Файл: Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 177

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В н е ш н я я

з а д а ч а .

Пусть рассматриваемое

пространство

неограниченно, т. е. внешней границы SB

на рис. 4.6 не существует.

Это эквивалентно тому,

что SB представляет

собой

сферу беско­

нечно большого

радиуса

R-^-oo. Тогда

справедлива

следующая

теорема: монохроматическое электромагнитное

поле

определяется

вбезграничной области однозначно, если:

—в каждой точке пространства среда обладает либо электри­ ческими, либо магнитными потерями;

—заданы источники в этой области;

—заданы значения тангенциальной составляющей электриче­ ского или магнитного вектора на 'внутренней границе области;

—все источники находятся на конечном расстоянии от начала координат;

—поля убывают на бесконечности 'быстрее, чем 1/R.

Последнее условие запишем следующим образом:

I Е Х , 2 1 < , | Н х , 2 1 < -А -

при R-+ со,

(4.37)

где б — некоторое положительное число,

а Ео, Н0 —

положитель­

ные постоянные.

 

 

Заметим, что первые три условия совпадают с соответствующи­ ми условиями для внутренней задачи. По доказанному ранее для

разностного

поля

Е, Н равны

нулю: мощность

сторонних

сил

/э ст = 0 (по

второму условию)

и

мощность волны,

поступающей в

рассматриваемую

область через

внутренние границы SA: PZA

= 0

(по третьему условию). .Рассмотрим мощность волны, проходящей

через

сферу SB

бесконечно

 

большого радиуса R-t-oo,

охватываю­

щую

по четвертому условию

все

сторонние

источники

поля. Из

ф-лы

(4.37) вытекает

следующая

оценка для разностного

поля:

| £ | = £ = | £ і| + | £ 2 | < ! § - в ;

^ | ^ | ^ | + i ^ 2 | < - | H T - T a , K H M o 6 ' P a 3 0 M .

Рів =

(j) Re (E X H) dS

<

 

4?t #

=

1 6 л ^ " 0

-+0 при R^oc.

Итак,

 

sB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pi. =PIA+PIB

= 0 и

снова

по ф-ле

(4.27) Р п = 0 , что

приводит к

нулевому разностному полю

Е = 0 ,

Н =

0. Следовательно, получение

двух различных решений невозможно.

 

 

 

 

Физический смысл пятого условия заключается в том, что до­

пускается лишь решение в виде расходящихся

от источников

сфе­

рических волн. Такие волны удовлетворяют принципу

причинности

явлений: причина опережает

следствие. Поля

вначале

появляются

у источников, а

затем, с запозданием,

в удаленных точках;

волны

распространяются от источников. Плотность мощности волн со сфе­

рическим фронтом

при отсутствии

поглощения в среде

по

закону

сохранения энергии уменьшается

обратно пропорционально

площа­

ди сферы S = 4nR2,

т. е. П ~ 1 / і #

2 ;

следовательно,

напряженности

полей \E\~\/R;

| Я | ~ 1 / # . В поглощающей среде

\Е\

и | Я | рас­

ходящихся волн

убывает быстрее,

чем 1/R, т. е. по

закону

(4.37).

Формально уравнения электродинамики допускают также решение в виде сферических волн, сходящихся к источнику. Такие волны фи­ зически нереальны, так как нарушают принцип причинности. Поле сходящихся і(опережающих) волн в среде с поглощением изменяет­ ся медленнее, чем 1/R. Пятое условие исключает из рассмотрения опережающие волны, а также любые плоские волны, проходящие в произвольных направлениях сквозь рассматриваемое (пространст­ во, так как они экспоненциально убывают в направлении своего распространения и экспоненциально возрастают в обратном на­ правлении, что противоречит указанному условию.

Принцип причинности можно ввести в уравнения электродина­ мики иным способом, не прибегая к предположению о затухании волны. Заменим (4.37) условиями излучения: электромагнитное поле на бесконечности должно иметь вид сферических волн, расхо­ дящихся от источников и зависящих от R по закону:

 

 

- L e - * * = - i - e - , f t \

(4.38)

 

 

R

R

 

 

Так как при отсутствии потерь к=\к$=\к.

Следовательно, мгновен­

ные

значения

поля

пропорциональны

Re('l/J?)e ш ~ к Н ) =

= (l//?)cos(cotf—kR). Это условие также исключает из рассмотре­ ния плоские и сходящиеся волны, которым соответствует положительный знак в экспоненте перед к = ік.

Найденное любым способом решение корректно поставленной электродинамической задачи (условие должно содержать все вы­ шеперечисленные пункты) отвечает действительному распределе­ нию поля, и никакого другого решения быть не может.

ЗАДАЧИ

4Л. Напряженность поля волны, распространяющейся в полиэтилене (е=

=2,25), £ = 5

0

мВ/м. Определить

вектор Пойнтинга.

Ответ: П = 9,95

мкВт/м2 .

4.2. Среднее значение вектора Пойнтинга в

меди ( а = 5 8 МСм/м; ц.= 1;

е = 1 ) равно

 

1 мкВт/м2 ; частота

50 МГц. Определить комплексные

действующие

величины электрической и магнитной составляющих поля и отношение средних объемных плотностей магнитной и электрической энергии. Ответ: #=23,2 мА/м;

£=42,9 (1+І) =60,6 е' 4 5 °

мкВ/м;"ш„/юэ =2,3-101 0 .

