Файл: Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 164

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Как

следствие

первого и третьего ур-ний

(3.111)

или из ф-лы

(2.9) получим

уравнения непрерывности для токов проводимости,

сторонних токов и соответствующих зарядов:

 

 

 

 

 

d i v j = — і сор,

d i v J C T = — і сорст.

 

(3.12)

Дальнейшие

преобразования

справедливы

для

однородной

среды,

параметры

которой постоянны; поэтому

их можно

вынести

за знак пространственного дифференцирования. Упростим

первое

ур-!ние

(3.11)

в соответствии с ф-лой (3.7), во втором

и четвертом

ур-ниях (3.11)

заменим В по ф-ле (3.10):

 

 

 

 

 

 

rot Н = і соеа Ё 4- JC T

 

 

 

rot Ё = — і со \іа Н

(3.13)

e a divE = pC T

 

divH = О

 

Третье равенство (3.13) получено с помощью ф-л (3.5), (3.8а) и (3.12): div Ь—р = є а д div Ё—(i/co) div J =і(єа д —іа/ісо) div Ё = = ea div Ё. Заметим, что в соответствии с изложенным в 2.5 четвер­ тые ур-ния (ЗЛ1) и (ЗЛЗ) не являются независимыми; в систему основных уравнений их можно не включать.

Для областей, в которых сторонние токи отсутствуют {JCT = 0

и согласно (3.12) рС т = 0], система уравнений Максвелла

содержит

всего два независимых уравнения:

 

 

гЫН = ш Г в Ё

1

( 3 1 4 )

rot Ё = — і и>ца Н I

Уравнения с дивергенциями являются следствием этих уравне­ ний; действительно, взяв дивергенцию от обеих частей равенств (3.14), с учетом тождества div rot А = 0 получим

divE = 0, d i v H = 0 .

(3.15)

Из сопоставления этих выражений с третьим

равенством (3.11)

вытекает, что р = 0 , т. е. в однородной линейной

среде при отсутст­

вии сторонних токов пространственные заряды не образуются.

3.4.Однородные волновые уравнения для векторов

Еи Н

Рассмотрим свойства поля в той части пространства, где отсутст­ вуют источники. Тогда справедливы ур-ния (3.14), содержащие две

неизвестные векторные функции Ё и Н. Исключим одну из них, сведя систему к одному уравнению для Е или Н. С этой целью най­

дем ротор от обеих частей ур-ний

(3.14):

 

rot rot Н = і № а rot Ё,

rot rot Ё = — і со[Га rot Н

(3.16)

и используем тождество из векторного анализа [5]:

rot rot А = v х (v X А) = v ( V - A ) — V 2 A = graddivA — у 2 А (3.17) с учетом того, что по ф-лам (3.15) дивергенции векторов равны

нулю: rot rot Н = — V 2 H ; r o t rot Ё = — V 2 E .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оператор

 

V 2 ,

называемый

также

лапласианом,

представляет

 

собой

двойной векторный

дифференциал,

который

для векторных

функций

вводится

соотношением

(3.17).

 

 

 

скалярной

величины

приводит

к лапласиа­

 

Двукратное

дифференцирование

ну, являющемуся скалярной функцией координат:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

divgradib = v (V ^) = V24>-

 

 

 

 

 

 

(3.18)

 

В

декартовой,

цилиндрической

и

сферической

системах

координат

лапла­

сиан от скаляра

записывается как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д 2

Ф

 

д* ib

d 2

ib

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v 2 ^ =

-дх*dr + •ду*

дг*

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

І

д

/

дії

\

 

1

 

 

d2\b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

dr

\

dr

}

 

г2

дф 2

 

дг2

 

 

 

 

 

 

 

 

і

а2 (гЧ>)

 

і

 

1

 

d2i|>

 

1

д (

 

dty

.

(3.19)

 

v 2 ^ =

 

~ — +

—

sin2 »

 

<Эф2

 

sin і)

дЬ\

 

дЪ

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

dr2

 

r2

 

 

его составляющими

в декартовой

системе

 

Лапласиан

от вектора — вектор;

координат являются лапласианы от соответствующих

 

компонент

дифферен­

цируемого вектоса:

 

у 2 А = ел .у2 А* + е < , у 2 ^ + е 2 у 2 Л г

.

'

 

 

 

(3.20)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В криволинейных

координатах

вектор

V 2 A нельзя

получить

непосредствен­

ным

применением

лапласиана

к

криволинейным

 

компонентам

вектора А.

Этот

вектор. вычисляется

в общем

случае

при помощи

соотношения

(3.17):

V2 A = grad div А—rot rot А.

 

 

только

к

прямоугольным

компонентам, не

 

Операция

вида

(3.20)

применима

меняющим своего

направления

от точки

к точке

(например,

составляющая

А г

в цилиндрических координатах).

