Файл: Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 183

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Эта іработа совершается шротив сил

электрического

поля F —QE,

чему соответствует

отрицательный

знак в выражении

dW=—Fdl:

2

2

 

 

 

W = — j F - d l

= —Q j E - d l

=

Q [ # ( 2 ) - 0 ( l ) ] -

Оф (2). (5.6)

іі

Отсюда

следует,

что потенциал

ф какой-либо

точки

численно

равен потенциальной

энергии единичного положительного

заряда,

помещенного

в эту точку. '

поверхностями

уровня,

 

Скалярные поля изображаются

для по­

тенциала эта поверхность называется эквипотенциальной

и соот­

ветствует геометрическому месту точек, где 0=const.

 

Градиент скалярной функции по определению

всегда

перпенди­

кулярен поверхности уровня, поэтому в электростатическом поле линии вектора Е = —grad ф перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА

Напряженность поля точечного заряда Q определяется из ф-лы (1.6): E='D/ea = er Q/'(4n€0 r2 ). Найдем теперь потенциал произволь­ ной точки поля М(г) по ф-ле (5.5) интегрированием от бесконеч­ ности до г, считая ф(оо) = 0:

а>

Г

Линии поля Е расходятся от заряда по радиусам. Эквипотен­ циальными поверхностями является семейство концентрических сфер.

УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА

Электростатическое поле создается

распределением

электрических

зарядов р. Для нахождения непосредственной связи между

р и

электростатическим

потенциалом

используем

второе

 

уравнение

электростатики

(5.2)

с заменой D на Е, а затем на

ф по

(5.3);

для

однородной линейной среды постоянную єа можно

вынести

за

знак

пространственного

дифференцирования.

Тогда

div D =

= div(ea (—grad

ф)] = — 8 a

div grad$=ip. Двойная

векторная

про­

изводная от ф равна лапласиану

(3.18), следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

^ф =

-р1га.

.

 

 

 

(5.8)

Полученное уравнение

Пуассона

является основным соотношением

теории электростатического потенциала и устанавливает, что

лап­

ласиан

от ф [в декартовой

системе координат — сумма

вторых про­

изводных

от

ф (3.19)] в

каждой

точке поля

 

пропорционален

объемной

плотности

электрического

заряда.

 

 

 

 

 

В области, свободной от зарядов, потенциал поля подчиняется уравнению Лапласа, являющемуся частным случаем ур-ния (5.8):

 

у 2 ф

= 0

при

р =

0.

 

 

 

 

 

 

(5.9)

Уравнения Пауссона и Лапласа определяют лишь дифферен­

циальные свойства

потенциала

в

каждой

точке

поля.

Решение

 

уравнения

 

Пуассона

должно

описывать

 

- поле в целом, с учетом

всех

образующих

 

его зарядов. К линейной среде применим

 

принцип

суперпозиции. Поэтому

получим

 

нужное решение с помощью ф-лы

(5.7),

 

заменив

точечный

заряд

Q

в

точке

N

 

на элементарный объемный заряд pdV

и

 

просуммировав

затем

потенциалы

от

 

всех зарядов в объеме V (рис. 5.2). По­

 

тенциал в произвольной

точке М

 

 

 

 

 

 

• w - J 2

^ -

 

 

 

<5 -1 0 >

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

N, а V — включает

где г — расстояние

между

точками

М

и

все области,

 

имеющие

электрические

заряды.

Если величина р конечна, интеграл сходится при г-»-0, следова­

тельно, решение уравнения

Пауссона

(5.10)

справедливо

для

всех

точек пространства, вне и внутри объема

V.

Это решение

получено

для однородного диэлектрика и может быть проверено прямой под­ становкой ф-лы (5.10) в (5.8).

