Файл: Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи.pdf

вания является

толщина

скин-слоя

А [ф-ла (3.44)]; на этой

глуби­

не поле убывает в е раз по сравнению

с его величиной

на поверх­

ности. Волна,

преодолевающая

рубеж

z = A , несет

всего

лишь

13,5% первоначальной

энергии.

ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИМПЕДАНС

В

соответствии

с ф-лой

(6.22)

волновое

сопротивление

проводника

2В 2

(3.49) является одновременно его поверхностным

импедансом

Zs ,

так как | / С 2 І / | / й | =

У ргог/соєаі^ 1. Следовательно,

Zs

= Rs+iXs=

Л + * - Г ; Rs=Xs

= ±

=

^

A

=

k-^V*b.

оД

аД

аД

2

2

(6.25)

Эту формулу легко запомнить, если заметить, что активная

состав­

ляющая поверхностного импеданса равна сопротивлению

для по­

стоянного тока

ленты

из того же металла

шириной

и длиной в

1 м и толщиной, равной скин-слою А.

Поверхность проводника обладает также индуктивной

состав­

ляющей импеданса, равной по величине активной.

ПОГЛОЩЕНИЕ ЭНЕРГИИ

Определим мощность волны,

входящей

в проводник.

Составляю­

щие поля на границе раздела

сред равны Е% и Нх , следовательно»

комплексная мощность

волны, проходящей

через

1 м 2 граничной

поверхности, с

учетом ф-л (6.22)

и (6.25),

выразится как

П = Ё т X Н т = ErHxn

= Zs\Hx\2n=

(Rs

- H X s ) | t f T | 2

n . (6.26)

Векторное

произведение взаимно перпендикулярных

векторов

Ет

и Нт равно произведению их величин

и направлено

по норма­

ли к поверхности. Итак, вектор плотности

потока

энергии,

направ­

и мнимой частей. Активная компонента П соответствует

мощности,

которая превращается в тепло внутри проводника:

П = Ren = Rs\Hx\2n.

(6-2 7 >

волновому ур-нию j(3.22): V 2 Ez—к2£2=0,

где для проводника, со­

гласно ф-ле (3.45) к = ( 1 + і)/Д.

Решим волновое уравнение в цилиндрической системе коорди­

нат. Для этого представим лапласиан

V 2 по ф-ле (3.19). Поле

симметрично, поэтому д/с5ф=0. Так как

|/Спр|~>| к д | , т. е. Д-СА* н

больше, чем .вдоль линии, и можно

считать d/dz=0. Тогда

v z

г

dr

\ dr )

dr*

г

dr

Внося это ^значение

в волновое уравнение и разделив

его поч­

ленно на (—і к)2,

получим

*^

+

dA^_

+ E

Q

(—і

к г) d(— і к

г)

Это — дифференциальное

уравнение

Бесселя

нулевого

порядка

с комплексным аргументом

(—і к г).

Из двух возможных

решений

поле записывается

через

функцию

Бесселя Ez(r)=AJo(—ікг),

где

^4=const. Напряженность поля на

поверхности

проводника[г=а)

обозначим через Ео. Тогда постоянная Л=£о//о(—і к а).

Введем безразмерный параметр х=а

\ 2/А и выразим через не­

го аргумент функции Бесселя:

.—

. 1 +

і

а У 2 1 — і

= х

і — »

_і 45»

— і ка = — і

а = —-

_

= х е

Д

Д

У 2

У~2

Функция

Бесселя

комплексного

аргумента также

комп­

лексна: / п ( * е - і 4 5 ° ) =bn(x)e~*pn(I).

Численные

значения

Ъп и р«

приведены в

таблицах

(см. например, [37]).

Так

как

—\кг=

= (г/а)хе~м5°

, модули Jz(r)

и Ez(r)

представляются

формулой

і г (Г)

J9 (— * КГ)

Jt(x

e-i45° г/а)

b0 (xr№ . (6.31)

1 Ёг(а)

h (—»"ка)

/e(xe-i45°)

На рис. 6.9 представлены

графики

распределения

плотности

тока по сечению проводника, вычисленные по ф-ле (6.31)

при раз­

личных отношениях а/Д. Они отражают особенности

скин-эффекта

по радиусам навстречу друг другу. Поэтому

напряженнность

поля

и плотность тока

уменьшаются с увеличением

расстояния

от

гра­

ницы проводника

медленнее, чем при плоской

граничной

поверхно-

сти.

Полный

ток / в

проводнике определим

интегрированием

h(r)

по

его

поперечному

сечению. Вследствие

осевой симметрии

интеграл по углу <р дает 2я. Поэтому

/

=

2 j t j y z

(r)rdr

=

2ло En

Jо (— І кг)

rdr.

Jо (—їіса)

о

о

Неопределенный интеграл

вида

j / 0 ( 2 ) 2 ^ 2

= 2 / 1 ( 2 )

является

таб­

личным

ф-ла

(5.52)].

Следовательно,

ток

7 =

і2яао£еХ

it)

Х/і(—Ска)ЦкІ0 (—(ка)}.

Напряжение на еди-

Ий-К

to)

ц у Д л и

провода

равно Е0. Поэтому

комп­

Wl411!*'

1

н и

н ы

—

лексное сопротивление

одного

метра

провода

Zi = E0/I.

Удобно отнести Zj

к

сопротивлению

того

же

проводника

постоянному

току R0i

,

ь

— ^

iz

і

п

1

В а/А

Рас 6.9

Рис.

6.10

X

45° Jo (хе

' 45°)

_

bp (Х) p i[0t (*)-3„W-45°] ( g 3 2 )

=

Є • ~ - ! ! _ ^

-=

_ _ Є

Кої

Мої

2

Jx

(х є " 1 4 5 0

)

2 bx (х)

часги

Теперь несложно определить вещественную и мнимую

сопротивления

провода

единичной

длины

Zi=\Ri

+ iXi:

F - = " Г

Г 7 Т С 0 8 ^ W - P » W - 4 5 ° ] ]

«01

*

°1 \ х )

(6.33)

^ - = 4 " Г Т Т 8 І п [ Р і ( х ) - р 0 ( х ) - 4 5 1

2

М*)

Сопротивления /?І и

рассчитывают с помощью таблиц числен­

ных значений модуля нормированного комплексного

сопротивления

(x/2)(bo/bi)

и

фазового

угла

(р0 —Pi)

при

различных х (см. [37,

табл. 64]).

Можно

непосредственно

использовать

графики

рис.

6.10, рассчитанные по ф-ле (6.33). С ростом частоты

обе компонен­

ты Ri и Xi увеличиваются,

причем

фазовый

угол

растет

от 0

до 45°

Ш