Файл: Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 172
Скачиваний: 3
Умножим почленно второе ур-ние |
(2.16) |
скалярно на |
Н: |
||
H-rotE = — Н - - ^ - , а первое |
ур-ние (2.16) |
на Е: E-rotH = E - - ^ - |
+ |
||
+ E . ( J + J C T ) . Теперь вычтем |
почленно из |
первого |
уравнения |
вто |
|
рое: |
|
|
|
|
|
H - r o t E — E r o t H + H |
— + Е- — + Е-J = — E J C T . |
(4.11) |
|||
dt dt
c
Первые два |
члена этого |
уравнения |
преобразуем с |
|
помощью |
|||||||
известного тождества [5]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
div(A X В) = у ( А |
х |
B) + v ( A x B ) |
= |
|
|
|
|
||||
= B - ( v x A ) — А - (уХВ) = |
В-rot A—A-rot В. |
|
|
(4.12) |
||||||||
Здесь стрелкой |
(-U отмечены |
функции, |
на которые |
|
действует |
|||||||
оператор Гамильтона V . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для линейных |
изотропных |
сред в соответствии |
с |
(2.18) |
D = |
|||||||
= е а Е и B = LI 0 H |
(во и ца 'постоянны в каждой точке), поэтому после |
|||||||||||
дующие два члена |
ур-ния (4.ІІ1) |
можно |
представить |
выражением: |
||||||||
d / Е Р . Н В = _ L / £ E . D + E . e D + |
eH |
н . £ в \ |
|
|
||||||||
dt { 2 |
2 |
2 \ dt . |
|
dt |
|
dt |
|
dt |
j |
|
||
|
|
|
dt |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
Согласно [14] это равенство справедливо также для |
анизотроп |
|||||||||||
ных сред. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем ур-ние (4.11) в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
d i v ( E X H ) + | - ( ^ - + ^ ) + E - J = - E . J C T . |
|
|
|
|||||||||
При подстановке в это уравнение введенных |
ранее |
соотноше |
||||||||||
ний (4.1), (4.2), (4.8) и (4.10) получается |
закон |
сохранения |
энер |
|||||||||
|
|
гии |
в |
дифференциальной |
форме |
(4.7), |
||||||
|
|
что |
и доказывает |
теорему |
Пойнтинга. |
|||||||
|
|
С к о р о с т ь |
э л е к Tip о м а г « и т н о й |
|||||||||
|
|
в о л н ы рассматривается |
как |
скорость |
||||||||
|
|
переноса энергии и массы поля, которые |
||||||||||
|
|
являются количественными |
мерами |
мате |
||||||||
|
|
рии |
и |
ее движения. Определим |
скорость |
|||||||
|
|
волны, основываясь на ее энергетических |
||||||||||
|
|
характеристиках. |
В окрестности некото |
|||||||||
рой точки плотность потока энергии волны равна П, объемная плот ность энергии волны до и искомая скорость волны иэ . Рассмотрим элементарный цилиндр, баковая поверхность которого параллель
на е л |
и П |
(ірис. 4.2). За |
(время At |
энергия |
w = H-ASAt |
заполняет |
|
объем |
A l / = A S A l , где |
Д1 = иэ Д/. |
В то |
же |
время |
W—wAV= |
|
— wAS-u^At. |
Приравнивая |
оба выражения для |
W, получим: П = доиэ |
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
— . |
|
|
(4.13) |
|
|
W |
|
|
|
Энергетическая |
скорость электромагнитной |
волны |
определяется |
||
отношением |
вектора Пойнтинга к объемной |
плотности |
энергии |
||
движущейся |
|
волны. |
|
|
|
4.4. Баланс энергии монохроматического поля
СРЕДНИЕ ЗА ПЕРИОД ЗНАЧЕНИЯ
При гармонических колебаниях мгновенные значения плотности энергии и мощности меняются периодически в каждой точке про странства. Физическую сущность процесса позволяют установить
средние за |
период |
значения |
энергетических |
характеристик |
