

Stat.,

25,

253

(1954).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

Rosenblatt M . , Probability

and

Statistics,

W i l e y ,

 

N . Y . , 1960,

p.

 

246.

13.

W o l d

H . ,

Bull.

Inst.

Int.

 

Stat.,

 

32,

2 (1960).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

W o l d

H . ,

i n :

Proceed.

 

4th

 

Berkeley

Symp.

 

Math.

 

Stat.

Probl.,

 

1,

719

 

(1961).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

Box G. E. P., Jenkins G. M . , Bacon D . W . , Models for Forecasting Seaso­

 

nal

and

Nonseasonal

Time

 

Series,

i n : Spectral

Analysis

of

Time

Series,

 

Harris D . P.,

ed.,

W i l e y ,

N . Y . , 1967.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

Box G. E . P.,

Jenkins G. M . , Time Series Analysis, Forecasting, and

Cont­

 

r o l , Holden-Day,

San

Francisco,

1969;

есть

русский

перевод: Бокс

 

Д ж . ,

 

Д ж е н к и н с Г.,

Анализ

временных

рядов . Прогноз

 

и управление,

 

изд-во

 

«Мир»,

в

печати.

 

 

 

Biometrika,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.

Durbin J., Watson G. S.,

 

38,

 

159

(1951).

 

 

 

 

 

 

 

18.

Thompson

W .

R.,

Ann.

Math.

Stat.,

 

6,

214

(1962).

 

 

 

 

 

 

 

19.

Acton

F.

S.,

Analysis

of

 

Straight

Line

 

Data.

W i l e y ,

N . Y . ,

 

1959,

 

p.

261.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.

Dixon W . J., Biometrics,

 

9,

74

 

(1953).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.

Hudson, Univ . of Texas Ph.

D .

Dissertation,

 

1968.

 

 

 

 

 

 

 

22.

Daniels, Johnson,

J.

Amer.

 

Chem.

Soc,

43, 53

(1921).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ

 

ЛИТЕРАТУРА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общие

вопросы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Acton F. S., Analysis of

 

Straight Line

Data,

W i l e y ,

 

N . Y . ,

1959.

 

 

Brownlee K . A . , Statistical Theory and

Methodology

i n Science and

 

Engi­

neering,

2nd

ed.,

W i l e y ,

N . Y . ,

1965.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы