ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 284
Скачиваний: 5
Дифференциальные уравнения изгибных колебаний составля ются для каждого участка, и начало координат каждый раз переносится на границу участка (рис. 1). При этом имеем
EJnwln |
+ mnwn = рп{хп)тпа2еш\ |
|
(2) |
||
где обозначено |
|
|
|
|
|
IV |
дАшп(хп, t) |
|
d2wn(x„, |
t) |
|
W n = |
_______ |
W —. |
n\ n, |
I |
|
|
dx* |
|
№ |
|
|
Решение для вынужденных колебаний ищем в виде |
|
||||
wn(xn,t) |
= Wn(xn)eiat |
( « = 1 , 2 , 3 ) . |
(3) |
||
С учетом этого получим уравнения упругой линии ротора по |
|||||
участкам |
|
|
|
|
|
|
W\y — / г Х |
= 0; |
|
|
|
|
W?'-kiWa=*ktb0; |
|
|
(4) |
|
|
W?-klW3 |
= 0, |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
k* = V ^ 7 |
{ n = 1 , 2 ) - |
|
( 5 ) |
||
Общее решение для свободных участков I и III и нагружен ного участка / / будет
Wn = AnS(knxn) |
+ BnT(knxn) |
+ CnU(knxn) |
+ d>n(xa) |
( « = 1 , 2 , 3 ) ; |
(6) |
|||||||
здесь Ап, |
Вп, Сп, Dn |
— произвольные постоянные, |
определяемые |
|||||||||
из условий сопряжения на границах участков и на опорах; |
|
|||||||||||
S(kn, хп), |
T(kn, |
хп), |
U(kn, |
хп), |
V(kn, |
хп) |
—функции А. Н. Кры |
|||||
лова [1]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фп(Хп)—частное |
решение |
при нулевых |
начальных условиях, |
|||||||||
равное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф2(х2) |
= кф^ |
V[к2(х2-Шdl |
|
= b0[S(k2, |
х2)- |
1]; |
|
||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф,(х1 ) = Фз(л:з) = 0. |
|
|
|
|
(7) |
||||
С учетом симметричности нагрузки и форм колебаний усло |
||||||||||||
вия на границах участков будут: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
на опоре |
(xi = |
0) и в среднем сечении (х2 |
= |
0) |
|
|
|
|||||
|
|
Wx (0) = W'liO) = W2 |
(0) = W2" |
(0) = 0; |
|
(8) |
||||||
на границе / и / / / участков |
(х2 |
= |
/ь |
хг = 1"2) |
|
|
|
|||||
|
|
^ і ( Р і ) ^ з ( Р з ) ; |
^ і ( Р , ) = - ^ з ( Р з ) ; |
|
|
|||||||
|
^ і ^ і ( Р і ) = ^ з ( Р з ) ; |
Л ^ ' " ( Р і ) = - ^ з " ( Р з ) ; |
(9) |
|||||||||
159
на |
границе // и III участков (х2 |
= 1\, |
хъ = |
0) |
|
|
|
|||||
|
|
W2(fc) = W3(0); |
W'2(&) = W3(0); |
W"2$2) = W"3(0); |
|
|||||||
|
|
|
|
W'2"$'2) |
= |
W3"(0), |
|
|
|
|
||
где |
обозначено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pl = V |
b |
p2=/22 /2- , |
Рз = ^2^2 |
|
(11) |
||||
|
Из условий |
(8) следует, |
что А\ = Сх = В2 |
= D2 = 0. Исполь |
||||||||
зование |
условий (10) и (11) дает две системы уравнений. Заме |
|||||||||||
няя А3, |
Вз, С 3 и D 3 во 2-й системе их выражениями через В ь Du |
|||||||||||
Л2 и С 2 |
из 1-й системы, получим |
|
|
|
|
|
|
|||||
fi,7,(P,) + A V ( p 1 ) - ^ 2 S ( P 2 ) - C 2 [ / ( p 2 ) |
= 6 0 [S(p 2 ) - S(p;)]; |
|
||||||||||
a, [S,S(P,) + 0,с/(Р,)] + Л2 У(р2 ) + С2 7(р2 ) = -Ь0 |
[V(p2 )-V(p3 )]; |
(12) |
||||||||||
Ьх [B,V(p,) + Д П Р , ) ] - Л2[У (p 2 ) - C 2 S(p 2 ) = b0 [U(b)-U |
|
|||||||||||
(Рз)]; |
|
|||||||||||
a,6,[B,£/(P,) + |
j D i S ( p 1 ) ] + / 4 a r ( p 2 ) + C 2 V ( p 2 ) = - 6 o [ 7 , ( p 2 ) - r ( p 3 ) l . |
|
||||||||||
где |
обозначено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 = ^ 2 = P2 + |
P3 ; |
fli |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13) |
|
|
|
= |
]/(*/; |
(І = |
— - ; |
/ = |
- г |
- |
|
||
|
|
|
k2J2 |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определитель системы уравнений |
(12) имеет вид |
|
|||||||||
|
|
|
а,Ь, |
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + Ь\ |
В(Р,)Л(р2 ) + |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
+ |
(Р,)5, (ра) + |
2Л ( Р , ) 5 ( р 2 ) - а , С (Р,) С (р2 )]. |
( И ) |
|||||||
|
Здесь использованы частотные функции Прагера и Гогенем- |
|||||||||||
зера [1]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л(Р) = |
ch р s i n р + sh р cos р; |
S,(P) = 2 sh р s i n Р; |
|
|||||||
|