электро |
магнитного |
поля, |
которые |
будем обозначать символами |
с чертой |
|
сверху. Продолжим с этой |
точки зрения |
изучение монохроматиче |
|||
ского поля, начатое в гл. 3. Будем рассматривать поле в фиксиро
ванной точке пространства. Пусть напряженность |
поля |
Ё =Е д е"'' £ > |
||||||||||||||
а Н = Н д е и | |
' н |
= Н д Є І ( * £ ~ 1 ' , ) |
отстает |
от |
нее по фазе |
на |
угол ф = |
|||||||||
= tyE—ірн. |
Тогда в соответствии с ф-лой |
(3.4) |
мгновенные |
значения |
||||||||||||
компонент |
|
поля |
Е = |
Vх 2Е Д cos(co^+ipEj |
и |
Н = |
|/ 2 Нд |
cos |
(<at+ |
|||||||
+ урЕ—'ф). |
Не теряя общности, положим начальную фазу |
грЕ = 0. |
||||||||||||||
При |
этом |
мгновенное |
значение вектора |
|
Пойнтинга |
|
определится |
|||||||||
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П = |
Е х Н = 2(EflXHfl)cos(D*-cos(co*— г|>) = |
(Ед х HA)[cos гЬ + |
||||||||||||||
-f cos (2ш t—4>)] = |
(Ед X Нд) [cos ab (1-f-cos 2со t) + sin г|э sin 2© t\. (4.14), |
|||||||||||||||
Согласно |
предпоследнему выражению |
(4.14), |
вектор |
П |
имеет |
|||||||||||
постоянную |
|
составляющую |
П = f E H X HR)cosa|> и переменную |
состав |
||||||||||||
ляющую |
двойной частоты |
2u*t с амплитудой Е д х Н д . Поэтому если |
||||||||||||||
•$Ф0, |
то |
какую-то |
часть |
периода |
2Аії/Т=ір/л |
вектор |
Пойнтинга |
|||||||||
отрицателен, |
т. е. поток |
энергии |
меняет |
направление |
движения |
|||||||||||
на обратное (рис. 4.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Другая |
трактовка основывается на последнем_ |
соотношении |
||||||||||||||
(4.14). Первое слагаемое |
вектора |
Пойнтинга |
П а = П(1 +cos2o>/) — |
|||||||||||||
активная |
компонента |
— не меняет своего направления, |
она |
пуль- |
||||||||||||
сирует_около среднего значения П |
с двойной |
частотой, |
меняясь от |
|||||||||||||
О до |
2П |
(рис. 4.4). Неравномерность во времени |
активного |
пото |
||||||||||||
ка энергии объясняется колебательны^ характером поля. Второе
слагаемое |
П р = (Е Д Х Hjjsinip sin2<otf=IIpm sin2co^ — |
реактивная |
|
компонента |
— соответствует колеблющемуся потоку энергии, пе |
||
риодически |
(четыре раза за |
период Т) изменяющему |
направление |
своего движения; в среднем |
эта компонента не создает перемеще |
||
ния энергии |
в пространстве. |
|
|
Ряс. 4.3 |
Рис. 4.4 |
Если векторы Е и Н синфазны |
(г|) = 0), то П = Е д х Н д , П Р = 0 и |
П = П а = ( Е д X H J (1 + cos2W). |
|
Введем комплексный вектор Пойнтинга как произведение ком |
|
плексного действующего значения Е на комплексно-сопряженное
действующее |
значение Н: |
|
—!ФН |
|
|
|
~ |
. |
* |
! |
|
іф |
|
П = Е х Н = Е д е |
Е Х Н д е |
= Е д х Н д е |
= |
|||
|
= |
(Ед ХНД ) |
(cos ір + і sin гр) = |
ІЇ+ і П р т . |
(4.15) |
|
Среднее за период значение плотности потока энергии равно вещественной части комплексного вектора Пойнтинга [см. ф-лу (4.14)]:
т
П = у - j"n<# = (Ед хНд)созг|з = Ren . |
(4.16) |
о
Мнимая часть комплексного вектора Пойнтинга равна ампли туде реактивной компоненты плотности потока энергии:
І т П = = І т ( Е х Н ) = (Ед ХНд)5Іп> = П р т . |
(4.17) |
Модуль комплексного вектора Пойнтинга равен амплитуде ос циллирующей 'Составляющей плотности потока энергии | П | = ЕД Х Н д (рис. 4.3).
