Файл: Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи.pdf

Е - * Н ; D - * B ;

ea-+iia; Q -*• QM;

р^рм. ф^ф«.

р э ^ ц в Р м .

ЗАДАЧИ

5.1. Найти

поле Е и ф электрического диполя

с

моментом

р

э = <2Ь распо­

ложенного в начале сферической системы координат, причем рэ]|е2.

Решение.

Применим метод

суперпозиции,

представив

поле электростатичес­

кого потенциала диполя как сумму

полей

(5.7)

точечных зарядов

Q и —Q:

Ф(г, 1 9')=0/(4neo)](Q/ri—Q/r

2 ), где r i и г2 — расстояния

от каждого

из заря­

дов до точки наблюдения М

(г, #). По определению диполя г^>1, поэтому век­

торы г, г4 и г2

можно считать

параллельными; тогда

их

величины

связаны

соотношениями

гі=г—і(//й)

cos

Гг=г+

(//2)cos

Отсюда

1//Ч— 1/г2 =

= /aos#/{r2—1(//2)2 cos2 •&] ml cos Ф/r2.

Окончательно,

потенциал

электрического,

диполя в точке М (г, #) равен

ф (г, f>) =Q / cos ^/(АпваГ2)

= р э ег /(4яєа г2 ).

Очевидно,

что потенциал

диполя уменьшается

с расстоянием

гораздо бы­

стрее, чем потенциал одиночного заряда, а его величина зависит

также от по­

лярного угла

0. Для определения вектора

Е используем

формулу

для

градиента

в сферических координатах [5]:

дф

1

дф

1

дф

grad ф = —

ег

+

—

—— е ф +

г

—

ед .

дг

rsinO

d(f

ф

д»

Подставляя

сюда выражение для ф, получаем

Ответ: C = ea S/£( = 265 пФ; W3 = 33,l мкДж.

5.4. Построить график зависимости плотности энергии от расстояния в поле

заряженного шара и коаксиальной линии.

5.5. Определить силу притяжения между зарядом Q=—10 мкКл и беско­

нечной проводящей

плоскостью,

находящейся

на

расстоянии 1 м

от

заряда.

Ответ: F=0,225 Н.

5.6. Найти

проводимость утечки на единицу

длины коаксиального

кабеля

(рис. 5.4) при а = 2 мм; 6 = 5 мм; а=11 пОм/м.

Ответ: Gi = 6,85 пСм/м.

заземления, выполненного в виде

полусферы

5.7. Рассчитать

сопротивление

радиуса а=\\ м, центр которой находится

на уровне

поверхности Земли

с про­

водимостью а = 1 0 мСм/м.

Ответ: /?з= 15,9 Ом.

') Данное

равенство можно

доказать

способом,

аналогичным

примененно­

му в п. 7.5.

5.8. Рассчитать сопротивление заземления Rs,

его

потенциал

фо

и

макси­

мальное

напряжение

шага

Um

—

разность

потенциалов

между

двумя

точками

на поверхности

земли,

отстоящими

друг

от

друга

на 0,8

м

в

направлении

grad ф.

Заземление

выполнено

в виде шроводящей юферы ра­

диуса

а = 1

їм,

закопанной в

землю

на

глубину

А=2

м

(рис. 5.7). Ток через заземле­

ние

равен

/ = 1

А.

Проводи­

мость

почвы

а в =0,1

мСм/м

(сухая

почва).

Так

как

воз­

Решение.

дух

практически

не

проводит

электричества,

«а

границе

с

ним

Jn\s=0.

Электростатиче­

ский

аналог

должен

удовлет­

ворять

условию

D n

| s = 0 ,

т. е.

поле

касательно

поверхности

S. (Применим к решению этой

электростатической

задачи

ме­

тод

изображений.

Из

сообра­

жений

симметрии

очевидно,

•что

искомое

иоле

создается

системой

равных,

одноименных

и

симметричных

относительно

S

зарядов;

предположим,

что

заряды

могут

быть

точечными

и

расположены

«а

расстоянии

Я = А + б

от

S.

