Файл: Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 186

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

Нормальные

составляющие

плотностей тока в проводящей

сре­

де

и электроде

равны между

собой; тангенциальная

составляющая

J-t

на границе

электрода

практически отсутствует.

Полученные

траничные условия аналогичны граничным условиям электростати­

ки {ф-лы (5.11а)] для вектора

D: Dn = — а э (нормаль п

направлена

из диэлектрика в проводник)

= 0 с заменой

— о э

на JMn.

Сле­

довательно, полный заряд проводника в электростатической

зада­

че Q = J D-dS

= j a:)dS заменяется для

поля токов на полный

ток,

s

s

/ В Ы т = —/ = —jJ-dS = — J

JndS.

 

вытекающий

из электрода

 

 

 

 

 

s

s

 

 

Полная проводимость

среды между

двумя

электродами

G =

=—ф21. Эта формула аналогична формуле для электриче­

ской емкости С (5.12). Следовательно, ряд соответствий между

полем постоянных токов и электростатическим

можно продолжить.

Д л я

систем с одинаковой геометрией установлены следующие пра­

вила

замен:

 

 

га^а; Q?;/B b l T ; C%G.

(5.25)

Пользуясь полученными соотношениями, легко определить про­ водимость утечки Gi на единицу длины коаксиальной и двухпро­ водной линий, заменив в ф-лах (5.17) и (5.20) е а на о. Электро­ статическая аналогия позволяет также экспериментально опреде­ лять сложные электростатические поля с помощью их моделирова­ ния в ванне со слабопроводящей жидкостью.

5.5. Постоянное электромагнитное поле

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

В соответствии с полной системой ур-ний (5.1) стационарное поле содержит электрическую и магнитную составляющие. Первая из них отвечает левому столбцу ур-ний в (5Л), полностью совпадаю­

щих

с уравнениями

электростатики

(5.2).

Отсюда можно заклю­

чить,

что постоянное

электрическое

поле

потенциально.

Выясним, соблюдаются ли в данном случае граничные условия (5.11) на границе раздела диэлектрика и проводника. Обычно электрические токи создаются в проводниках, поперечные размеры которых малы по сравнению с их длиной, вследствие этого плот­ ность постоянного тока одинакова по всему сечению. Поле описы­ вается системой ур-ний (5.1) и возникает за счет поля Е с т , которое существует в ограниченной области, принадлежащей источнику (рис. 5.6):

. . Э с т = J

EC T -dl = / E - d l + f (E^ + E)-^!

 

где iRi=\Li/'(aiSi)

и #2=£2/(0252) — сопротивления

участков цепи.

"Ток J —аЕ протекает вдоль оси проводника, поэтому

напряженность

электрического

поля внутри

проводника

постоянна

по

сечению

и

имеет только

касательную

к его

поверхности

составляющую.

Если внутри проводника Еп2

= 0, то

согласно ф-ле

(2.20)

у его

по­

верхности Е«п = —Сэ/е0 , что'соответствует

ф-ле (5.11а).

 

 

 

Ряс 5.6

 

 

 

 

В диэлектрике у границы проводника

преобладает,

наоборот,

нормальная составляющая Еп. Пусть,

например, в сечении

mm'

цепи напряжение между проводами 0=6

В, ток 1=1 А,

диаметр

провода

2 а = 1 мм, расстояние между

осями проводов 2 d=\Q

мм;

провода

медные 0 = 5 8 М С м / м . Используем

ф-лу (5.20) для опреде­

ления т=neoU/ln(2d/a) и пренебрежем

неравномерностью распре­

деления заряда по периметру проводника вследствие эффекта бли­

зости. Тогда

£ и

= о7єо=т/(ео2ла) = £/Д2я1п(2с?/а)] = 2-103

В/м.

 

Каса­

тельная

составляющая

 

электрического

поля

Ех

= / / а я а 2

« 2,3 X

X Ю -

2

В/м. Отношение нормальной и тангенциальной

составляющих

En/Ех

 

« 1 0 5 .

Это позволяет пренебречь в диэлектрике

Ех

по

срав­

нению

с

Еп

и

считать

Ех =0. Таким образом, условия

 

(5.1lla), а

следовательно, и (5.116) справедливы. Поэтому постоянное

элект­

рическое

поле

идентично

электростатическому

при

 

 

одинаковом

распределении

 

зарядов

 

или

потенциалов

в системе

 

 

проводников.

