Файл: Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 182

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ПОЛЕ БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ ЗАРЯЖЕННОЙ НИТИ

Пусть линейная плотность заряда нити равна т, Кд/м. Исполь­ зуем в решении симметрию поля относительно оси нити. Окружим нить цилиндром радиуса г и применим к поверхности этого ци­ линдра теорему Гаусса (2.1). Поток электрического смещения че­

рез единицу длины

/ ) 2 я г = т , откуда напряженность

электрического

поля

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е =

- £ ^ - .

 

 

 

 

 

(5.15)

 

 

 

2яеа г

 

 

 

 

 

 

Разность потенциалов

между

точками г и Го в этом

поле

 

ф(г)-ф

(го) = -

f Edr

=

2яеа

Г

=

2леа

In

«L.

(5.16)

 

 

J

 

J г

 

 

г

 

 

 

Го

 

 

г

 

 

 

 

 

Эквипотенциальные поверхности поля нити — круговые цилиндры. При принятой идеализации (нить бесконечной длины) суммар­ ный заряд нити равен бесконечно большой величине. Разность по­ тенциалов между г и бесконечно удаленной точкой (го->-оо) также бесконечна. Поэтому в таких задачах задают потенциал какой-

либо точки на конечном расстоянии от оси.

ЕМКОСТЬ КОАКСИАЛЬНОЙ ЛИНИИ

Рассмотрим бесконечную по длине систему коаксиальных провод­

ников, заряженных

равными по величине разноименными зарядами

с линейной плотностью т и —т (рис. 5.4). Очевидно, что

заряды

сосредоточиваются

на обращенных друг к другу поверхностях про­

 

водов. Поле между проводами

идентич­

но полю заряженной нити в силу одина­ ковой симметрии обеих систем. Поэтому

разность

потенциалов

между

проводни­

ками

линии

определяется

ф-лой

(5.16)

при

г=а

и г0=Ь:

 

ф(а)—ф(Ь) =

= (т/2яіЄа)1П(6/с).

 

 

 

 

 

Емкость,

приходящаяся

на

единицу

длины

коаксиальной

линии,

определяет­

ся теперь

в

соответствии

с

ф-лой

(5.12):

Сі

=

 

 

 

 

 

2яеа

и

ф(а)-ф(Ь)\

 

 

\п(Ыа)

 

 

 

 

Рис. 5.4

 

 

 

 

 

 

 

(5.17)

 

 

 

 

 

 

 

 

Например, при « = 2 мм, 6 = 5 мм, є = 2 , Ci=il21

пФ/м.

 

Легко показать, что и в проводниках и в наружном простран­ стве электростатическое поле линии отсутствует. Действительно,

86

суммарный заряд, заключенный внутри коаксиальной цилиндриче­ ской поверхности с радиусом г<а или r>b, равен нулю; по тео­ реме Гаусса отсюда следует, что D = E = 0.

ПОЛЕ ДВУХ ЗАРЯЖЕННЫХ НИТЕЙ

Пусть нити, расположенные на расстоянии 2 b друг от друга (рис. 5.5), несут разноименные линейные заряды с плотностью т и —т. Результирующее поле симметрично и является суперпозицией по-

Рис. 5.5

 

 

лей каждой из

нитей

[ф-ла (5.16)]. Примем,

что потенциал точки

Р в плоскости

симметрии: ф+(г0) +ф (го) = 0.

Тогда

Эквипотенциальные

поверхности

= const] описываются

уравнением Ыг\ = const. Известно, что окружность является геомет­ рическим местом точек, отношение расстояний которых от двух данных точек постоянно. Поэтому в пространстве указанному урав­ нению отвечают круговые цилиндрические поверхности. Положе­ ние центра (—d) произвольного эквипотенциального цилиндра ра­

диуса а, находящегося

слева от плоскости симметрии, определяет­

ся равенством отношений расстояний до заряженных

нитей для

диаметрально расположенных точек Di и Dz:

 

Tj_ __

(d + a)+b

(d — a) + b

 

rt

~

(d+a)—b~—(d—a)

+ b'

 

откуда

 

 

 

 

 

=

+

и- A = — - f - j / " ( - f ) ' - l -

(5Л9)

Оси эквипотенциальных поверхностей не совпадают с положением нитей.

ПОЛЕ ДВУХПРОВОДНОЙ л и н и и

Пусть два параллельных цилиндра радиуса а, расстояние между осями которых равно 2 d, имеют потенциалы соответственно фі и

—01. Определим поле этой системы и емкость, приходящуюся на единицу длины.

