Файл: Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи.pdf

Предположим

далее, что по по­

верхности

5

в

бесконечно

тонком

слое

протекает

ток. Вектор

плотно­

сти

поверхностного

электрического

тока

определяется

как

сила

тока в

п

полосе

единичной

ширины

или

l = tidljdl,

где

е/ — орт, направле-

Р

и с

2 .8

йие

которого

совпадает

с

направ­

лением тока,

d\ — пересекаемый

током

отрезок

линии, перпенди­

кулярный Є/.

Применим теперь к контуру первое ур-ние (2.17) с очевидной

при A/z->-0 и Д5->€ заменой

і J-riodS на

f

]-nadl,

так как J по вели-

S

д/

чине

конечно

и следует

учитывать лишь

поверхностный ток:

j Hl-(—x)dl+

j

Hrxdl

= ~

j

D - n 0 d 5 +

j

j-nod/.

Д/

Al

AS

Al

Вкладом боковых сторон

(АЛ-Ч))

в

контурный

интеграл здесь

но,

( Н 2 — Н і ^ ) - т = j • п0 . Заменим т векторным произведением

норма­

лей: ( Н 2 — H i )

• (ПоХп) = j - п 0

и выполним

в левой

части

полученно­

го равенства

(в

скалярно-векторном

произведении) круговую пе­

рестановку множителей

(см. [5]): [ n X ( H 2 — H i ) ] n 0 = j - n 0 .

Так как направление вектора п 0 выбрано произвольно, необхо­

димо, чтобы

j = n X (

(2.23)

Н 2 - Н Г ) .

Плотность поверхностного тока j отлична от нуля только на гра­

ничной

поверхности

идеального

проводника.

Во всех

остальных

случаях

j = 0

и

п Х ( Н 2 — Н 4 ) = 0 .

Векторное

произведение

равно

нулю, если равна нулю составляющая

вектора

( Н 2 — Н І

) ,

перпен­

дикулярная к нормали

п, т. е. касательная

составляющая

H 2 t

— H i t = 0.

'

(2.24)

Касательная

составляющая

вектора

напряженности

магнитного

поля

непрерывна

на

границе

любых

реальных

сред.

Если теперь применить к контуру

рис. 2.8

закон Фарадея [вто­

рое

ур-ние (2.17)], то после аналогичных

преобразований получим

п Х ( Е 2 — Е і ) = 0 ,

что эквивалентно

равенству:

Е 2 т — Е [ Т =

0.

(2.25)

Касательная

составляющая

вектора

напряженности

электриче­

ского поля непрерывна

на границе

любых

сред.

Из ф-л (2.18), (2.24) и (2.25) следует также, что ,в изотропных

средах при j = 0

Ь і

= JL L ,

- ^ i =

£ l l .

(2.26)

(i2

Иі

є2

8i

(2.23)

j = — n x H j T , благодаря чему магнитное

поле внутри провод­

ника

отсутствует.

Указанная

идеализация часто используется при рассмотрении

полей

вблизи

проводящих поверхностей, так

как проводимость

Итак, в идеально-проводящей

среде

электромагнитное

поле

от­

сутствует: £ , 2 = і О 2 = Я 2 = 52 =0 . Из найденных ранее граничных

усло­

вий

(2.20),

(2.21),

(2.23) и (2.25)

получаем

для

изотропной

сре­

ды 1:

Di • (—п) = е а 1 Ех • (—п) =

стэ;

Е 1 т

=

0

|

(2.27)

Bln = Hln = 0; H l T X [ n = j

іГ

Тангенциальная

составляющая

напряженности

электрического

поля

и нормальная

составляющая

напряженности

магнитного

поля

у

поверхности

идеального

про-

1п

і ппяпрнтппн

водника

отсутствуют.

Нормаль-

пая

составляющая

электричв'

ского

поля

определяется

рас­

пределением

поверхностного

заряда

(рис.

2.9).

Плотность

электрического

тока

на

по­

верхности

проводника

равна

по

величине

и

перпендикуляр­

на

по

направлению

касатель­

Рис. 2.9

ной

составляющей

напряжен­

ности

магнитного

поля у

по­

верхности.

Для определения характера изменения магнитного поля выпи­

шем

первое

уравнение Максвелла

(2.16) с учетом

ф-л

(2.18)

и со­

отношений

(2.27):

(2.28а)

Запишем ротор с помощью оператора Гамильтона

(набла):

rotH 1 T = у X HIT = ( V T т п г ) X H l t = VT X H l x + n X

. (2.286)

\

on I

дп

V Ф = grad t|5;

у-А = div А;

у х А

rotA.

(2.29)

В декартозой системе координат оператор

Гамильтона

выражается как

д

д

+ е

д

(2.30)

V = e , — + е

в —

2 — .

