Файл: Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 166
Скачиваний: 3
А = / 2 |
Re [\еш] |
- 1 2 Re IАд ej |
V й ' ] = ] / 2 |
Ад cos (соt-\- ^ ) . (3.4) |
Последнее |
равенство |
основано на |
формуле |
Эйлера е 1 ( ш і + * > = |
= cos(co^ + i|;) + i sin (со^ + г|)). |
|
|
||
Символический метод применим для анализа любых гармони ческих колебаний, подчиняющихся линейным уравнениям, в част
ности уравнениям Максвелла для |
линейных сред. Пусть для моно |
|||
хроматического |
поля справедливо |
уравнение, в котором времен |
||
ные зависимости |
векторов |
записаны в виде cos (со^ + г|)). Тогда |
это |
|
же уравнение верно и для |
поля с зависимостями вида sin(o)/-f-i|>) |
= |
||
=соэ(ю^+1|з—я/2), отстающего от первого по фазе на я/2. Умножим
второе уравнение на і и сложим с первым. По формуле Эйлера |
это |
||
эквивалентно переходу |
к уравнению в комплексной записи. |
|
|
В уравнениях для комплексных величин зависимость от време |
|||
ни е ш |
писать не принято1 ), хотя всегда подразумевается, что |
речь |
|
идет |
о гармонических |
колебаниях определенной частоты со = 2я|\ |
|
Напомним, что дифференцирование комплексной величины по вре мени эквивалентно в символическом методе ее умножению ко,'
так как — е = кое . |
|
dt |
|
Обратим внимание на одну особенность. Величины, с которыми |
|
приходится иметь дело в теории поля, представляют собой |
векто |
ры в трехмерном пространстве (обозначаются полужирным |
шриф |
том) . Одновременно переменные величины представляются векто
рами, |
вращающимися |
с круговой частотой со на комплексной |
пло |
|
скости |
(обозначаются |
точкой наверху). |
Направление вектора |
в |
трехмерном пространстве — это реальная |
характеристика ориента |
|||
ции поля. Направление же вектора на комплексной плоскости — это всего лишь условное обозначение определенной фазы данной гармонически изменяющейся величины по сравнению с выбранным началом отсчета.
3.2. Комплексные проницаемости
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ |
|
Электрическое поле вызывает два |
вида потерь в среде. |
П о т е р и , о б у с л о в л е н н ы е |
п р о в о д и м о с т ь ю м а т е |
р и а л а , характерны для металлов |
и других хороших проводников, |
а также для диэлектриков на низких частотах и в стационарных
полях. |
Плотность |
тока проводимости |
J = crE согласно закону |
Ома |
|||||
(1.14), |
(2Л8) пропорциональна удельной |
электрической |
проводи-' |
||||||
') Иногда временная зависимость задается в |
виде |
е ~ m , что |
эквивалентно |
||||||
замене |
знака |
перед і |
на противоположный |
во |
всех |
соотношениях. |
Вместо |
||
действующих |
можно |
использовать также |
амплитудные значения |
поля |
А т = |
||||
= 1^2 |
Ад и комплексные амплитуды А т = |
|^2А. |
|
|
|
|
|||
46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мости а, которая у большинства материалов почти не зависит от
частоты вплоть до инфракрасной области спектра. |
|
|
П о л я р и з а ц и о н н ы е |
( д и э л е к т р и ч е с к и е ) |
п о т е р и |
объясняются трением при смещении заряженных частиц |
вещества |
|
в переменном электрическом поле. В результате наблюдается яв ление линейного диэлектрического гистерезиса, отставание по фазе
векторов лоляризованности диэлектрика Р э и электрического смеще ния D от вектора напряженности электрического поля Е. График зависимости D от Е представляет при этом вытянутый эллипс, причем диэлектрические потери за период колебаний пропорцио нальны его площади. Отставанию по фазе D от Е соответствует ком плексная диэлектрическая проницаемость с отрицательной мнимой частью в материальном ур-нии (1.12), (2.18):
D ^ е д Ё = e«e0 E, |
|
(3.5) |
|
%r= г ' а — і Єод = г'а(\—• |
іtg6); 'е д =е'(1 — itg6), - |
( 3 - 6 ) |
|
где І е'б = Є а Д / є а — тангенс угла |
диэлектрических |
потерь. |
|
В широкой полосе частот (за исключением полос поглощения) компоненты г'а и е"аД в диэлектриках меняются незначительно, их
отношение tg6 практически постоянно. Дл я качественных диэлект риков в радиодиапазоне (до / « 1 0 0 ГГц) tg8= 10~2-HlO~4.
КОМПЛЕКСНАЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
С учетом соотношений (1.4) и (3.5) запишем в символической форме первое уравнение Максвелла (2Л6) для линейных сред при / с т = 0:
rot H = io>D + J = і (оеа д Ё - f ст Ё = і со ( г'а — і г'аЛ) Е + сгЕ. Объединим слагаемые в правой части этого равенства:
rotH = |
і co^ г'а— і є;д — і -^-JE = і сое^ Ё, |
(3.7) |
||||
|
і |
є л |
-i(e'atg6 |
+ — ) = Є а д _ і - 5 - |
(3.8а) |
|
— комплексная |
абсолютная |
диэлектрическая |
проницаемость. |
|||
Часто используют относительную комплексную диэлектрическую |
||||||
проницаемость: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s'tg6- |
|
(3.86) |
|
|
|
|
|
COR0 |
|
|
Соотношения |
(3.8) формально |
объединяют |
параметры |
среды, |
||
определяющие плотности тока смещения Лсм = іо>єадЕ и проводимо сти j='afe. Оно введено для упрощенной записи, первого уравнения Максвелла (3.7). Непосредственно заменять истинную диэлектри ческую проницаемость среды величиной е а в других уравнениях,
47
например в (3.5), нельзя. В то же время из ф-л (3.8) вытекает, что мнимая составляющая диэлектрической проницаемости є^д и
слагаемое а/со эквивалентны, они в равной степени приводят к по
терям. Более |
того, эти два |
вида |
потерь |
(в'ё |
+а/со) |
при фик |
сированной частоте с макроскопической точки |
зрения |
неразличи |
||||
мы. Поэтому |
на основании |
ф-л |
(3.8 ) |
можно |
формально ввести |
|
эквивалентную проводимость диэлектрика, соответствующую поля ризационным потерям:
°Д = ( 0 Є а д = ^ t g d |
(3.9) |
и при расчете мощности потерь учитывать ее наряду с истинной проводимостью а.
Итак, вещественная часть комплексной абсолютной диэлектри ческой проницаемости равна абсолютной диэлектрической прони
цаемости |
материала г'а |
= е а ; |
отрицательная |
мнимая |
часть |
ш"а равна |
сумме'двух |
слагаемых; г"аА = г'а tg6, |
соответствующего |
||
поляризационным потерям, и а/со, соответствующего потерям на
электрическую |
проводимость. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
Проводник |
характеризуется |
наличием |
тока проводимости |
J = oE, |
|||||||||||||||
синфазного |
с напряженностью электрического |
поля. Д л я |
диэлект |
||||||||||||||||
рика характерен, ток смещения с |
плотностью 3Си = ш(е,'а |
—\г"ал |
)Е, |
||||||||||||||||
опережающий |
по фазе |
Е почти на |
90°. Так |
как |
г"ад <<&'а |
> то [еа д ! = |
|||||||||||||
= V( е'аУ + |
( &"apfWZa |
И1 ''см |~00Є а |Е| . ОтНОШЄНИЄ МОДуЛСЙ ПЛОТНОСТЄЙ |
|||||||||||||||||
токов смещения и проводимости определяется |
параметрами среды |
||||||||||||||||||
н пропорционально |
частоте: |
| / С |
м | / | / | =<йеа /а. |
Назовем |
средней |
ту |
|||||||||||||
частоту, при которой |
| / С м | = |
| ^ | , |
т. е. соС рба = а и среда |
в |
равной |
||||||||||||||
степени обладает свойствами проводника и диэлектрика; |