Определим теперь мгновенное значение объемной плотности электрической энергии (4.1):
а>, = — E - D = |
-52-P = e.£2"cos»(©/ + |
^ ) |
= |
|
|
2 |
2 |
Д | |
|
|
|
= - | - £ 2 [ l + c o s 2 ( c o f + ^ £ |
) ] = |
- | - E . E [ l + c o s 2 ( t o / + |
ifE)]. |
(4.18) |
|
Средняя^) объемная плотность |
электрической |
энергии |
|
||
4 ) Здесь и далее под словом ореднее .имеется в виду «среднее за период значение»; оно обозначается чертой сверху.
|
|
|
|
|
шэ = |
- ^ - Ё - Е |
= - ^ | £ | |
2 . |
|
|
|
|
(4.19) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
Это соотношение |
в общем случае вытекает |
из |
того, |
что согласно |
(3.3) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
А • А = |
(ех Л 1 Д |
е1 *» + |
е2 |
А2Д |
е1 |
* |
+ |
|
е3 Азд е1 |
*•). |
|
|
|
|
||||
|
|
|
(еі Л 1 Д |
е - 1 |
*• + |
ег |
Л э д |
в " 1 * |
+ |
е3 |
Л з д е - 1 |
*•) = |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= Л 1 Д + Л 2 Д + Л З Д = И12 - |
|
|
|
|
( 4 - 2 ° ) |
|||||||||||
|
Обозначение |
«квадрат |
модуля» соответствует |
|
сумме |
квадратов |
действую |
||||||||||||||
щих значений координатных компонент вектора А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Аналогично |
определяется |
средняя |
|
объемная |
плотность |
маг |
|||||||||||||||
нитной энергии |
(4.1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ш м = ^ Н . Н |
= Ь ь | / / | * . |
|
|
|
|
(4.21) |
||||||||||
|
Средняя |
объемная |
плотность |
мощности |
джоулевых |
|
потерь |
в |
|||||||||||||
проводящей |
среде |
(4.9): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
р п р = с г Ё - Е |
= сг | Е\\ |
|
|
|
|
|
|
(4.22). |
|||||||
|
Средняя |
объемная |
плотность |
мощности |
потерь в |
диэлектрике |
|||||||||||||||
определяется из (4.22) с заменой |
а по ф-ле |
|
(3.9): |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Рд = |
co8 a tg6| £ | 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
(4.23) |
||||||
|
Средняя |
объемная |
плотность |
мощности |
сторонних |
сил |
(4Л0). |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
рст |
= Rep C T = |
Re (— Ё- JC T ) |
, |
|
|
|
(4.24) |
|||||||||
где |
Рст =—Ё-Лст = Рст + і Яст — -комплексная |
объемная |
плотность |
||||||||||||||||||
мощности сторонних сил. Реактивная составляющая qCi |
появляет |
||||||||||||||||||||
ся |
в том |
случае, |
если разность |
фаз |
между |
Е |
и JC T отлична |
от |
|||||||||||||
О и л. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т Е О Р Е М А П О Й Н Т И Н Г А Д Л Я К О М П Л Е К С Н Ы Х З Н А Ч Е Н И Й
Вывод уравнений сохранения энергии для монохроматического по ля проводится на базе основных ур-ний (3.13) аналогично предыду-
|
|
* |
|
щему. Второе ур-ние (3.13) умножается скалярно на |
Н |
(магнит |
|
ные потери не учитываются). Вектор Ё умножается |
почленно на |
||
уравнение, комплексно-сопряженное с первым ур-нием |
(3.13), в ко |
||
тором 8а заменяется по ф-ле (3.8); при этом і меняется на |
—і. За |
||
тем из первой строчки вычитается вторая: |
|
|
|
|
H-rotE = — Н-іо)(хаН |
|
|
Ё-rot Н = |
— E.icosa E+ Ё- (me a tg6+ а)Е + EJCT |
|
|
H r o t E - E*-rotH+і |
ш ( ц а | Я | 2 — є а | £ | а ) + ( 0 ) e a t g 6 + a ) | £ | 2 = — |
Ё J*CT |
|
