Файл: Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи.pdf

Скачать файл (22,21Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 191

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

осей координат. Следовательно,
	к-г =	к (xcosa-4- у cos р" 4- г cos у) = к £,	(6-2)
так как	расстояние	от точки Р до начала координат	£ = . «cosa4 -
+ у. cos	р + 2 cos Y-
	УГЛОВЫЕ	ХАРАКТЕРИСТИКИ

Рассмотрим явления, возникающие при падении плоской однород ной волны на плоскую границу раздела (z=0) двух произвольных сред (рие.^6.2). Среды характеризуются коэффициентами распро странения «і, 2 и волновыми сопротивлениями Z„i,2 (см. параграф 3.5). Очевидно, что волновые векторы падающей, отраженной и


преломленной			волн		равны		соответственно к + = і к і Є л " ; к ~ = « і е 7 ;
к п = к 2 Є л		. Задан угол падения ср падающей волны. Определим								угол
отражения ф ' и угол преломле
ния	t> отраженного и				преломлен				Плоскость падения	!
ного	лучей.
Назовем			плоскостью			распро
странения		волны		плоскость,			про
ходящую		через		луч и	нормаль к			/<nZtt	\
граничной		поверхности.				Для	па			г;
дающей волны				она		именуется

плоскостью

падения

и на

рис.

6.2

"А

совмещена

xOz.

Векторы Е и Н всех трех волн

должны

удовлетворять

гранич

ным условиям

во

всех

точках

плоскости х = 0

и в любой

момент

времени. Поэтому

независимо

от

характера

граничных

условий

должны

совпадать

фазовые множители

этих

волн:

і «>+/—к+-г|2 = 0 =

і art

— к--г | z

= 0 = і со"/—к" • г l z =

(6.3)

При фиксированном г отсюда сразу

вытекает

равенство

частот

всех волн

(о+

= (о_ =соп . Проекция к+,

следовательно, и

проекции

к - и кп

на

ось у равны нулю. А это

означает,

что

все

волновые

векторы

лежат

плоскости

падения.

Поэтому их

проекции

на

ось z должны

быть равны между собой:

К\ sin ф =

кі sin ф г

к2 sin

(^-4)

что позволяет сформулировать следующие законы:

— закон

отражения:

угол

отражения

равен

углу

падения

Ф' = Ф ;

—закон преломления Снеллиуса: отношение синусов углов пре

ломления и падения равно отношению комплексных	коэффициен-
4*	99

тов распространения в первой и второй средах:

S i n »	£ _	«1 а +	і к і р	(6.5)
sin ф	К2	к2а +	' Ж 2Р

Из этого равенства следует, что в общем случае угол преломле ния •& может быть комплексным. Бели ограничиться рассмотрением диэлектриков с несущественными потерями, то Ка С Кр и закон Снеллиуса запишется в виде

		зіпф	Л 2р	£ 2	°ец1 п2
іде Я і = ї / Г « і Ць'		Л 2 =	V Є2 Li2	— коэффициенты		преломления		сред.
Для	диэлектриков		синусы углов		наклона	лучей	относительно
нормали	пропорциональны			фазовым	скоростям волн		в соответст
вующих	средах	и обратно		пропорциональны		их коэффициентам

преломления.

6.2. Формулы Френеля

КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРОХОЖДЕНИЯ

Рассмотрим динамические характеристики при падении линейно

поляризованной волны на границу раздела двух сред. Интенсивности отраженной и преломленной волн определим че

рез коэффициенты отражения и преломления. Назовем коэффици ентом отражения Г отношение комплексных значений напряжен-

ностей электрического поля отраженной Е~				и падающей		Е+	волн
на границе	раздела	(х = 0)	и коэффициентом	прохождения		во	вто
рую среду	из первой Т такое же отношение			для	преломленной
ЕП и падающей воле:
Г = Ё~/Ё+		(при	х = 0); Т= -Ёп1 Ё+	(при	х = 0).		(6.7)