выносить лишь те координатные

орты, кото­

,

За знак лапласиана

допустимо

рые имеют одинаковое

направление

во всех

точках пространства.

 

 

 

 

 

В правой части ф-л (3.16)

вместо rot Е и rot

Н подставим

соот­

ветствующие выражения из (3.14). Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— V2

Н =

і ma

(— і (о\іа Н);

— у 2 Е

— — і Ща (• <*>еа Ё)-

 

 

 

Введем комплексную величину

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

І

(A

Y

 

га^а

 

[

1 / М

 

 

 

 

 

 

 

(3.21)

и назовем

ее коэффициентом

распространения

 

в среде.

Это

упро­

щает

запись уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vі Н — к*Н = 0,

у 2

Ё — к 2 Ё = 0.

 

 

 

 

(3-22)

 

Полученные дифференциальные уравнения второго порядка на­

зываются

однородными

волновыми

уравнениями

 

 

(уравнениями

Гельмгольца).

Однородные волновые уравнения (3.22) для обоих векто­ ров идентичны. Поэтому должны быть одинаковыми решения этих

5 1

Как

следствие

первого

и третьего

ур-ний

(3.111)

или из ф-лы

(2.9)

получим уравнения непрерывности для

токов проводимости,

сторонних токов и соответствующих

зарядов:

 

 

 

 

 

 

 

d i v J = — і сор,

div JC T

= — і сорст.

 

(3.12)

Дальнейшие

преобразования

справедливы

для

однородной

среды,

параметры

«отарой постоянны;

поэтому

их І М О Ж Н О

вынести

за знак пространственного дифференцирования. Упростим

первое

ур-ние (3.11) в соответствии с

ф-лой

 

(3.7), во

 

втором

и четвертом

ур-ниях (3.11) заменим В по ф-ле (3.10):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rot Н =

і сов,, Ё -j-

JC T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rot Ё = — і со [іа

Н

 

 

 

 

(3.13)

 

 

 

 

 

еа div Ё =

р С т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

divH = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Третье

равенство

(3.13)

получено

с помощью ф-л

(3.5), (3.8а)

и

(3.12):

div

Ь—р

= є а д

div

Ё—(i/co)

div )=і(єа д —іа/ісо) div Ё =

— 8a div Ё. Заметим, что в соответствии

с изложенным

в 2.5

четвер­

тые ур-ния (ЗЛ1) и (ЗЛЗ) не являются независимыми; в систему

основных уравнений их можно не включать.

 

Для областей,

в которых сторонние токи

отсутствуют |JC T = 0

и согласно (3.12)

<рОт = 0], система уравнений

Максвелла содержит

всего два независимых уравнения:

 

 

 

Г О Ш = І С О І ; Е

І

( 3 1 4 )

 

rot Ё = — і (аца

Н )

 

Уравнения с дивергенциями являются следствием этих уравне­ ний; действительно, взяв дивергенцию от обеих частей равенств (3.14), с учетом тождества div rot А = 0 получим

 

divE = 0, d i v H = 0 .

 

(3.15)

Из сопоставления этих выражений с третьим

равенством (3.11)

вытекает, что

р = 0 , т. е. в однородной

линейной

среде при отсутст­

вии сторонних

токов пространственные

заряды

не

образуются.

3.4.Однородные волновые уравнения для векторов

Еи Н

Рассмотрим свойства поля в той части пространства, где отсутст­ вуют источники. Тогда справедливы ур-ния (3.14), содержащие две

неизвестные векторные функции Ё и Н. Исключим одну из них, сведя систему к одному уравнению для Ё или Н. С этой целью най­ дем ротор от обеих частей ур-ний (3.14):

rot rot Н = і юіГа rot Ё, rot rot Ё = — і co(xa rot H

(3.16)

и используем тождество из векторного анализа [5]:

rot rot А = у

х

( v X A ) == v ( v - A ) — v 2

A =

graddivA — у 2 А

(3.17)

с учетом того, что по ф-лам

(3.15)

дивергенции

векторов

равны

нулю: rot rot Н = — V 2 H ; r o t

rot Ё = — V 2 E .

 

 

 

 

Оператор

V 2 ,

называемый

 

также лапласианом,

представляет

собой

двойной векторный

дифференциал,

который

для векторных

функций вводится

соотношением (3.17).