Поле

 

в диэлектрике при протекании в проводниках

 

стационарных

токов практически неотличимо от электростатического

 

поля

при

том же

распределении

потенциалов в системе1 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ

 

 

 

 

 

 

 

Магнитное поле определяется правым столбцом

системы

(5.1):

 

 

 

 

 

rotH =

J;

divB =

0;

В = ц а Н .

 

 

 

 

 

(5.26)

Оно

соленоидально

(div

В=0),

и его линии

непрерывны.

Для

ряда

симметричных систем (например, прямой ток) магнитное по-

*)

 

Поле проводников с

большим падением

напряжения на

единицу

длины

(с высоким погонным сопротивлением, смотанных в катушку, многократно изо­ гнутых) может существенно отличаться от электростатического, так как усло­ вие одинакового распределения потенциалов не выполняется.

ле вычисляется

при

помощи

закона

Ампера

(2.4): ф

H-d\

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

вектор­

= fj - dS = 7. Общий

же метод

решения

требует

введения

ов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ного потенциала

магнитного

поля

А

(с

размерностью Т - м):

 

 

 

 

 

B = fxa H = rotA.

 

 

(5.27)

Условие

соленоидальности

 

поля

вектора

В

выполняется,

так

как всегда

div rot А =

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дальнейшие преобразования справедливы для линейной одно­

родной и изотропной

среды. Тогда \ха

скалярно и постоянно1 ). Под-

стазим ф-лу (5.27)

в первое

из

равенств (5.26): rot rot A = jxaJ и

используем тождество (3.17); тогда V2 A—grad

div А = —p,aJ.

 

Для

определения

любого

векторного

поля

необходимо

знать

как его

ротор,

так и дивергенцию. Если

rot А

известен [по

(5.27)],

то дивергенцию можно задать произвольно. В данном случае удоб­

но принять

div А = 0 . Этот выбор называют

кулоновой

калибров­

кой. Теперь уравнение

для

векторного потенциала

запишется

в

знакомой уже форме уравнения Пауссона:

 

 

 

 

 

v 2 A

= - f x a J .

 

(5.28)

В отличие от ф-лы

(5.8)

здесь оператор

Лапласа

применен

к

вектору А, поэтому ур-ние 1 (5.28) является уравнением

Пуассона

в

векторной

форме.

 

 

 

 

 

Разложив ур-ние (5.28) по декартовым составляющим х, у,

г,

найдем три

юкалярных

уравнения Пуассона'

V M X ,у , z =—\ia Jx,v,

z.

Их решения запишем в форме (5.10), заменив ір/є0 на \ijx,v,z. Объ­ единив затем координатные составляющие вектора А, получим ре­ шение ур-ния (5.28):

 

A ( M ) =

J ^

f l (

^ L

,

(5.29)

 

 

4л

vJ

г

 

 

где

г — расстояние от точки М до

N;

V охватывает все

области,

где

плотность токов отлична

от

нуля.

 

 

 

Если ток протекает по проводнику, диаметр которого мал по срав­

нению

с расстоянием г в ф-ле (5.29),

ток

можно считать линей­

ным, протекающим по тонкой нити. Тогда в результате

интегриро­

вания

J(iN)dSdl

по поперечному

сечению

провода

получаем

IdlN, и формула для векторного потенциала

принимает

вид:

 

 

 

A ( M ) = =

^ j — •

 

 

 

<5 -3 °)

 

 

 

с

г

 

 

 

 

где d\N

— элемент контура с током.

 

магнитное

поле Н

или

По

известному векторному потенциалу

В определяется

с помощью ф-лы

(5.27). Если

выполнить это

пре-

*) В этом случае вектор А можно ввести также соотношением H = rot А.

образование в общем виде, подставив ф-лу (5.30) в (5 27), то после взятия ротора от подынтегрального выражения находим:

Н(М) = - ^ - j"-L(er XdlN),

(5.31)

с

 

где орт ег направлен из точки М в точку N на контуре с током. • Формула (5.31) выражает в общем виде закон Био-Савара.

В зависимости от характера задачи для вычисления магнитного поля, созданного постоянными токами, выбирают одно из выше­ приведенных соотношений.