|
В(р) = |
c h р s i n р — s h р cos р; |
С(Р) = 2 c h р cos р. |
(15) |
|||||||
|
Корни уравнения Дс |
= 0 определяют |
собственные частоты |
|||||||||
рассматриваемого ротора при симметричных |
колебаниях. |
|
||||||||||
|
Поскольку для определения нечувствительных скоростей |
нуж |
||||||||||
ны |
выражения |
для опорных реакций, находим выражение |
для |
|||||||||
перерезывающих сил на участке /: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
W\" = —[B.Uiku |
|
xO + D.Sfo, *,)•] |
|
|
||||||
|
|
|
2ДС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда, учитывая, что U(0) = О, S(0) = 1, для опорных ре акций, получим выражение
Re = — EJxW'x"(0) = — k\EJxDx. |
(17) |
Решая систему уравнений (12) с учетом выражения (14), определим значение постоянной Dx и найдем окончательно
R ' = --ТГ- |
E J ' ^ ) F ^ |
+ V{&)F2-U(&)F3- |
nfaFA. |
(18) |
|||
Здесь для сокращения записи приняты |
обозначения |
|
|||||
Fі = М ( P 2 ) S ( p , ) + axbxB($2)U($x) |
+ |
^ 5 1 (p 2 ) V (P 1 ); \ |
|
||||
F2 |
= A(p2)TWl)-bxB(p2)V(Px) |
+ |
alblC(p2)U®l); |
|
|||
/ r 3 |
= |
fliM(p2)^(Pi) |
+ flifl(P2)S(p,) |
+ |
S (p 2 )r (P 1 ); |
|
|
F 4 |
= 6,Л(Р2 )У(Р,)—В(Р2)Г(Р,) + o,C(p2 )S(p,). |
|
|||||
Выражения (19) определяются только геометрическими, мас совыми и инерционными параметрами, значения их являются характеристиками данного ротора и могут быть рассчитаны за ранее.
Для случая распределения грузов по всей длине «бочки» ро тора, полагая 1'г = 12 и 12 — 0 ( Р 2 = р2 , р 3 ' = 0), получим следую щее выражение для определения опорных реакций при уравно вешивании:
« ; = - і г в |
д . |
(20) |
Выражения (18) и (20) показывают, что реакции |
зависят от |
|
нагрузки, от ее распределения и от |
параметров ротора. При |
|
этом могут быть и такие соотношения параметров, при которых
реакции равны нулю. Это и является условием |
для определения |
||
нечувствительных |
скоростей. |
|
|
Из-за недостатка места рассмотрим нечувствительные скоро |
|||
сти только для случая распределения нагрузки по всей |
длине |
||
«бочки» ротора. |
Уравнение для определения |
нечувствительных |
|
скоростей при этом будет иметь вид |
|
|
|
i4(P2 )S(P.) + 6,B(P2 )t/(P,) + -^~ S,(P2 )V(P,) = 0. |
(21) |
||
Полагая ах = bx = 1, можно вывести уравнение для нечувст вительных скоростей ротора постоянного сечения с равномерно распределенной на участке длиной 2/2 нагрузкой в виде [3]
sin р 2 ch р -|- sh р 2 cos р = 0. |
(22) |
11 Зак . 600 |
161 |
Считая ротор сплошным |
и однородным, величины [і и j мож |
|||
но |
выразить через |
отношение диаметров (б) сечений |
концевых |
|
(di) |
и средней (d2) |
частей: |
|
|
|
|
ц = 62 ; |
/ = 64; 6 = - ^ - , |
(23) |
|
|
|
а2 |
|
тогда
««= УY'
6 l = 63- |
( 2 4 ) |
Переменную Ра можно выразить через р*і по формуле
р2 |
= £ 2 / 2 = |
1 / б є 2 р ь |
(25) |
где |
|
|
|
Є 2 |
= А .= |
_ Ьі £ і . |
(26) |
Значения нечувствительных скоростей Я,Нд определяются че
рез корни Pi„g уравнения (21) по формуле
^-(-¥-)V1F- (27)
Для удобства расчетов введен безразмерный |
коэффициент |
ая, = ( - ^ - ) 2 = Я н ^ , |
(28) |
где |
|
k-pVHr- |
(29) |
Тогда с учетом значений Е = 2- 101 0 /сг/ж2 и геометрических размеров ротора его нечувствительная скорость может быть вы
числена по формуле |
|
- - Q H q d l 10* об/лш«. |
(30) |
'0,21/2
Спомощью уравнения (21) и формул (28) и (30) нами были рассчитаны нечувствительные скорости для некоторых типов ро торов турбогенераторов при равномерно распределенной по «бочке» нагрузке. Данные о размерах роторов взяты из табли цы [2].
|
Расчет |
показал, |
что у |
некоторых |
типов турбогенераторов, |
|||
особенно |
имеющих |
мощность |
150 Мет и выше, |
эта нечувстви |
||||
тельная скорость |
ненамного |
превышает |
рабочую. Так, для рото |
|||||
ра |
генератора |
ТВ2-150-2 |
nHq |
« 3300 |
об/мин, |
для ТВВ-320-2 |
||
nHq |
« 3800 об/мин, |
для ТВВ-500-2 nHq |
~ 3500 |
об/мин. |
||||