Очевидно, что заданная система имеет в пространстве вне ци­ линдров такое ж е поле, как две заряженные нити с равными раз­ ноименными зарядами, так как поверхности цилиндров могут быть совмещены с эквипотенциальными поверхностями поля нитей. Ли­ нейные плотности зарядов находятся подстановкой ф-л (5.19) в

(5.18):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~~ In [d/a +

V(d/a)2

— l] _

Arch (d/a)

'

 

 

 

отсюда емкость, приходящаяся на единицу длины

системы;

 

 

 

Сг

 

 

 

Т

 

 

 

Ша

 

 

 

ЛЕ/т

 

(5.20)

 

 

U

 

2ф1

 

In [d/a + V(d/a)2

— 1 ]

Arch (d/a)

 

 

 

 

 

 

 

Если

2d>l0a,

 

то пользуются

приближенной

формулой.

Пре­

небрегая

под квадратным

корнем единицей по сравнению, с

(d/a)2,

получаем

с погрешностью менее

1 %:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сх =

ln(2d/a)

•

 

 

 

 

(5.21)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л

Е а

 

 

 

 

 

 

 

Напряженность

поля

определим

для

произвольной

точки

М(а,

ср) на поверхности

левого

провода: Е =

—gradgb = —Щ- е г

=

 

L _ A i n I i - e r .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

от

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2леа

дг

Гх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выразим

гі и г2 в цилиндрической

системе координат

с центром

в

точке

ОІ и

после

дифференцирования

подставим

г = а и Ь —

= У

d2—a2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 - І Ці-5- =

дг

hi А

=

—

{\n[r2

+ (d + bf — 2r(d + 6)cos<p] —

 

 

дг

rt

 

r 2

 

дг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_ m [ r * + ( r f _ 6 ) 2 _ 2 r ( d - & ) c o s < p ] } =

— 2 ; ~ 2 ( d + f e ) ; o s < p

4 —

 

 

1

 

 

 

v

 

 

 

Y /

r2

+

(d +

b)2 — 2r (d + b)cos(f

 

 

 

 

2r — 2 (d — 6) cos ф

 

 

 

a — (d+b) cos <p

 

 

 

 

r2 + (d — b)2 — 2r (d — 6) cos ф

 

(d + 6) (d — a cos ф)

 

 

 

 

 

а — (d — 6) cos ф

_

 

—26

 

 

- 2Уй* — а*

 

 

 

 

(d — b) (d — a cos ф)

a(d —a cos ф)

a (d — a cos ф)

 

 

Теперь найдем напряженность электрического поля и соответ­ ствующую ей плотность электрического заряда [ф-ла (5.Ы)] с уче­ том того, что е г = — п :

э

2я a a — a cos ф

'

З а р яд и поле второго

проводника симметричны

найденным.

Поверхностный заряд распределен по окружности проводящего ци­

линдра неравномерно. Вследствие эффекта близости

(электроста­

тической индукции) плотность заряда

и напряженность

поля

каж­

дого из проводов больше со стороны,

обращенной к другому

про­

воду.

 

 

 

5.4. Поле постоянных токов

Поле постоянных токов определяется величиной и направлением вектора J в каждой точке пространства. Обычно структуру токов приходится рассчитывать для среды, обладающей сравнительно небольшой проводимостью а, в которую помещены электроды про­ извольной формы из металла или другого материала с высокой проводимостью о м ^ > о . К такой задаче сводится, например, расчет заземлений антенн, электрических сетей и аппаратуры.

Поле постоянных токов неизменно, если потенциалы электро­ дов поддерживаюся постоянными за счет стороннего источника энергии; в этом случае не меняется и распределение зарядов. Фи­ зически очевидно, что такая задача -близка к электростатической. Если среда, в которой создано электрическое поле, обладает неко­ торой проводимостью, то токи протекают вдоль линий напряжен­ ности электрического поля J=crE. Их величину и направление не­ трудно определить.

Докажем, что в области, не содержащей свободных зарядов и

сторонних токов, в случае Ом^о,

существует аналогия

между по­

лем постоянных токов и электростатическим —

электростатическая

аналогия,

которая позволяет

применять

для решения

обеих

задач

одинаковые методы. Из ф-лы

(5.1) при Е с т = 0 и уравнения

непре­

рывности

(2.10)

при dp/dt = 0 получаем

уравнения

поля

токов (ле­

вый столбец). Выпишем в правый столбец уравнения

электроста­

тики (5.2)

при р = 0:

 

 

 

rotE

= 0

 

 

 

 

 

 

rotE = 0;

 

 

 

 

 

 

div J =

0;

divD =

0

 

 

 

(5.23)

 

 

J =

о E;

D =

га

E

 

 

 

 

Эти системы уравнений аналогичны при парном

соответствии

величин J X D и о ^ Є а .

 

Как электрическое поле, так и поле

токов

потенциально.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Граничные условия

для вектора D в отсутствие поверхностных

зарядов

[ф-лы

(2.22),

(2.26)]

D2n = Din;

D2JDix

= є а 2 / є 0 і в силу

установленного

соответствия

справедливы для вектора

J

с заменой

еа на о:

J*

= Jun,

Л

/ / «

=

а/ом «

1,

т. е. Л

= 0.

 

 

(5.24)

 

 

 

Смотрите также файлы