Файл: Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 176

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

или с

учетом

тождества

 

(4.5)

div (ЁхН)+

 

\<д(\1ь\Н\2

+ еа\Е\2)

+

+ (toea tg 6+10)

| £ | 2 = — E - J C T . Применив ф-лы

(4.15), (4.19), (4.21) —

(4.24)

и обозначив ра=,Ря

+ Рпр, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d i v l f +

і2со (шм—ы>э) 4-рп =

р с т

+ Ucr-

 

 

 

( 4 - 2 5 )

Это комплексное уравнение разделим на вещественную и мни­

мую части, имея в виду, что

n = Ren+'iImII = n + iIIpm.

Веществен­

ная часть представляет собой дифференциальную форму

теоремы

Пойнтинга

для

средних

мощностей

монохроматического

поля:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

divn + J„=~PeT.

 

 

 

 

 

 

 

(4-26)

Д л я

произвольного

объема

V,

ограниченного

поверхностью

S,

справедлива интегральная форма этого уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

ф П d S 4-

J

p^V

=

j

pC T dV,

т. е. Р 2 4- Р п

=

РСт-

(4.27)

 

 

 

S

 

 

V

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мощность,

получаемая

 

монохроматическим

 

полем

в

некотором

объеме

от сторонних

сил,

 

равна

в

среднем

сумме

мощности

излу­

чения

из

этого объема

 

и

мощности

потерь. Сравнив

ф-лы

(4.26)

и

(4.27)

с

(4.6)

и (4.7),

обнаружим

отсутствие

слагаемого,

соответ­

ствующего

изменению

запаса

энергии в

рассматриваемом

объеме.

Это объясняется

тем,

что

в

гармонически

 

изменяющемся

поле

средняя

объемная

плотность

энергии в

каждой

точке

неизменна,

так как в каждой точке напряженности поля периодически прини­ мают одни и те же значения.

Уравнение

баланса электромагнитной

энергии для

мнимых

частей (4.25) в дифференциальной форме

записывается

как

 

div Пp m +

2со ( ш м ^ а д

=

q„,

(4-28>

а в интегральной форме как

 

 

 

 

ф П р т d S 4- 2со J' (ww—w3)dV

= J qCTdV;

Qs

4- 2 c o ( ¥ M - W a ) = QC T .

s

v

v

 

 

(4.29)

 

 

 

 

 

Реактивный поток энергии через границу области. Qs =

= $ n P mdS (в среднем он равен нулю) появляется в том случае, если

S

внутри этой области средние за период запасы магнитной WM и электрической Wa энергии не равны между собой, либо сторонние силы имеют реактивную составляющую мощности Q C T . В зависи­

мости от знака разности (WM—Wa)

реактивный поток носит маг­

нитный («индуктивный») или электрический («емкостный») харак­ тер.

Показательно сравнение ур-ний (4.27) и (4.29) с аналогичным соотношением для комплексной мощности S в нети переменного

тока S = P + iQ = AR + i2coi(-^-ZJ2 —l —CU2 j, где выражение в скоб­ ках соответствует разности магнитной энергии индуктивности и

электрической энергии конденсатора.

В качестве примера рассмотрим применение теоремы Пойнтин­ га (4.27) к различным областям линии радиосвязи (рис. 4.5).

5, ^ — -

іv,

Передатчик№

I

*

 

Прием-

 

 

 

 

п3

/ Г

ник

 

• V

 

'з

I

 

 

 

 

Рис 4.5

Область 1 включает радиопередающую антенну. Здесь тешювые

потери

значительно

меньше,

чем

мощность

сторонних сил

( Р п <

< Р с т ) ;

запас электрической

и

магнитной

энергии

в поле

вокруг

антенны в среднем постоянен. Избыток энергии выходит за

грани­

цы области в виде электромагнитного излучения, поэтому Ps

(Si)

=

— ф Il - dS>0 . Область

2 в

промежуточной

части

пространства

не

содержит

сторонних

сил

(Рст = 0);

тепловые

потери в атмосфере

приводят к тому, что входящий

в

эту

область

«отрицательный»

поток

электромагнитной

энергии

Ръ

(S'2),

несколько больше,

чем

«положительный»

выходящий

поток Ps(Sl),

поэтому

поток

Р Е (S2)<0

И равен по величине Р п

в V2-

Область 3 включает при­

емную антенну, которая отбирает часть мощности от проходящей волны и передает ее приемнику. Поэтому здесь, кроме тепловых потерь в среде и материале антенны, имеются потери за счет пре­ образования части энергии свободно распространяющейся волны в энергию волны, передаваемой по фидеру от антенны к приемни­

ку. Поток Ф I I - d S < 0 и равен

по модулю сумме этих потерь.