Если плоскость

дх

ду

дг

хОу, оператор набла

S совпадает,

например,

с плоскостью

можно представить

в виде суммы тангенциальной

у т

=

д

д

-;— + е« —— и нор-

д

т

дх

дц

мальной V n = ez —дг

составляющих:

V = V X + V n = V T + п —

( п н е 2 ) .

(2.31)

Первое слагаемое выражения

(2.286) (представляет собой вектор,

но к

правой части

ф-лы 1(2.28а). Второе слагаемое — тангенциаль­

ный

к поверхности

вектор,

равный

нулю, так как правая

часть

ф-лы

(2.28а)

не имеет касательной

составляющей.

Следовательно,

^ 5 » =

о,

(2.32)

дп

'

т.*е. структура поля в среде

J такова,

что тангенциальная

состав­

ляющая

магнитного

поля

достигает

у плоской

границы

идеального

проводника

экстремального

значения

(в направлении

нормали к

границе).

получить

соотношения для касательной со­

Более

общим методом можно

ставляющей магнитного поля

у криволинейной границы

идеального

проводника.

В произвольных ортогональных координатах

равенство

(2.32)

справедливо для

цилиндрических координатах1) для Hz у границы, совпадающей с цилиндричес­

кой координатной поверхностью r = const; в сферических координатах 2 ) для Иг

у границы идущей по конической координатной поверхности #=const.

В остальных случаях

экстремально по нормали к границе произведение тан­

генциальной составляющей

на соответствующий коэффициент Ламэ3 ).

') Цилиндрические координаты точки Р: длина радиуса-вектора г — расстоя­

ние от точки Р до оси Oz; полярный

угол ф угол между прямой ОР' и полярной

осью Ох (Р' — проекция

точки

Р на плоскость

хОу); аппликата

г — расстояние

от точки Р до основной .плоскости хОу [5].

радиуса-вектора

г — расстояние

2 ) Сферические координаты

точки Р: длина

от точки Р до начала

координат 0; долгота

<р угол между плоскостью

хОг и

меридианальной

плоскостью, проходящей через

точку Р и ось Oz; полярное

рас­

стояние # — угол между осью Oz и прямой ОР [5].

3 ) Коэффициент Л а м э

— масштабный

множитель, связывающий измене­

ние одной из координат

с

изменением длины

соответствующей

координатной

линии. Коэффициенты

Л а м э

для декартовых

координат: ах=ау—аг=\;

для

цилиндрических:

ат = аг=\;

а

ф = /•;

для

сферических: • ar=\;

a^=^rs\nfs;

«<v =г [3].

- | Г (

' Я Ф )

= 0 ; -£г(гН*)=°-

<2-33>

В сферических координатах у границы, идущей по конической поверхности

d=eonst:

- ^ ( 8

І п » Я ф ) = 0.

(2.34)

ЗАДАЧИ

2.1. Найти

электрическое

поле

бесконечной

заряженной

нити с линейной

плотностью заряда т, Кл/м.

Ответ: D=er т/(2лг).

поверхностной

плотностью заря­

2.2. Найти

поле бесконечной плоскости с

да оэ , Кл/м2 . Ответ: D = na3 /2.

2.3. Найти электрическое поле внутри шара радиуса а, заряженного рав­

номерно по объему зарядом Q.

Ответ: D=er

Qr/(4na3)

(r^a).

магнитном

поле

с

магнитной

индукцией

2.4. В

однородном

постоянном

В =5 мкТ

вращается виток провода

радиуса а=0,2

м

с угловой

скоростью

50 об/с. Сопротивление

витка 5 Ом. Ось вращения перпендикулярна вектору

В. Найти

максимальное

значение

тока

в витке

и выразить зависимость тока

от времени.

Ответ: /тах = 39,5 мкА; i—lmax

sin со/;

ю = 314

рад/с.

что почти

любую

функцию времени

можно

с помощью ряда или

интеграла

Фурье

представить в виде

спектра

частот: гармоническо­

А = / 2 [tx AlR cos (со t +

•ф].) + e2 Л з д cos (со t+^2)

+ е3 Л 3 д cos (to t

(3.1)

где

еі,2 ) з — взаимноперпендикулярные

координатные

орты,

Аь2,

зд — действующие

(эффективные) значения координатных со­

Если фазы

координатных компонент одинаковы г|з = 'фі = 'ф2=фз.

то вектор А можно представить через действующее

значение

век­

тора Ад :

А =

/ 2

(ЄІ Л 1 д +

е2 Д Д

+ е3 Д Д ) cos

(со t +

г|>)

=

. = / 2

Ад cos (со t + ф).

(3.2)

Комплексными

действующими

величинами

назовем векторы

А =

(еЛде'*' -Г e ^ V * * + е^де'**)

или

А = А д е'*.

(3.3)