Тогда

ф(М)

=

={Q/(4ree„)] (І/Гі+И/гг).

Поле,

.рассчитанное

по

этой

формуле

Рис.

5.7

(рис. 6.7), .имеет вблизи заря­

дов эквипотенциальные поверх­

/ і / а ^ 2

не очень

.сильно

отличающиеся

от

ности каплевидной

формы, при

.сферы. Считая

приближенно

эквипо­

тенциальную поверхность фо сферической, совместим

ее с заданной сферой в

диа­

метрально противоположных точках С, и Сг. Тогда для точки

Сі: фо={<2/4яєа]Х

Х(1/(а+б) +,1/(2/і+6—а)],

а

для

точки

С2 :

фо=№Н4л£а)]ЬЩа—

б) +

+ 1/(2/г+6+а)]. Приравнивая эти потенциалы, получаем смещение заряда-изоб­

ражения

из центра сферы:

о =

[(a* -6jj) а] / [(2h + д„)2

-

а2 ] =

0,064 м,

где бо — смещение в нулевом приближении: б0

= а3 /(4Л2 —а2 ) =0,067 м.

Введем

радиус

эквивалентного

сферического

заземления

в

безграничной

среде

формулой

0о =

<2/(4яеа

аэ);

очевидно,

аэ

=1[1/(а + 6) + 1/(2/і+о—а)]-1

=

= 0,79

м. Найдем

теперь

сопротивление

заземления

Яз = фо/1,

используя

соотношения

электростатической

аналогии

(5.25):

i?3

=

<^o/Q= (4лхтп

а э

) -

1

=

= 10,1 Ом. Потенциал заземления

фа = 1 R3—

10,1 В.

поверхности

земли

при

Определим

теперь

распределение

потенциала

по

Ті = Гг~

]^Н2

+ х2:

ф = 2фо аэ //ч.

Касательная

составляющая

напряженности

электрического

поля:

Е%

=—йф/с1х = 2фо аэ

х/г^;

его

производная

dEx

ldx=

— 2фо аэ (#2 —х2 )/г^

равна

нулю при

x = #

=

2,06

м. Поместив

эту

точку

в сере­

дину

шага,

определим

напряжение

шага

между точками

х А

=

1,66

м

и

хв

—

= 2,46 м: иш

= фА— ф в = 1 , 1 5 В.

L (

единицы длины коаксиального

кабеля

5.9. Определить индуктивность

(рис.

5.4)

при

постоянном

токе. Проводники

изготовлены

из

материала

с

[ха п ;

пространство

между

ними

заполнено диэлектриком с параметрами

е а

и

ца-

ных границ и .неплоских волн, если их радиус кривизны

значитель­

но больше длины волны.

Эти условия

относятся к

приближениям

геометрической

оптики

(см.

7.6)

и

позволяют

рассматривать

электромагнитные волны в виде лучей.

Характеристики явлений отражения и преломления можно раз­

бить на два класса:

— угловые — законы

для углов отражения

и преломления, вы­

текающие

из

особенностей

волнового

процесса и одинаковые для волн любой

физической

природы;

— динамические — законы для на­

пряженности

отраженной

и

преломлен­

ной волн, изменения фазы и поляриза­

ции,

зависящие от

конкретных

гранич­

ных

условий.

ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ МНОЖИТЕЛЯ

БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ

Вначале покажем, что волна,

распростра­

няющаяся

в произвольном направлении

вдоль оси

0 £

(рис. 6.1),

имеет

в точке

JM(JC, у, г) множитель бегущей волны

вида

Р-*'е««><

(6.1)

где к = к е л = к ( с о з а е ж +cospe^-r-cosyezj — волновой вектор,

опреде­

ляемый но ф-ле

(3.31); г = x e x

+ yey + zez

— радиус-вектор точки М;

а, р, у — углы

между ортом

е л и положительным

направлением