 

 

воздухе

изотроп­

ным

4.3. Объемная плотность энергии волны, создаваемой в

излучателем1) на

расстоянии г = 100 м от

него, равна

ш = 1 0

пДж/м3 .

Определить мощность излучателя. Ответ: Р% = 377

Вт.

 

 

 

 

 

4.4. Вывести формулу для определения напряженности электрического поля

изотропного излучателя

в воздухе в

зависимости

от

мощности

его

излучения

Р 2

и расстояния до точки наблюдения

г. Ответ: £ = У

30 Р 2

г.

 

 

') Изотропным излучателем называется источник однородной сферической электромагнитной волны, плотность потока энергии которой по всем направле1 ниям (npnr=const) одинакова.

Глава 5.

СТАЦИОНАРНЫЕ ПОЛЯ

5.1. Система уравнений стационарного поля

Стационарными называются поля, неизменные во времени. Они подчиняются общим законам электромагнетизма, но в частном случае, когда все величины постоянны во времени. Упростим сис­ тему ур-ний (2.16), (2.18), считая d/6V=>0. Стороннюю силу пред­ ставим в данном случае, как постоянную напряженность электри­ ческого поля Е с т , которая наряду с собственным полем Е создает в среде электрический ток в соответствии с законом Ома:

rotE = 0

 

 

rotH =

J

 

 

d i v D = p

 

 

divB =

0

•

(5.1)

D = ea E

J = a(E +

ECT)

B - j X a H ,

 

 

Сравнив ур-ния (5.1)

с полной

системой уравнений

Максвелла,

заметим, что обоюдная

связь между

электрическим

и

магнитным

полями утрачена. Магнитное поле не влияет на электрическое. Однако электрическое поле создает в проводящей среде токи, не­ разрывно связанные с магнитным полем.

Полная система ур-ний (5.1) описывает стационарные постоян­ ные магнитные поля. Если же токи отсутствуют (/ = 0), то эта си­ стема распадается на две совершенно независимые группы урав­

нений: левый

столбец соответствует уравнениям

электростатики

для электрических полей, а правый — уравнениям

магнитостати-.

ки для магнитных полей.

 

5.2.

Электростатическое поле

 

СКАЛЯРНЫЙ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ

Электростатическое поле связано с системой неподвижных элект­ рических зарядов. Оно является частным случаем стационарного поля при /==0 и может, следовательно, существовать только в сре­ де, проводимость которой равна нулю. При этом условии получаем из, (5.1) следующую систему уравнений:

 

rotE =

0,

divD = p, D = eaE.

(5.2)

Из, первого

равенства

(5.2)

вытекает,

что

электростатическое

поле безвихревое,

ротор вектора

Е во всех

точках пространства

ра­

вен нулю. Тождество rot

grad

<jfr = 0, известное

из векторного

ана-

79

лиза [5], показывает,

что всякое безвихревое поле

является

потен­

циальным, т. е. может быть представлено в виде градиента

некото­

рой скалярной функции ф. Поэтому выразим напряженность

элект­

ростатического

поля

Е через градиент

скалярного

электростатичес­

кого потенциала

ф, взятый с обратным

знаком, т. е.

 

 

 

 

Е = — grad ф.

 

(5.3)

Знак минус означает, что вектор Е направлен от точки с более

высоким потенциалом к точке с более низким потенциалом.

Градиентом скалярной функции ф называется вектор, направленный о сто­ рону быстрейшего увеличения ф и равный по величине производной по указан­ ному направлению. Производная по любому 'направлению 1 = е/ равна проекции градиента ф на это направление:

дф

-~- = e-grad0. (5.4) dl

Интегрируя ф от точки J до точки 2 (рис. 5.1), получаем с по­ мощью ф-л (5.3), (5.4):

2

2

2

 

ф{2) — ф{\) = J #

= j

gradtp-dl = — j ' E - d l .

(5.5)

і

і

і

 

Разность потенциалов между двумя точками равна линейному интегралу от вектора Е, взятому с обратным знаком, между этими точками; из ф-лы (5.5) следует, что раз-

£ность потенциалов не зависит от пути инте­ грирования. Независимость линейного инте­

грала от пути интегрирования можно пока­

зать также,

 

взяв

интеграл

по

замкнуто­

му

контуру 1->і-і-^2->^2->1. Циркуляция

$

Е• G?1 = 0,

так

как

rot Е = 0

[см.

теорему

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Стокса

(2.12),

а

также

закон Фарадея

(2.11)

при

d/dts=0].

 

Следовательно,

интег­

ралы по Li

и L 2

равны между собой.

 

Рис. 5.1

Формулы

(5.3)

и

(5.5)

позволяют пе- .

рейти от описания электростатического по­

ля с помощью вектора Е к

описанию поля при помощи

функции ф

и обратно. Следовательно, оба описания поля равноправны. Одна­ ко оперировать со скалярной функцией проще, чем с векторной.

Потенциал

ф определен

здесь

неоднозначно,

с точностью

до

произвольной

постоянной

С,

так

как grad (ф + С) = grad

ф +

-fgrad C=gra d ф. Обычно эту неопределенность

устраняют

тем,

что считают электростатический потенциал Земли

равным

нулю, а

в случае уединенных зарядов нулевое значение потенциала

припи­

сывают бесконечно удаленной точке.

 

 

 

 

Определим с помощью ф-лы (5.5) работу внешних сил по пере­

мещению заряда Q в электрическом

поле из точки

/, находящейся

в области нулевого потенциала

[ф(\)

=0], в'произвольную

точку 2.

Смотрите также файлы