 

СКОРОСТЬ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ

Скорость волны в линейной среде, как и скорость света, не

зависит

от интенсивности полей;

следовательно, она одинакова

во

всех

точках и неизменна в течение периода колебаний. Поэтому

из

ф-лы

т

т

wdt или

 

 

(4.13) следует, что Г 1 Ш = и э f

 

 

 

 

 

 

(4.30)

Энергетическая

скорость гармонической

волны равна

отноше­

нию среднего вектора Пойнтинга к средней

объемной

плотности

энергии волны.

 

 

 

 

4.5. Энергетические

характеристики

'

плоской

однородной

волны

 

 

Свойства плоской однородной электромагнитной волны рассматри­ вались в параграфах 3.5—3.7. Дополним полученные результаты. Рассчитаем комплексный вектор Пойнтинга (4.15) по известным значениям составляющих поля [ф-лы (3.29) и (3.32)]:

*

. —

к г

—ік

г %

—к

г \к.

г

 

П = Е х Н = £ 0 е

а

е Р

 

а

е е

( е £ Х е * ) =

 

~ | 7

. - ^ в

Є

 

|Z„1 Є

Є

^

( 4 ' d l >

|ZB |e

 

 

1

в і

 

 

 

Мнимая часть вектора Пойнтинга появляется при ненулевом фазовом угле грв, т. е. обусловлена потерями в среде. Вектор П направлен вдоль оси 0z, т. е. параллелен фазовой скорости волны. Среднее значение вектора Пойнтинга

 

 

П =

ReІЇ = l ^ J ! e ~ 2 K * 2

cosгрв ег .

 

(4.32)

 

 

 

 

 

 

I |

 

 

 

 

 

Для диэлектрика

г|>в<С1

и

cos я р в ^ 1;

для

проводника

г|зв = 45°

и cos

грв = 0,707.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оценим мощность

волны £ = 2 0

мкВ/.м,

проходящей

по _ноірмали

через пло­

щадку

S=il0 м2 . Волна

распространяется в

воздухе. Тогда

P = IIS= (20-10~6 )2 Х

X 10/377=1]0,6-Л0-12

Вт=10,6 пВт, так как Z B 0 = 377 Ом.

 

 

 

В

диэлектрике

средние

объемные (плотности

электрической и

магнитной энергии [см. ф-лы (4.19), (4.21)]:

щ =

 

| Е |2 =

-|-1 Е0 Iі

е ~ 2 к « 2

,

 

(4.33)

м 2 і і

2

Щ\~2к«г

= 1<ЦЕа\е-2к«г

,

(4.34)

гЛ

.

2 1

 

 

 

 

 

1

 

 

так как |Z B | 2 =p a /ea - Объемные плотности магнитной 'И электриче­ ской энергии волны ,в диэлектрике равны; /поэтому в волне отсут­ ствуют реактивные потоки энергии. В процессе распространения волны энергия непрерывно переходит из электрической в магнит­ ную и обратно. Равенство энергий позволяет говорить о равновесии электрического и магнитного полей в распространяющейся волне.

Рис. 4.6

Скорость распространения волны по ф-ле (4.30)

 

 

 

П

П

 

| £ о 1 2 / | 2 в |

1

/ в Г

е,

(4.35)

« э = — =

— =

 

е« =

—

1 /

— е . =

.

 

W

Ш9 + и м

 

е а | £ 0

1 2

ea

V

Ца

V &<№а.

5

диэлектрике

с

малыми

потерями

энергетическая

скорость

волны

совпадает

по

величине

и направлению

с ее фазовой

ско­

ростью v m (3.39).

 

 

 

 

 

 

В проводящей

среде

выражение

(4.33) для w3 остается 'справед­

ливым; | Z B | определено

ф-лой (3.49) и

 

 

 

 

Va \Е0\*Є

=

 

F

-2к 2

(4.36)

 

 

СОЦа/О

2(0

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отношение средних объемных плотностей магнитной и электри-

ческой энергии

в проводнике т г =

 

— — > 1,так как

а > с о е а .