И Н Д У К Т И В Н О С Т Ь и В З А И М Н А Я И Н Д У К Т И В Н О С Т Ь

Рассмотрим два контура С4 <и С 2 с токами h и 1% каждый из кон­ туров создает в окружающем пространстве магнитное поле. Отно­

шение собственного

магнитного

потока,

пронизывающего

контур,

к току в этом контуре

называется

собственной

индуктивностью

контура:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ a =

^

i=

J - f B 1 . d S ,

L 2 = ^ .

 

(5.32)

 

 

' I

 

' l J

 

 

'2

 

 

 

 

 

 

St

 

 

 

 

Отношение

магнитного

потока

Фіг, пронизывающего контур Сі,

к вызвавшему его току в контуре

С2 , называется взаимной

индук­

тивностью МІЧ

между

цепями /

и 2:

 

 

 

 

У И 1

2 = ^ =

J - f B a

. d S ,

М 2 1 = ^ .

 

(5.33)

 

 

 

 

s,

 

 

 

 

Можно доказать, что взаимные индуктивности равны между собой. Сосредоточенные параметры L и М определяют связь электрических цепей с созданным ими в окружающем пространстве магнитным полем и рассчитываются методами теории стационар­ ных полей.

Э Н Е Р Г И Я М А Г Н И Т Н О Г О П О Л Я

Магнитное поле системы токов J, распределенных в конечном объеме V, занимает все пространство. Плотность его энергии wM в каждой точке определена ф-лой (4.1). Поэтому полная энергия магнитного поля

WM = - і - j * Н • В dV,

(5.34)

где V<o — все пространство.

Энергию магнитного поля можно выразить также в виде интег­ рала, содержащего плотность токов, взятого по объему V, где эти

93

токи существуют; для объемных и линейных токов:

(5.35)

V

с

Формулы (5.35) получаются в результате ряда преобразований из (5.34). Из (5.35) с помощью ф-л (5.30), (5.32), (5.33) найдем соотношение для полной энергии магнитного поля двух контуров, выраженной через их сосредоточенные параметры:

(5.36)

Полная энергия складывается из энергии собственных магнит­ ных полей первого и второго контуров и энергии взаимодействия этих контуров. Формула (5.36) часто используется для расчета па­ раметров L и М.

МАГНИТОСТАТИКА

В той области, где плотность электрических токов равна нулю,

магнитное

поле описывается ур-ниями (5.26) при / = 0,

называемы­

ми в этом

случае уравнениями

магнитостатики. Эти

уравнения

идентичны уравнениям электростатического поля (5.2) для обла­

стей, где р = 0.

Если, кроме того, рассматриваемая область также и

не охватывает

токов, магнитное поле внутри такой области потен­

циально, поскольку

циркуляция вектора Н по любому замкнутому

контуру тогда равна

нулю. В этом случае удобно ввести скалярный

магнитостатический

потенциал фм,

соотношением, аналогичным

(5.3): Н = —grad фм.Этот потенциал

подчиняется уравнению Лап ­

ласа V2 c#M = 0.

 

 

Аналогия магнитостатики с электростатикой становится почти полной после введения фиктивных магнитных зарядов, эквивалент­ ных кольцевым электрическим токам и постоянным магнитам. (известно, что реальных магнитных зарядов в природе не сущест­ вует). Тогда можно записать: div D = pM и доказать справедливость уравнения Пуассона для скалярного магнито статического потен­ циала V 2 0 M = —рм /|ха . Все эти допущения позволяют применить к расчету магнитных полей хорошо разработанные методы электро­ статики. Например, магнитное поле прямолинейного постоянного магнита или электромагнита во внешнем пространстве рассчиты­ вается как поле двух разноименных магнитных зарядов, помещен­ ных на его концах.

Магнитные заряды, эквивалентные замкнутым токам, вводятся следующим образом. Если размеры1 витка с током малы по срав­

нению с расстоянием до точки наблюдения, он называется

магнит­

ным диполем. Его магнитный момент р м

определяется

ф-лой

(1.11). По аналогии с электрическим диполем

представим

магнит­

ный диполь, как систему разноименных магнитных зарядов. При­ равняв оба выражения для магнитного момента, получаем р м =

Смотрите также файлы