очевид |
||||||||||||||||||
но, /С р = а/(2яеєо). В |
таблице |
3.1 |
приведены ориентировочные |
дан |
|||||||||||||||
ные для ряда технических материалов и естественных сред. |
|
||||||||||||||||||
Будем |
считать |
|
среду |
проводником, |
ЄСЛИ |
J см 1/1 / І =С08а /а = |
|||||||||||||
х = ///ср<0Д; тогда |
фаза |
е а |
близка |
к —90°. |
Так как параметры |
ме |
|||||||||||||
таллов неизменны |
только |
до частот порядка 10 Т Г ц = 1 0 1 3 |
Гц |
(Х = |
|||||||||||||||
=30 мкм), определенная |
для них частота /С р свидетельствует лишь |
||||||||||||||||||
о том, что вплоть до оптических частот |
металлы являются |
провод |
|||||||||||||||||
никами. К |
|
проводникам |
относятся |
также |
естественные |
среды на |
|||||||||||||
низких частотах (/<0,1 |
fCp). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Диэлектрик |
характеризуется |
|
неравенством |
| / С м | / | Л |
=соеа /а = |
||||||||||||||
=///ср>10. На всех частотах, начиная с промышленной |
50 Гц, |
тех |
|||||||||||||||||
нические диэлектрики не обнаруживают свойств проводника. |
Ди |
||||||||||||||||||
электриками |
являются |
|
также |
естественные |
среды |
на |
|
высоких |
|||||||||||
частотах |
(f>10fC p) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
3.1 |
|
||
|
Среда |
|
є |
а, См/м |
/ С Р , |
Гц' |
|
|
Полистирол |
|
2,4 |
ю - 1 |
4 |
Ю - 4 |
|
|
|
Гетинакс |
|
|
6 |
ю - 9 |
|
3 |
|
|
Лед, промерзшая почва, сухой песок |
4 |
10~5 |
|
5-Ю* |
|
|||
Сухая почва |
|
4 |
ю - 4 |
|
5-Ю6 |
|
||
Пресная вода рек и озер |
|
80 |
2 - Ю - 3 |
5-Ю6 |
|
|||
Влажная |
земля |
|
20 |
Ю - 2 |
|
10' |
|
|
Морская |
вода |
|
80 |
4 |
|
10» |
|
|
Металлы |
|
|
<1 |
>10« |
|
> 101* |
|
|
На частотах, выше 1 кГц, у |
всех |
качественных |
диэлектриков |
|||||
ЄдД^>а/со, т. е. поляризационные |
потери намного |
превосходят |
по |
|||||
величине потери, обусловленные |
проводимостью |
|
материала. |
В |
||||
этом случае соотношения (3.8) для комплексной диэлектрической проницаемости переходят в ф-лы (3.6): єа = єа д; є = єд .
МАГНИТНЫЕ ПОТЕРИ
В магнитных материалах т р и перемагничивании также возникают потери на трение, в результате которых вектор В отстает по фазе
от вектора |
Н |
(магнитный |
гистерезис). |
Эти потери учитывают, вво |
||
дя тангенс |
утла магнитных потерь tg6M и комплексную |
магнитную |
||||
проницаемость: |
|
|
|
|
|
|
В Ц Г а Н ; ^ |
= |
И а — і |
= |
И-а (1 — і tg 6м ); |
fT= ( i ' - i | i " = |
i i ' O - i t g A " ) . |
|
|
|
|
|
|
(3.10) |
мнимая часть которой выражает эти магнитные потери.
3.3. Система уравнений монохроматического поля
Запишем уравнения Максвелла (2.16) |
для монохроматического |
|
поля с использованием символического |
метода: |
|
rotH = |
icoD + J + |
JC |
rot Ё = |
— і со В |
(ЗЛІ) |
|
|
|
divD = р -г-Рст div В = 0