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Для решения задач электростатики необходимо знать условия на границе раздела диэлектрик — проводник. Внутри проводника электрическое поле отсутствует, так как в противном случае в нем протекал бы ток J = oE. Следовательно, в электростатике на грани­ це любого проводника справедливы граничные условия (2.27), ко­ торые в общем случае были получены лишь для идеальных провод­ ников. В диэлектрике на границе с проводником

£ т = 0 и Е - п = - ^ ,

(5.11а)

где п — нормаль, направленная из диэлектрика в проводник. Согласно (5.3) Е = —grad Ф = — г(дф/о%)—п(дф/дп), откуда

получаем граничные условия для потенциала у поверхности 5 про­ водника:

 

^

= 0 или

A L =

const; дА =

* L .

(5.116)

 

дх

проводника

 

дп

га

поверхностная

Поверхность

эквипотенциальна;

 

плотность

заряда

пропорциональна

нормальной

 

производной

от

потенциала

у его

поверхности.

 

 

 

 

82

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ

 

Отношение заряда уединенного

проводника к его потенциалу на­

зывают электрической

емкостью

проводника: C^Q/ф.

Емкость

данного проводника изменяется, если вблизи имеются другие про­ водящие тела, и зависит от зарядов или потенциалов этих провод­ ников. Взаимное влияние проводящих тел, вызывающее перерас­ пределение зарядов на них и изменение их потенциала, называется

электростатической индукцией.

Система из двух проводников, защищенная от внешнего влия­ ния, называется конденсатором. Так как все линии электрического поля, выходящие из одного проводника, заканчиваются на другом, их заряды равны между собой. Емкость конденсатора определяет­ ся, как модуль отношения заряда одного из проводников к напря­

жению между проводниками

конденсатора:

 

SL

= _ L « i _ .

(5.12)

Конденсатор служит одним из элементов электрической цепи. Емкость его рассчитывают с помощью соотношений электростати­ ки. К определению электростатической емкости между проводни­ ками сводится также расчет одного из важных параметров линии передачи — ее характеристического сопротивления. Поэтому об­ ласть использования методов решения задач электростатики не ограничивается только стационарными полями.

ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

 

Объемная плотность энергии электрического поля

определяет­

ся соотношением (4.1): tw3 =E-D/2;

полная

энергия электростати­

ческого поля, созданного некоторой

системой

зарядов,

выражается

интегралом по безграничному пространству:

где V» — все пространство.

Эту же энергию можно определить, наблюдая постепенное соз­ дание электростатического поля при внесении в него из бесконеч­ ности электрических зарядов. Величина затраченной при этом энер­

гии

соответствует

полной

работе, которую нужно совершить, что­

бы

расставить все

заряды

на отведенные им места, преодолевая

противодействие поля. Работа по внесению в точку М элементар­

ного заряда

dQ(M)

=\p(M)dVM,

согласно ф-ле

(5.6),

dWg=<p(M)x

ХйУмФ(М),

где

ф(М)

— потенциал, созданный в

точке М

всеми

остальными

зарядами

 

и определяемый по

ф-ле

(5.10).

Если

проинтегрировать

dW9

по

объему V, занимаемому

 

зарядами, то

взаимодействие

каждой

пары

зарядов учтется

дважды:

заряд

dQ(N) сопротивляется внесению заряда dQ(M), а заряд dQ(M) — внесению заряда dQ(N). Так как один из зарядов вносится в поле в тот момент, когда второго заряда еще нет, полная энергия систе­ мы определяется половиной соответствующего интеграла:

W9 = -L [9{М)ф{М)йУм=

- і - f PWWM

f

у

V

V

.

(5.14)

9 ( N ) D V N

M N

Итак, энергию поля можно вычислить по распределению в нем

электрических зарядов. Интеграл в этом случае охватывает

лишь

области, где заряды не равны нулю. Соотношения

(5.13). и

(5.14)

для энергии электростатического поля эквивалентны, что

можно

доказать с помощью ф-л (5.2) и (5.3). Из (5.14) легко определить

энергию электрического поля уединенного проводника

W3=

—С\ф\2

и конденсатооа

№ э = — C | t 7 | 2 .

 

 

5.3.