Шэ 8а /2 (Овд

Плотность магнитной энергии в данном случае значительно преоб­ ладает над электрической. Это вызывает появление реактивной со­ ставляющей вектора Пойнтинга, равной по величине активной (•фв=45°). Следовательно, дважды за период и четверть всего времени поток энергии движется в обратном фазовой скорости на­ правлении (рис. 4.3).

4.6. Теорема единственности

Методы решения задач электродинамики, основанные на рассмот­ ренных выше уравнениях, могут быть различными. Однако реше­ ние, полученное каким-либо способом, единственно, т. е. электро­ магнитное поле определяется од­ нозначно по заданному распреде­ лению источников.

Содержанием теоремы един­ ственности является формули­ ровка минимального числа до­ полнительных условий, при кото­ рых задачи электродинамики ре­ шаются единственным образом, и доказательство единственности решения при этих условиях. Ог­ раничимся рассмотрением перио­ дических решений — монохрома­ тических полей.

В н у т р е н н я я

з а д а ч а .

 

 

 

Пусть

область

пространства (рис.

 

 

 

4.6), в

которой

ищется

решение,

ограничена

изнутри поверх­

ностью

SA,

а извне — поверхностью

SB (SA может

отсутствовать

возможно

также несколько внутренних границ

S'A,

S"A , ... ) .

Тогда справедлива следующая теорема: монохроматическое электромагнитное поле в определенной ограниченной области V определяется однозначно, если:

— в каждой точке

области среда обладает либо электрически­

ми, либо магнитными

потерями (є">0, либо р " > 0 ) ; величина

этих потерь может быть весьма мала;

—заданы источники в этой области;

—заданы значения тангенциальной составляющей электриче­ ского или магнитного вектора на границе этой области (краевое условие). Заметим, что физически краевое условие определяется теми источниками поля, которые расположены вне рассматривае­ мой области.

Докажем эту теорему способом от противного. Предположим, что заданному распределению сторонних источников и касательных

составляющих

на поверхности

S=SA+SB

отвечают два

решения

Е ь

Hi и Ег, Н2 . Уточним, что на границе требуется совпадение

либо

Еіт

и Е2 т . либо Н 1 Т и Н 2 т , либо на

части

поверхности

должны

совпадать Е т

, а на остальной части Ht .

 

 

 

 

Исследуем

разностное поле

Ё = Ё 2

— Ё 4 ;

Н = Н2 —Ht .

К

этому

полю энергия

от источников не поступает, так как сторонние

силы

для полей Ei, Hi и Ёг, Н2 одинаковы и для разностного поля Е, Н

исчезают (Рст = 0).

Невозможно также и поступление энергии

че­

рез границы объема

[см. ф-лы

(4.3), (4.16), (4.27)]: Ръ =§

Ї Ш

=

 

 

 

s

 

 

= Re s$

(EXH)dS = 0, так как

по условию в любой точке границы

5 либо

Ёт = Е і т — Ё 2 т = 0 либо

Н х = НІХ —Н2 * = 0. Следовательно,

теорема

Пойнтинга

(4.27) для

разностного поля примет вид

Р п

= 0

(мощность потерь в поле равна нулю). Так как среда в каждой

точке объема

V имеет потери, например, электрические, разностное

электрическое

поле в

любой

точке внутри поверхности S должно

быть равно

нулю. Из

уравнений Максвелла

(3114)

получаем, что

разностное

магнитное

поле

также

равно

нулю.

Если в среде

имеются только магнитные потери,

то вначале

доказывается, что

H s O , а затем, что Е = 0 .

V, заполненном

 

 

Итак, в замкнутом

объеме

средой с потерями,

периодическое поле не может существовать, если отсутствуют сто­ ронние источники этого поля и электромагнитная энергия через

границы

S этого объема

не подводится; Ё = Ё 2 — E t = 0 и Н = Н 2 —

— Н ! = 0 ,

что и доказывает

сформулированную, ранее теорему.

Физически очевидно, что при отсутствии потерь в среде возмож­ но существование свободных незатухающих колебаний с полем Е,

Н,

не

связанных с источниками

и удовлетворяющих

условию

Ет

= 0

на

идеально проводящей

границе. В этом случае

решение

внутренней

задачи становится неоднозначным.

 

Смотрите также файлы