 

 

 

скалярной величины

приводит к .лапласиа­

Двукратное

дифференцирование

ну, являющемуся скалярной функцией координат:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

div g r a d = v (V Ч>) =

V 2 ^ •

 

 

 

(3-18)

В декартовой,

цилиндрической

и

сферической системах

координат

лапла­

сиан от скаляра

записывается как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

2 г|) =

д2

г|)

д2

 

d2

 

 

 

 

 

 

 

дх* +

ду*

 

дг2

 

 

 

 

 

у 2 г|з =

1

д

 

dty

\

1

д2г|5

 

<Э2г|)

 

 

—

дг

 

дг

 

 

дф 2

 

 

 

 

 

 

 

г

"

Г

*

 

<Эг2

 

1

д*(г$)

+

1

 

 

д2г|з

 

1

 

 

 

(3.19)

V 2 i|> = г

дг*

 

Sin2 at

д ф 2

sin k)

<

 

sin і lib

Лапласиан от вектора — вектор; его составляющими в декартовой системе координат являются лапласианы от соответствующих компонент дифферен­ цируемого вектора:

 

 

 

 

у 2 А = е А . у 2 Л л + е « / у 2 ^ + е г у 2 ^ г -

'

 

 

(3.20)

В криволинейных

координатах вектор

V 2 A нельзя получить

непосредствен­

ным

применением

лапласиана

к

криволинейным

компонентам

вектора А.

Этот

вектор. вычисляется

в общем

случае

при помощи

соотношения

(3.17):

V2 A = grad div А—rot rot А.

 

только

к прямоугольным компонентам, не

Операция вида

(3.20)

применима

меняющим своего

направления

от точки

к

точке

(например,

составляющая

Az в цилиндрических

координатах).

 

 

 

те координатные

орты, кото­

За

знак

лапласиана

допустимо выносить лишь

рые имеют одинаковое

направление

во всех

точках пространства.

 

 

 

В правой части

ф-л ( З Л 6 ) вместо rot

Е и rot Н подставим

соот­

ветствующие выражения из (3.14). Тогда

 

 

 

 

 

 

 

— V2 Н =

і № а (— і со(ла Н); — у 2 Е

=

І СОЦд (І №а Ё).

 

Введем комплексную величину

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К = 1 «в

 

 

/м

 

 

 

 

(3.21)

и назовем

ее коэффициентом

распространения

в

среде.

Это

упро­

щает

запись уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V2 Н — к2

Н = 0,

v 2

Е— к2 Ё = 0.

 

 

 

(3-22)

Полученные дифференциальные уравнения второго порядка на­

зываются

однородными

волновыми

уравнениями

 

(уравнениями

Гельмгольца).

Однородные волновые уравнения (3.22) для обоих векто­ ров идентичны. Поэтому должны быть одинаковыми решения этих

уравнений для векторов Е и Н, описывающие волны в безгранич­ ном пространстве. Поскольку при выводе ур-ний (3.22) использо­ вались соотношения (3.15), решения волновых уравнений должны удовлетворять также условиям отсутствия дивергенции Е и Н во всей рассматриваемой области.

Так как векторы Е й Н связаны уравнениями Максвелла (3.14), совершенно излишне решать волновые уравнения как для Е, так и для Н, достаточно решить лишь одно из них. Как будет показано ниже, решением волновых уравнений являются функции координат и времени, которые описывают электромагнитные волны, распрост­ раняющиеся в свободном пространстве, волноводах, объемных резонаторах и других устройствах.

3.5. Плоские волны в неограниченных средах

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Важнейшие свойства электромагнитных волн рассмотрим на про­

стейшем примере плоской однородной

волны, распространяющейся

вдоль оси z в однородной изотропной

среде.

Введем ряд определений. Фазовым

фронтом волны называют

поверхность, проходящую через точки с одинаковыми фазами. По

форме этой поверхности определяют, например,

сферическую

или

цилиндрическую

волну. У плоской

волны эквифазная

поверхность

представляет, собой

плоскость

(z = const). Волна

называется

одно­

родной,

если ее амплитуда

постоянна во всех

точках

фазового

фронта, и неоднородной,

если

ее амплитуда

зависит от координат

точек фазового

фронта.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Анализ однородной плоской волны естественно проводить в' де­

картовой системе координат. Ее поле по определению

не зависит

от поперечных

координат

х н у ,

следовательно, д/дх=0,

 

д/ду

=

— О и лапласиан V 2

в

волновых

ург-ниях (3.22)

согласно

(3.19)

и

(3.20)

превращается

во вторую производную

dz/dz2.

 

 

 

 

РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

Решим при этих условиях ур-ние (3.22) для вектора Е = £е£;, пред­ полагая направление е Е во всех точках неизменным. Из волнового уравнения получаем обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

^

_ ^

= 0-

(3.23)

d z

2

*

 

его общим решением является суперпозиция двух частных реше­ ний:

Ё = Et е~г•• + £сГ е + Г г ,

(3.24)

где Ёо~ = £о~ е ! * + и Ёо~ = £(Г е'Ф" — произвольные

комплексные

коэффициенты, определяемые граничными условиями.

52

Смотрите также файлы