Значения этих коэффициентов зависят от поляризации падаю щей волны относительно плоскости падения. Поэтому рассмотрим два случая, когда плоскость поляризации перпендикулярна и па раллельна плоскости падения волны.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ

( Д э т о м случае вектор Е перпендикулярен плоскости падения и па раллелен границе раздела, т. е. плоскость поляризации волны пер пендикулярна плоскости падения. Запишем соотношения для век торов налряженностей полей следующим образом (рис. 6.3):

падающая волна:

Ё+ = Л е - ^ Ч ;	Н + = т " е - к + - ' ( е+ X е,) ,	(6.8)
'	^В1

до

отраженная волна:

Ё - = В е ~ к ~ Л
Н - = А е - к - ' ( е - х е „ ) ,	(6.9)
преломленная волна:
Ё п = С е - к П ' е , ;
Н " = / - е ^ ( с 5 Х в , ) ,	(6.10)
^В2

где е+ , е~, еJ — орты каждого из

Рис. 6.3

лучей.

Приравняем на граничной поверхности в соответствии с ф-лами (2.24) и (2.25) тангенциальные составляющие' векторов Е и Н. В

первой

среде

нужно

просуммировать

падающую

отраженную

волны:

Exi = £ + + £ - ;

Н*\ —H+cosy—#_cos

tp.

Из

выражений

(6.8) — (6.10)

и рис. 6.3 видно, что для выполнения

равенства

Е%\ =

= Е%2 необходимо,

чтобы А+В = С,

а для

равенства Я т 1

Нхії-

{•A/ZB l )cos(p—(fi/iZB i)cosq)= (C/ZB 2)cos 8. Из

ф-л (6.7)

следует,

что

Г = В/А и Т = С/А, тогда

1 + Г х

= = Г х и ( 1 — r j Z r f

cos ер =

T X Z B I C O S T > .

Решая эту систему уравнений, получаем формулы

Френеля

для

перпендикулярно поляризованных

волн:

Г і =

ZB 2

cos Ф — Z B 1

cos

sin (!} — ф)

ZB 2

cos ф + Z B 1

cos

sin (ft 4- ф)

(6.11)

2ZB2COsф

гзіпОсовф

7 \ . =

ZB 2

cos ф + Z B 1

cos

sin (ft +

ф)

За

положительное

направление

векторов

Е принят орт еу ,

сов

падающий с положительным направлением оси у. Следовательно,

если коэффициент		Гх	оказывается отрицательным,			вектор Е при
отражении поворачивается на 180° в пространстве,						что равнознач
но изменению фазы волны на 180°.
Выражения в		(6.11)	справа, отделенные		стрелкой {-*•), спра-
ведливы	для немагнитных сред, когда \x,\ = \iz и Z B i / Z B 2 = Yre2/e\. В
этом случае по закону			Снеллиуса
sin ft =	. / £і_ и		е2	cos ф — cos ft	sinftcos ф — cosftsin ф
		р - V&1 /бг			sinftcos ф + cosftsin ф '
sin			Y&i /е 2	cos ф + cos ft

аналогично упрощается выражение для Т±

ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ

В этом случае вектор Е лежит в плоскости падения, а вектор Н" перпендикулярен ей и параллелен границе раздела, т. е. плоскость поляризации волны параллельна плоскости ее падения. По анало гии с ф-лами (6.8) — (6.10) выписываем составляющие поля (рис. 6.4):

Ё + = Л е - к + г ( е + х е , ) ;	н + ^ - А е - ' + ' е ,
Ё - = - В е - к ~ - г ( е - Х е , ) ;	Н - = # е - к " - Ч		(6.12>
	2ві
	С	- к п -
	"Z~	Є

г	21£*
	і
	1
/у	і
/у	і	"'Л
	і
	cz
	\ґ	М
	* г	М
Аг	0

Ніп

№\

П '>/П9г

Приравнивая выражения для ка сательных составляющих на гра нице раздела сред, получаем:

A cos ср + В cos ф = С cos f};

AlZvl-BlZBl= CJZB2

или, переходя к коэффициентам отражения и прохождения, име ем:

(1 + Гц) cosqp = Гц cosr>;

(1 — Г ц ) Z b 2 = Гц ZB1.