Задачи электростатики

 

 

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Электростатическое поле можно определить по заданному распре­

делению зарядов (прямая задача

электростатики)

с помощью

ф-лы

(5.10) или в простейших случаях

по теореме

Гаусса (2.1). Однако

лишь в небольшом числе задач

(системы с

симметрией,

точечные

заряды) известно заранее распределение зарядов

в пространстве

или по поверхности. Поэтому область применения прямых

задач

электростатики ограничена.

 

 

 

 

 

Практический интерес представляют граничные

задачи

электро­

статики — определение поля в

диэлектрике, ограниченном

систе­

мой проводников. При этом для

каждого из проводников

задается

либо его потенциал 0fe=const (граничное условие Дирихле), либо полный заряд Qu. Во всех случаях (если система несимметрична) распределение зарядов по поверхности проводников неизвестно и должно быть найдено в процессе решения задачи.

Единого способа решения таких задач не существует. В ряде простейших случаев применим метод изображений. Д л я более слож­ ных систем используют аналитические методы: разделение 'перемен­ ных, конформные преобразования, разложение по ортогональным функциям. Наиболее универсальны методы, использующие матема­ тические и физические модели, однако они требуют громоздких установок либо быстродействующих ЭВМ с большим объемом па­ мяти1 ) .

') Рассмотрение многочисленных методов решения граничных задач элект­ ростатики выходит за рамки данного курса. Желающие смогут воспользоваться обширной литературой по этим вопросам, на/пример, |[12], {32], (33].

ОДНОЗНАЧНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

В теории электростатических полей доказываются следующие по­ ложения. Решение поставленной выше граничной задачи сущест­ вует. Оно однозначно '(единственно), т. е. физически достоверно (если заданы заряды на всех проводниках, то чтобы определить произвольное слагаемое в решении для потенциала, необходимо за­ дать потенциал какой-либо точки поля). Решение устойчиво: при незначительном изменении граничных условий оно заметно меняет­ ся лишь в окрестности границы, где произошли эти изменения. До­ казательство этих положений составляет содержание теоремы единственности для электростатики.

МЕТОД ИЗОБРАЖЕНИЙ

Суть метода изображений заключается в том, что заряженные про­

водящие

граничные

поверхности

заменяются

эквивалентными им

зарядами-изображениями,

 

находящимися

вне

объема рассматри­

ваемого

диэлектрика.

Величи­

 

 

 

 

 

на и положение зарядов под­

 

 

 

 

 

бираются

таким образом,

что­

 

 

 

 

 

бы обеспечить эквипотенциаль-

 

 

 

 

 

ность этих поверхностей и вы­

 

 

 

 

 

полнение

граничных

условий.

 

 

 

 

 

Так, поле в диэлектрике до и

 

 

 

 

 

после замены сохраняется

не­

 

 

 

 

 

изменным, а

граничная

задача

 

 

 

 

 

сводится

к

определению

поля

 

 

 

 

 

заданных

зарядов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Простейшим

примером

ис­

 

 

 

 

 

пользования

метода

изображе­

 

 

 

 

 

ний

может

служить

определе­

 

 

 

 

 

ние

поля

точечного

заряда,

 

 

 

 

 

расположенного

над

 

проводя­

 

 

 

 

 

щей

плоскостью

S. В этом

слу­

 

 

 

 

 

чае

заряд-изображение

имеет

 

 

 

 

 

ту же величину, что и исход­

 

 

 

 

 

ный, но обратный знак и

 

 

 

 

 

расположен

 

в

зеркально-

 

 

 

 

 

симметричной точке

(рис.

5.3).

Рис.

5.3

 

 

Потенциал

суммарного

поля

 

 

 

 

 

от заряда Q и его

изображения

—*Q

на

граничной поверх-

ности S

равен

нулю.

Суммируя

с

учетом

направлений элек-

трические поля

(1.6)

этих

зарядов, получаем, что в произвольной

точке М на поверхности S вектор Е имеет только нормальную со­

ставляющую £ „=Qcosd/(4jte a r 2 )

=Q/i/(4jtea r3 ). Поверхностная плот­

ность заряда в этой точке с т э = — г а Е п

=

—Qhf(4nr3).

Смотрите также файлы