Рис. 6.4				Из этой	системы уравнений
			получаем формулы Френеля для

параллельно поляризозанных			волн:
^11	ZB 2 cosft—ZB 1 cos<p			_ ^tg(ft — ф)
	Z B 2	cos 8- -f- Z B l cos ф		І й ( » + Ф )
						(6.13)
		2ZB 2 cos ф		2sin ft cos ф
г„
	Z B 2	COSft+ Z B 1	cos ф	sin (ft +	ф) cos (ft — ф)

За положительное направление векторов E выбрано то, которое имеет положительную составляющую Ег. Части выражений (6.13),

Отделенные СТреЛКОЙ ->-, СООТВеТСТВуЮТ Случаю Ц,1 = Ц2.

В общем случае поле падающей волны раскладывают на две составляющие, поляризованные перпендикулярно и параллельно плоскости падения, и затем отдельно находят те же составляющие отраженной и преломленной волн. Соотношения между этими со ставляющими, определяющие характер поляризации, в этом случае различны у падающей, отраженной и преломленной волн.

Из выражений (6.11) и (6.13) легко получить формулы для вол ны, падающей на Границу раздела сред нормально1 , положив ср = =f>=0:

Г 0 = Z b 2 ~ Z b 1 ; Г„ =	2 Z	b 2	.	(6.14)
^В2 + 2 В 1	Z B 2	-(- ZB ; 1

6.3.Отражение и преломление волн на границе идеальных диэлектриков

ПОЛНОЕ ПРОХОЖДЕНИЕ
Считаем, что потери в средах малы	( к а < С к в )		или вообще		отсут
ствуют, тогда справедливо равенство	(6.6)	для	определения		угла
преломления.
Покажем, что для волн с параллельной		поляризацией		сущест
вует угол падения, именуемый углом	Брюстера		Ф Б Р , при	котором

отраженная волна отсутствует, т. е. волна полностью переходах во

вторую

среду. Рассмотрим

немагнитные

диэлектрики

(ці^цг),

исключив тривиальный случай равенства параметров сред

(єі = єг).

Действительно, согласно

ф-лам

(6.13) Г g = 0

при •б, +ф=90°, так

как

тогда

tg(#+<р)->оо.

П о

закону

Снеллиуса отсюда

находим:

зіпф =

sirup

6 Л 5 )

в!

Sin &

Sin (90

— ф)

Т Б Р

тБр

Єй

Угол

Брюстера

можно найти

для

любого

соотношения

между

еі и Є2.

Из ф-л (6.11) вытекает, что для перпендикулярной

поляри

зации

(при ці = (яг)

угол

полного прохождения

между

разнородны

ми диэлектриками

не существует,

\Г±

\ всегда больше нуля. Угол

Брюстера

называют также углом полной

поляризации.

Если вол

на с произвольной поляризацией направлена на диэлектрическую пластину под углом <рвр, отраженный луч имеет только перпенди кулярную поляризацию, так как параллельно поляризованная ком понента полностью проходит через пластину.

Диэлектрические пластины и шайбы, служащие для гермети зации и крепления в различных устройствах, часто ставят под углом Брюстера. Тогда они полностью прозрачны для проходящих волн.

ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ

Рассмотрим случай, когда волна проходит из среды оптически бо лее плотной в менее плотную (пі>п2) при малых потерях ,в обеих средах.

Из ф-лы (6.6) находим условие

sin •& = — sin(p<l,

(6.16)

когда угол Ф веществен. В этом случае вещественны также коэффи циенты отражения и прохождения в формулах Френеля.